Traitement du signal pour le mécanicien 2006 Ingénierie et Management de Process Université de Technologie de Belfort Montbéliard

Patrice

Description

Examen du Supérieur Université de Technologie de Belfort Montbéliard. Sujet de Traitement du signal pour le mécanicien 2006. Retrouvez le corrigé Traitement du signal pour le mécanicien 2006 sur Bankexam.fr.

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• 2006

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 18 août 2008
• Nombre de lectures: 44
• Langue: Français

Extrait

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Final SY53 17/06/2006

NOM : Note : TRAITEMENT DU SIGNAL 20,5/20 Dure : 1H50. Calculatrice non autorise car inutile. Aucun document personnel nest autoris. Le sujet contient un formulaire en annexe. Pour chaque rponse, on expliquera la dmarche qui conduit au rsultat propos. Les expressions mathmatiques seront exprimes littralement avant dtre ventuellement calcules de faon numrique. EXERCICE 1 5,5 Considrons un capteur de profil dont le principe physique mesure la distance moyenne qui spare sa fentre de mesure de la pice dont on veut obtenir le profil. f(x) f(x) reprsente la distance entre la pice et le capteur. Pice g(x 0 ) est le signal fourni par le capteur lorsqu’il est positionn en x x x 0 . g(x 0 ) reprsente alors la distance moyenne entre la pice et 0 la fentre de mesure de largeur 2A g(x 0 du capteur. 2A 1)Exprimer la fonction g(x 0 ). 2)Montrer que g(x 0 ) peut s’crire comme le produit de convolution de la fonction f(x) avec une fonction h(x) que l’on dterminera.

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3)Dduire de la question prcdente que g peut tre considr comme la rponse d’un filtre au signal d’excitation f. Dterminer alors la fonction de transfert harmonique T ( ) de ce filtre. Reprsenter graphiquement le module de T ( ) . Y-a-t-il des frquences spatiales pour lesquelles la fonction de transfert est nulle ? Expliquez l’impact que cela peut avoir sur la mesure du profil de la pice.

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EXERCICE 2 3 (Exercice extrait du polycopi de cours SY53) Considrons le si nal analogique priodique suivant: x ( t ) 1 6 1 5 1 15 (ms) On dsire chantillonner ce signal afin de le traiter numriquement. La frquence d’chantillonnage a t fixe empiriquement de faon  obtenir au moins 10 chantillons dans la partie la plus raide du signal. 1)Quelle est, dans ces conditions, la frquence minimale d’chantillonnage ? Dans la pratique le concepteur de la carte a retenu la frquence d’chantillonnage def=Le CAN25 KHz . e convertisseur chantillonneur analogique numrique a t prcd d’un filtre. 2)Quel est le rle du filtre ? Quel doit tre sa nature (Passe BAS, Passe Haut, Passe Bande, etc...) ? Si on suppose que ce filtre est parfait, comment doit- on choisir sa frquence de coupure ?

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EXERCICE 3 4,5 Considrons un bruit blanc gaussien de densit spectrale de puissance A. 1)Dterminer sa fonction d’autocorrlation C ( τ ) bb Ce bruit blanc est ensuite filtr par un filtre dont le module carr de la fonction de transfert H ( ) l’allure a suivante : 2 H ( ) B ν -ν 0 ν 0 0  5 2)CDterminer alors la fonction d’autocorrlation yy ( τ ) du signal y(t) en sortie du filtre. Reprsenter graphiquement C ( τ ) . yy

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EXERCICE 4 3 Sur une machine nous avons relev le signal suivant : Figure 1

Une analyse suivant :

spectrale

d’amplitude

fournit

Aprs quelques moyennes, le spectre devient :

1)

le

spectre

Figure 2

Figure 3

Commenter qualitativement le spectre de la figure 2.

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2)Commenter qualitativement le spectre de la figure 3 Pourquoi le fond de spectre (sans les 3 raies) est-il quasiment constant ? 3)Commenter qualitativement et quantitativement les trois raies spectrales visibles sur la figure 3. (Le spectre est un spectre unilatral d’amplitude crte). Questions de Cours : 4,5 1)On dsire dtecter la prsence d’un signal priodique de priode inconnue, noy dans un trs important bruit blanc gaussien. Quelles mthodes simples proposez-vous ? Proposer deux mthodes. (Expliquez et justifiez) Mthode 1 : Mthode 2 :

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2)Expliquez quelles caractristiques doit possder un signal x(t) pour pouvoir tre chantillonn correctement sans perte d’informationsans respecter le thorme de Shannon.

