UNIVERSITE D'ORLEANS CAPES DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES SEMAINE

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Niveau: Supérieur, Bac+5
UNIVERSITE D'ORLEANS CAPES 2007-2008 DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES SEMAINE 8 Exercices de geometrie. 1 - a) Montrer, sur un exemple simple ( par exemple deux points A, B et leur milieu I), que si M est barycentre de (A,?), (B, ?), (C, ?) et barycentre de (A,??), (B, ??), (C, ??), les coefficients ne sont pas a priori proportionnels. b) Montrer que, dans l'espace affine reel A de dimension n, si (Ai)0≤i≤n est un repere affine, alors les representations de M comme barycentre des Ai sont proportionnelles. Un systeme (?i)0≤i≤n tel que M soit barycentre de ((Ai, ?i))0≤i≤n est appele un systeme de coordonnees barycentriques de M . 2 - 1) Soient A,B,C trois points non alignes du plan, M1,M2,M3 trois points du plan de coordonnees barycentriques respectives (?1, ?1, ?1), (?2, ?2, ?2), (?3, ?3, ?3) relativement a (A,B,C). Montrer que M1,M2,M3 sont alignes si et seulement si ? ? ? ? ? ? ? ?1 ?1 ?1 ?2 ?2 ?2 ?3 ?3 ?3 ? ? ? ? ? ? ? = 0 2) Soit A? le barycentre de (B, ?), (C, ?), B? le barycentre de (C, ??), (

• systeme de coordonnees barycentriques


• barycentre


• m0 ?


• d2 des droites secantes


• points du plan de coordonnees barycentriques respectives

Sujets

• Barycentre

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Extrait

´ ´ UNIVERSITE D’ORLEANS ´ ´ DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES

Exercicesdege´ome´trie.

CAPES 2007-2008 SEMAINE 8

1 -a) Montrer, sur un exemple simple ( par exemple deux pointsA, Bet leur milieuI), 0 00 que siMest barycentre de (A, α),(B, β),(C, γ) et barycentre de (A, α),(B, β),(C, γ), lescoefficientsnesontpas`aprioriproportionnels. b)Montrerque,dansl’espaceaffinere´elAde dimensionn, si (A i ) 0≤i≤n tseere`pernu affine,alorslesrepre´sentationsdeMcomme barycentre desA i sont proportionnelles. Unsyst`eme(α i ) 0≤i≤n tel queMsoit barycentre de((A i , α i )) 0≤i≤n mest`enuyslee´atppse decoordonn´eesbarycentriquesdeM. 2 -1) SoientA, B, Crottsinpoisngilanonalpudse´n,M 1 , M 2 , M 3 trois points du plan de coordonne´esbarycentriquesrespectives(α 1 , β 1 , γ 1 ),(α 2 , β 2 , γ 2 ),(α 3 , β 3 , γ 3 a`tnemevitaler) (A, B, C). Montrer queM 1 , M 2 , M 3 ostnlastneietseulemign´essi α 1 β 1 γ 1 α 2 β 2 γ 2 = 0  α 3 β 3 γ 3 0 00 00 2) SoitAle barycentre de (B, β),(C, γ),Ble barycentre de (C, γ),(A, α), etCcelui de 00 000 0 00 0000 0 (A, α),(B, β). Montrer queA , B , Costnlagi´nseistnemeluesteisγα β+α βγ= 0. 0 0 00 3)a)Ende´duirele´en´edeMr`emh´eot¨ale:susiA , B , Csont des points tels queA∈(BC) 0 00 00 00 0 etA6=C,B∈(CA) etB6=A,C∈(AB) etC6=B, montrer queA , B , Csont aligne´ssietseulementsi: 0 0 0 A BB CC A = 1 0 0 0 A CB AC B 0 0 0 b) Si les droites (AA),(BB),(CC) sont concourantes enG, montrer que (th´eor`emede Gergonne) 0 0 0 A GB GC G + + =1 0 0 0 A AB BC C 0 0 AG BG CGC AB AGA Montrer aussi : 0 + 0 + 0 et= 2 0 + 0 = 0 . AA BB CCC BB CGA 3 -Equation barycentrique d’une droite du plan. SoitA, B, Cuqrertnom,nalpudteoidrneΔuitSon.’ile´dspualonanilngispointstro existedesr´eelsa, b, ctpountoixuagsletpeuqtruosue´nootnMupdndlaceoodrno´nees barycentriques (x, y, z), on a M∈Δ⇐⇒ax+by+cz= 0

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R´eciproquement,montrerquesia, b, cniopst,luxns’eblemesede´lensnootsue´agsontdesr Mdalpunodn(seuqirtycensbarn´eerdonceoomedesy`tutsnx, y, zontiuaeq’´elifier´v) ax+by+cz= 0 est une droite.

