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Universite Claude Bernard Lyon Licence Calcul Differentiel

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Description

Niveau: Supérieur
Universite Claude Bernard Lyon 1 Licence 3 Calcul Differentiel Controle partiel Lundi 3 novembre 2008 - Duree 3 heures Les documents et les calculettes sont interdits. Les exercices sont indepen- dants les uns des autres. Il sera tenu compte de la qualite de la redaction pour l'attribution d'une note. Question de cours – (2 pts) Donner la definition de la differentiabilite d'une application en un point. Exercice du cours – (2 pts) Soit Y un ferme d'un espace vectoriel norme complet F et ? : Y ?? Y une application k-contractante avec k < 1. Soit x0 ? Y . On definit une suite (xn)n?N par la relation xn = ?(xn?1). Montrer que pour tout n ? N et p ? N? on a ?xn+p ? xn?F ≤ kn 1? k ?x1 ? x0?F et en deduire que ? admet un point fixe. Exercice 1 – (3 pts) Soit f : Rn ?? Rn une application C1 verifiant pour tout x ? Rn et tout h ? Rn l'inegalite ?dfx(h), h? ≥ ?h?2 . 1. Montrer que pour tout a ? Rn et b ? Rn, on a ?f(b)? f(a), b? a? ≥ ?b? a?2 . On pourra pour cela utiliser l'application ? : t 7? ?f(a + t(b? a)), b? a? .

  • application c1

  • formule de taylor-lagrange

  • xy ∂2f

  • u2 ?

  • courbe de r2

  • equation des tangentes au point double

  • ∂2f ∂y2


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Publié le 01 novembre 2008
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Langue Français

Exrait

Universit´eClaudeBernardLyon1 Licence3CalculDi´erentiel Controˆlepartiel Lundi3novembre2008Dure´e3heures
Lesdocumentsetlescalculettessontinterdits.Lesexercicessontinde´pendantslesunsdesautres.Ilseratenucomptedelaqualit´edelare´daction pour l’attribution d’une note.
Question de cours –p2(D)stennoet´daie´ertnaiibilrlad´enitiondel d’une application en un point.
Exercice du cours –(2 pts) SoitYelniem´orevecrotcnudapsemre´nuef completFet Φ :Y−→Yune applicationkcontractante aveck <1. Soit x0Ytunied´On.ti(eenusxn)nNpar la relationxn= Φ(xn1). Montrer que pour toutnNetpNon a n k kxn+pxnk ≤kx1x0k F F 1k etend´eduirequeΦadmetunpointxe.
n n1 Exercice 1 –(3 pts) Soitf:R−→Rune applicationCina´vrertpou n n toutxRet touthRlage´nil´eit 2 hdfx(h), hi ≥ khk. n n 1. Montrerque pour toutaRetbR, on a 2 hf(b)f(a), bai ≥ kbak. On pourra pour cela utiliser l’applicationϕ:t7→ hf(a+t(ba)), bai. 2. Montrerquefest injective. n n 3. Montrerquefsiemlgbolaedestundi´eomorphRdansf(R).
Exercice 2 –teivannouscnitalofe`eridnscoOns)pt(3fiepo´enrudy6= 0 par : x f(x, y) = sin(π). y 1.Donnerladie´rentielledefau point (1,´eeauvec1)appliquetru(h, k).
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