Université des Sciences et Technologies de Lille U F R de Mathématiques Pures et Appliquées

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Charles Suquet

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Niveau: Supérieur
Université des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées IS Math314 Année 2007 Corrigé du partiel du 30 mars 2007 Ex 1. Loi de Cauchy et L.F.G.N. Le but de cet exercice est d'étudier la convergence des moyennes arithmétiques d'une suite de v.a. indépendantes et de même loi de Cauchy. Toutes les variables aléatoires in- tervenant dans l'énoncé sont supposées définies sur le même espace probabilisé (?,F, P ). 1) La variable aléatoire réelle X suivant la loi de Cauchy de densité : f : R? R+, t 7? 1 pi(1 + t2) , on a pour tout entier n ≥ 1 : P (X > n) = ∫ +∞ n f(t) dt = ∫ +∞ n 1 pi(1 + t2) dt. En notant que pour tout t ? [n,+∞[, t ≥ 1, d'où 1+ t2 ≤ 2t2, on obtient la minoration : ∫ +∞ n 1 pi(1 + t2) dt ≥ ∫ +∞ n 1 pi(2t2) dt = 1 2pi [ ?1 t ]+∞ n = 1 2pin .

varx ≤

hypothèse de convergence

mn ?

convergence en loi

accord avec la loi du zéro

résolution approchée de l'équation

?? ?

probabilité de succès

Voir

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IS Math314

Université U.F.R. de

des Sciences et Mathématiques

Technologies de Lille Pures et Appliquées

Corrigédupartieldu30mars2007

Année 2007

Ex 1.Loi de Cauchy et L.F.G.N. Le but de cet exercice est d’étudier la convergence des moyennes arithmétiques d’une suite de v.a. indépendantes et de même loi de Cauchy. Toutes les variables aléatoires in-tervenant dans l’énoncé sont supposées déﬁnies sur le même espace probabilisé(Ω,F, P). 1) La variable aléatoire réelleXsuivant la loi de Cauchy de densité : 1 f:R→R+, t7→, 2 π(1 +t) on a pour tout entiern≥1: Z Z +∞+∞ 1 P(X > n) =f(t) dt= dt. 2 n nπ(1 +t) 2 2 En notant que pour toutt∈[n,+∞[,t≥1, d’où1 +t≤2t, on obtient la minoration : Z Z  +∞ +∞+∞ 1 1 1−1 1 dt≥dt= =. 2 2 π(1 +t)nπ(2t) 2π t2πn n n Nous avons ainsi vériﬁé que 1 ∀n≥1, P(X > n)≥. 2πn 2) Soit(Xk)k≥1une suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi que X. On pose

A:={ω∈Ω;Xk(ω)> kpour une inﬁnité d’indicesk}.

Notons pour tout entierk≥1,Ak:={Xk> l’indépendance de la suite des variables aléatoires k) =P(X > k)parce que lesXkont même loi que à la question précédente, on obtient :