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FORMULAIRE +∞ Convolution : f∗tg : →(f∗g)(t)=f(a)g(t−a) da  −∞ +∞ * Energie totale :E=t)f(t)f(dt  − ∞ * Energie d’interaction sur l’intervalle T :E xy (T)=y(t)x(dt)t  T Puissance moyenne d’un signal priodique : +∞ 1 2 2 ( ) P moy =f t dt=  α n  T T n= −∞ Signaux alatoires : + ∞ 1 Moyenne : moy=)E(x=Lim x i (t)dt=xp(x)dx   i T→ +∞ T− ∞ T + ∞ 2 1 2 2 Puissance :P=E(x)=Lim ( x (t) ) dt=x p(x)dx T→ +∞  T  − ∞ i i T  S  2N−3 Rapport signal/bruit de quantification :   =12.2 et  B  max  S    =6,02.N+1,76 dB  B  max dB Dcomposition en srie de Fourier : +∞ a 0   2Πnt   2Πnt    n n  f(t)= +a cos   +b sin        2 n=1  T T  T T + + 2 2  2Πnt  2 2  2Πnt    et   avec a n = T f(t)cos dt b n = T f(t)sin dt  −  −     T 2 T T 2 T 2Πnt +∞ T 2Πnt T 1 2 1 2 j + −j + T T  n  −  − ou f(t)= αe avec α n = T f(t)e dtetα 0 = T f(t)dt T T 2 2 n= −∞ Transformation de Fourier : +∞ +∞ j2Πνt −j2Π νt x(t)=X(ν)e dν  X(ν)=x(dte)t et  − ∞ −∞ Quelques proprits de la transforme de Fourier. TF 1   f(at)→F     a a TF f ( −t ) →F ( − ν ) ∗ TF ∗ f ( t ) →F ( − ν ) TF −j2Πaν f(t−a)→(Feν) j2Π at TF ef(t)→F(ν −a) TF f×g→F∗G TF f∗g→F×G TF f ′ (t)→j2ΠνF(ν) (n) TF n f(t)→(j2ΠνF()ν)

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TF TF f(t)→F(ν)→f(−t) +∞ +∞ 2 2 f(t) dt=F(ν) dν  − ∞  − ∞ +∞  n  F(ν)δ= α  − ν  Transforme des signaux priodiques :  n   T n= −∞ Autres proprits : f ( t ) F ( ) relle Re(F) est paire Im(F) est impaire relle et paire relle et paire relle et impaire imaginaire et impaire Quelques Transformes de Fourier. Fourier 1→ δ ( ν ) Fourier δ ( t ) →1 Fourier rect(t)→sinc ( ν ) Fourier 2 tri(t)→sinc ( ν ) Fourier sinc ( t ) →rect(ν) 2 Fourier sinc ( t ) →tri(ν) Fourier j sgn(t)→ − πν Fourier 1 j ech(t)→ δ ( ν ) − 2 2πν −t  e pour t 0 ≥ Fourier 1 ie1(t)=  → 0 pour t< 0 1+j2πν  −t Fourier 2 ie2(t)=e→ 2 1+ ( 2πν ) 2 2 −π t Fourier −πν ig(t)=e→e Fourier 1 cos ( 2πft ) → ( δ ( ν −f ) + δ ( ν +f ) ) 2 Signaux  nergie finie : 2 * DSE : S ff ( ν ) =F ( ν )  DSEI : S fg ( ν ) =F ( ν ) G ( ν ) Signaux  nergie non finie :  1 2  DSP :S ff ( ν ) =Lim  F T ( ν )  T→ +∞  T  +∞ 2  n   pour les fonctions priodiques S ( ν ) = α δ  ν −  ff n n= −∞  T   1 *  DSPI : S fg ( ν ) =Lim  F T ( ν ) G T ( ν ) dν  T→ +∞  T 

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Autocorrlation et intercorrlation des fonctions  nergie finie +∞ +∞ ∗ ∗ C ( τ ) =x ( t ) ⋅x ( t− τ ) dt etC xy ( τ ) =x ( t ) ⋅y ( t− τ ) dt  −∞  − ∞ xx Autocorrlation et intercorrlation des fonctions  nergie non finie T T 1 ∗ 1 ∗ + + 2 2 C xx ( τ ) =lim T x ( t ) ⋅x ( t− τ ) dt et C xy ( τ ) =Lim T x ( t ) ⋅y ( t− τ ) dt   T T T→ +∞ − T − → +∞ 2 2 Pour les fonctions priodiques : T T 1 2 ∗ 1 2 ∗ + + = ⋅ − τC xx ( τ ) = T x ( t ) ⋅x ( t− τ ) dt et C xy ( τ ) T x ( t ) y ( t ) dt  −  − T 2 T 2 Autocorrlation et intercorrlation des fonctions alatoires T ∗ 1 ∗ + 2 C xx ( τ ) =E [ x ( t ) x ( t− τ ) ] =lim T x ( t ) ⋅x ( t− τ ) dt  T→ +∞ − T 2 T 1 + ∗ ∗ 2 et C xy ( τ ) =E [ x ( t ) y ( t− τ ) ] =Lim T x ( t ) ⋅y ( t− τ ) dt T→ +∞  − T 2 Formules dEuler. 1 jx−jx 1 jx−jx cos x=e+sin xe et =e−e ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2j Formules de trigonomtrie. cos ( a+b ) =cos ( a ) cos ( b ) −sin ( a ) sin ( b ) cos ( a−b ) =cos ( a ) cos ( b ) +sin ( a ) sin ( b ) sin ( a+b ) =sin ( a ) cos ( b ) +sin ( b ) cos ( a ) sin ( a−b ) =sin ( a ) cos ( b ) −sin ( b ) cos ( a ) 1 cos ( a ) cos ( b ) = [ cos ( a+b ) +cos ( a−b ) ] 2 1 sin ( a ) sin ( b ) = [ cos ( a−b ) −cos ( a+b ) ] 2 1 sin cos ( a ) ( b ) = [ sin ( a+b ) +sin ( a−b ) ] 2  ∀t≠0δ(t)=0   δ(0)= +∞ Dirac   +∞  δ(t)dt=1   −∞ 1 δ(at)= δ(t) a f(t)(t−t )=ftt()(−t ) 0 0 0

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