Sujets du capes avec Xcas Renee fr

profil-meshug-2012 - Renee De Graeve

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Niveau: Supérieur, Bac+5
Sujets du capes 2010 avec Xcas Decembre 2010 Table des matieres 1 Theme : Etude de suites 4 1.1 L'exercice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Le travail demande au candidat . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Solution de l'exercice avec Xcas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2 Theme : Probabilites 6 2.1 L'exercice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.2 Le travail demande au candidat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.3 Solution de l'exercice avec Xcas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3 Theme : Equations differentielles 8 3.1 L'exercice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3.2 Le travail demande au candidat . . . . . . . . .

reponses aux differentes questions

solution de l'exercice avec xcas

recherche de lieux geometriques

candidat presentera au jury

candidat

Sujets

Degraeve

Candidat

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Langue	Français

Extrait

Sujets du capes 2010 avecXcas Renee.Degraeve@wanadoo.fr De´cembre 2010

Tabledesmatieres ´ 1 Theme : Etude de suites4 1.1 L'exercice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. . . . . . . . . . 1.2 Le travail demande´ au candidat. . . . . . . . . . . .. . . . . . 4 1.3 Solution de l'exercice avecXcas. . . . . . . . . . . .. . . . . . 4 2 Theme : Probabilite´s6 2.1 L'exercice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. . . . . . . . . . 2.2 Le travail demande´ au candidat 6. . . . . . . . . . . .. . . . . . . 2.3 Solution de l'exercice avecXcas. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 ´ 3Theme:Equationsdiff´erentielles8 3.1 L'exercice 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 3.2Letravaildemand´eaucandidat 8. . . . . . . . . . . .. . . . . . . 3.3 Solution de l'exercice avecXcas. . . . . . 8. . . . . . . . . . . . 4 Theme : Calcul de grandeurs : longueurs, aires, volumes10 4.1 L'exercice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4.2 Le travail demande´ au candidat. . . . . . . 10. . . . . . . . . . . . 4.3 Solution de l'exercice sansXcas. . . . . . 11. . . . . . . . . . . . 4.3.1 Re´ponses aux diffe´rentes questions. . . . . . . . . . . . 11 4.3.2 Solution de l'exercice en analytique. . . . . . . . . . . . 11 4.3.3Re´ponsesauxdiff´erentesquestionsavecXcas 12. . . . . . 4.4 Solution g. . ´eom´etriquedel'exerciceavecXcas. . . . . . . . . 13 4.5 L'exercice avec un triangle ABC rectangle en B ou quelconque 15. . 4.5.1L'e´nonc´e 15. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 4.5.2 Un lemme. . . . . . . . . . . . . . . . . 15. . . . . . . . . 4.5.3Solutiong´eom´etrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4.5.4 Solution en analytique avec un triangle ABC rectangle en B18

5Theme:Arithm´etique 5.1 L'exercice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2Letravaildemand´eaucandidat. . . . . . . . . . . .. . . . . . . 5.3 Solution de l'exercice sansXcas. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Theme : Nombres complexes 6.1 L'exercice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2Letravaildemand´eaucandidat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Solution de l'exercice avecXcas. . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Theme:Recherchedelieuxg´´etriques eom 7.1 L'exercice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Le travail demande´ au candidat. . . . . . . . . . . .. . . . . . . 7.3 Solution de l'exercice avecXcas. . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Theme:Int´egration 8.1 L'exercice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 8.2Letravaildemand´eaucandidat. . . . . . . . . . . .. . . . . . . 8.3 Solution de l'exercice avecXcas. . . . . . . . . . . .. . . . . . 9Theme:Fonctions,´equations 9.1 L'exercice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2Letravaildemand´eaucandidat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3 Solution de l'exercice avecXcas. . . . . . . . . . . .. . . . . . 10 Theme : Probabilite´s 10.1 L'exercice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 10.2 Le travail demande´ au candidat. . . . . . . . . . . .. . . . . . . 10.3 Solution de l'exercice sansXcas. . . . . . . . . . . .. . . . . . 11 Theme : Arithme´tique 11.1 L'exercice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Le travail demande´ au candidat. . . . . . . . . . . .. . . . . . . 11.3 Solution de l'exercice avecXcas. . . . . . . . . . . .. . . . . . 12 Theme : Utilisation des variations d'une fonction 12.1 L'exercice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2Letravaildemand´eaucandidat. . . . . . . . . . . .. . . . . . . 12.3 Solution de l'exercice avecXcas. . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Theme : Ge´ome´trie dans l'espace 13.1 L'exercice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2Letravaildemand´eaucandidat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.3 Solution de l'exercice avecXcas. . . . . . . . . . . .. . . . . .