4 -SoientAetBdeux points distints etGsbyadluecreernyt(me`estA, α),(Bβ) (avec 0 00 00 α+β6= 0). Comment choisirαetβpour que (A, α),(B, β) ait un barycentreG sym´etriquedeGpar rapport au milieuIde [AB] ?

5 -SoitABClpnasnellaad´tren.Onidieeuclaffineurapse´dengilauieqe´glanrintHle projet´eorthogonaldumilieuIde [BC] sur (AB). a) Montrer queH`tmedepertdesusyebarycenestl(erd´s(´entoionspA,1),(B,3)). b) Montrer que le milieuGde [IH] est le barycentre de (A,1),(B,5),(C,2).

6 -SoitABCD`ereduplan.SoientuqnaurdlitaG´eittrdungialeeltnecedervargABD, Hedutvit´gleriancenelgearrtdeCBD,Kle milieu de [GH],Ile milieu de [AC], etJ le milieu de [BD]. 1) Montrer queKest le barycentre de ((A,1),(B,1),(D,1),(C,1),(B,1),(D,1)). 2)Ende´duirequeKest le barycentre de ((A,1),(B,2),(C,1),(D,2)). −→−→ 3) Montrer queI, J, Ksnoatilnge´setexprimerIKen fonction deIJ. 4) SoitEiv´tgearirnadetulgleedtrenecABC,Fgneltria´eduanvtirteldeecgerDAC, etLle milieu de [EF]. Montrer queI, J, K, Latnoslign´es.

7 -SoitABCti,leeosteaffianr´netilapldulgnenopautnirnaM 0 ∈[AB]. On construit les points (M i ) 1≤i≤6 e:doc¸afaletnaviusn

(M 0 M 1 )k(BC) etM 1 ∈(AC),(M 1 M 2 )k(AB) etM 2 ∈(BC) (M 2 M 3 )k(AC) etM 3 ∈(AB),(M 3 M 4 )k(BC) etM 4 ∈(AC) (M 4 M 5 )k(AB) etM 5 ∈(BC),(M 5 M 6 )k(AC) etM 6 ∈(AB). Montrer queM 0 =M 6 .

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8 -SoitGli’uqrertnmol,eer´neafficepanguuprotionsaffinesd’unesfieinedrtnafsroam existe un pointOe´´llssetruoexaps´efilaisenemdetsG.

9 -noennnodlpelffianansDatammnenolpl`elograeunparalABCD. Montrer qu’on peut construire`alar`egleseulelemilieud’unsegment[P Q].

10 -SoitAun point et Δ une droite du plan. Lieu du milieuIde [M A] lorsqueMc´reitd la droite Δ? LorsqueMcleronedeΓn´?´dceirutcn

11 -SoitABCDetM N P Qedall`sparrammelogsluqseeteM, N, P, Qappartiennent respectivement aux droites (AB),(BC),(CD),(DAcentre.ltmeeˆemuqi’slnoon.Mertr)

12 -SoitD 1 etD 2 n,laupsdteanec´ssetiordsedMuur´usesntitnonpnioD 1 ∪D 2 . construirePsurD 1 etQsurD 2 tels queMsoit le milieu de [P Q].

13 -SoitABCun triangle non aplati d’un plan affine,I, J, Klimseldescieuxes[ˆot´BC],[CA],[AB], 0 0 0 Mun point du plan, etA , B , Cedseuqi´etrssymleMitcepsera`rtpoaprrpantmeve I, J, KnEocsndi.compos´e´erantlatomote´hdedehxueecedtrens,ieunl’eM, et l’autre de 0 0 0 centreGdu´eitavlengiatr(ecedrgtnerABC), montrer que les droites (AA),(BB),(CC) sont concourantes.

0 0 00 14 -Etdtna´nnotnuenealigrABC, construire trois pointsA , B , Ctels queBsoit mi- 0 00 00 lieu de [AC],Ccelui de [BA], etAcelui de [CBset](rycentreohed:sabedxu´mte homothe´ties).

0 00 15 -Soit deux cercles du plan de centresOetO(O6=O), de rayonsRetR(R6= 0 00 Rqrerli’usixeedet).ntMonafsroamtneleccreulxhomoth´etiestrC(O, R) enC(RO ,) et donner une construction de leurs centres.

16 -Cstonpantsaasntoinpruruocnocsptesetna`adegentoiteuxdruecnurritenarelc donn´e.

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