19 19 19 19 21 21 21 22 24 24 24 24 29 29 29 30 34 34 34 34 37 37 37 37 39 39 39 40 42 42 42 42 44 44 44 44

14 Theme : Divers types de raisonnement 14.1 L'exercice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 14.2 Le travail demande´ au candidat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3 Solution de l'exercice sansXcas. . . . . . . . . . . .. . . . . . ´ 15 Theme : Etude de congurations 15.1 L'exercice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 15.2 Le travail demande´ au candidat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.3 Solution de l'exercice avecXcas. . . . . . . 16Theme:Propri´ete´sdesfonctions 16.1 L'exercice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 16.2Letravaildemand´eaucandidat. . . . . . . . . . . .. . . . . . . 16.3 Solution de l'exercice avecXcas. . . . . . . . . . . .. . . . . . 17Theme:Probabilit´es 17.1 L'exercice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.2 Le travail demande´ au candidat. . . . . . . . . . . .. . . . . . . 17.3 Solution de l'exercice sansXcas. . . . . . . . . . . .. . . . . . ´ 18Theme:Equationsdiff´erentielles 18.1 L'exercice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.2Letravaildemand´eaucandidat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.3 Solution de l'exercice sansXcas. . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.4 Solution de l'exercice avecXcas. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Theme : Arithme´tique 19.1 L'exercice : L' aˆge du capitaine. . . . . . . . . . . .. . . . . . . 19.2Letravaildemand´eaucandidat. . . . . . . . . . . .. . . . . . . 19.3 Solution de l'exercice avecXcas. . . . . . . . . . . .. . . . . .

48 48 48 48 49 49 49 49 52 52 52 52 54 54 54 54 56 56 56 56 57 59 59 59 59

´ 1 Theme : Etude de suites 1.1 L'exercice Soitatiuseedialerl.Onconsunr´ee(un)n∈Nde´nie paru0=aet, pour tout entiern: un+1=un(2−un) ´ 1. Etudier les casa= 0,a= 1eta= 2. Dans toute la suite, on suppose quea∈]0; 1[. ´ 2. Etudier les variations de la fonctionfniesd´e1;p]ru0[ra: f(x) =x(2−x). 3. Montrer que, pour tout entiern, on a :0≤un≤un+1≤1. 4. Montrer que la suite(un)n∈Nest convergente et de´terminer sa limite. 1.2 Le travail demande´ au candidat Enaucuncas,lecandidatnedoitr´edigersursachesasolutiondel'exercice. Celle-cipourran´eanmoinsluieˆtredemande´epartiellementouentotalit´lrsde e o l'entretien avec le jury. Le candidat ´sentera au Jury : pre lesm´ethodesetlessavoirsmisenjeudansl'exercice; Le candidat re´digera sur ses ches : e´pon ala question 4) ; sa r se ´ unouplusieursexercicesserapportantauthemeEtudedesuites. 1.3 Solution de l'exercice avecXcas 1. poura= 0u1= 0et pour toutn∈Nun= 0, poura= 1u1= 1et pour toutn∈Nun= 1, poura= 2u1= 0et pour toutn∈Nun= 0, 2. Pour e´tudier la fonctionf, on tape : f(x) :=(x*(2-x) f1 :=function diff(f) normal(f1(x))On obtient :-2*x+2 Doncfadmet un maximum enx= 1qui vaut 1. Pourx <1,fest croissante et pourx >1,forsiastn.eestd´ecf(x) = 0 pourx= 0etx= 2donc pourx∈[0; 2]on a0≤f(x)≤1. Pour faire le graphe defsur [0 ;2], on tape :plotfunc(f(x),x=0..2) Pour pouvoir faire bougeraentre0et 1 et voir le graphe def(x) =x(2−x) pourx∈[0; 2]et les 6 premiers termes deun, on tape dans un niveau de ge´ome´trie : supposons(a=[0.3,0,1,0.1]); 4

plotseq(x*(2-x),[a,0,2],6) On obtient :

0.5

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 3. Puisque pourx∈[0; 2]on a0≤f(x)≤1et queun+1=f(un): pour toutn >0et pour touta∈[0; 2], on a :0≤un≤1. Pour avoir le signe de un+1−un=f(un)−un, on tape : factor(x*(2-x)-x) On obtient :-x*(x-1) Puisque pour toutn >0,0≤un≤1, on en de´duit queun+1−un≤0. si on supposea∈]0; 1[pour toutn≥0, on a0≤un≤un+1≤1 La suiteunaetteamcnrciossncjor´eedoedostuest convergente. Sa limiteler´evl=l(2−l)etl≥a >0doncl= 1

-0.5

2Theme:Probabilit´es 2.1 L'exercice Une urne contient une boule blanche et une boule noire. On effectue au hasard ntirages successifs (n≥2)uobenu'demerneeltlabttandansouleenpa'lrurse chaque tirage. 1.a)Calculerlaprobabilit´edel'´ev´enementtouteslesboulestire´esontla meˆme couleur. 1b)Calculerlaprobabilit´edel'´eve´nementonobtientexactementuneboule blanche . On considere les deux e´ve´nementsAetBsuivants : A: on obtient des boules des deux couleurs B: on obtient au plus une boule blanche 2. Calculer les probabilite´sP(A∩B),P(A)etP(B). 3. Montrer queP(A∩B) =P(A)×P(B)si et seulement si l'entiernve´rie l'´egalit´e2n−1=n+ 1. 4. En de´duire qu'il existe une valeur unique denpour laquelleAetBsont deux ´ev´enementsinde´pendants(onpourraconside´rerlasuite(un)n≥2riepa´end un= 2n−1−(n+ 1)et montrer qu'elle est strictement croissante). 2.2Letravaildemand´eaucandidat Enaucuncas,lecandidatnedoitr´edigersursachesasolutiondel'exercice. Celle-cipourrane´anmoinsluieˆtredemande´epartiellementouentotalit´elorsde l'entretien avec le jury. Le candidat pre´sentera au Jury : lesm´ethodesetlessavoirsmisenjeudansl'exercice;sar´eponsealaquestion1) Lecandidatr´edigerasursesches: lar´eponse´alaquestion2);unouplusieursexercicesserapportantauthemeProb-abilite´s. 2.3 Solution de l'exercice avecXcas 1.a)touteslesboulestie´resontlameˆmecouleurLaprobabili´etd'avoirn boules noires (resp blanches) est12ndonc Laprobabilit´ed'avoirnboules de la meˆme couleur est22n= 12n−1 1b)onobtientexactementunebouleblancheLabouleblanchepeueˆttre tir´eesoitau1ier,soitau2ieme,...soitaunieme coup. Donc la probabilite´ d'avoir exactement une boule blanche estn2n 2. SoientA: on obtient des boules des deux couleurs B: on obtient au plus une boule blanche 6

A∩Bcdnoalbeehcnenutluobctxaenemtiobteenmenetno'le´´vneest P(A∩B) =n2n. nonAirstleoutlones´eottnemebselsetuestv´enl'´encmaeˆemocluuerod P(A) = 1−12n−1 Bnouutssnlotiebbooneosneesiutllrt´steivses´e'eetnneo´ntrneeomit exactement une boule blanche doncP(B) = 12n+n2n 3. On a :P(A∩B) =P(A)×P(B)¡=¿ n2n= (1−12n−1)∗(12n+n2n)¡=¿ n= (1−12n−1)∗(1 +n) = 1 +n−12n−1)∗(1 +n)¡=¿ 12n−1)∗(1 +n) = 1¡=¿ 2n−1) = (1 +n) 4. Soitun= 2n−1−(n+ 1)pourn≥2un+1−un= 2n−(n+ 2)−2n−1+ (n+ 1) = 2n−1−1puisquen≥2on a2n−1−1≥2−1 = 1>0donc uest strictement croissante. pourn= 2on au2=−1,u3= 0puisun>0 pourn >4Donc il existe une valeur unique denpour laquelleAetBsont deux´ev´enementsinde´pendantsetettevaleurestn= 3