Université des Sciences et Technologies de Lille U F R de Mathématiques Pures et Appliquées

Charles Suquet

Description

Niveau: Supérieur
Université des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées IS Math314 Année 2007 Corrigé du partiel du 30 mars 2007 Ex 1. Loi de Cauchy et L.F.G.N. Le but de cet exercice est d'étudier la convergence des moyennes arithmétiques d'une suite de v.a. indépendantes et de même loi de Cauchy. Toutes les variables aléatoires in- tervenant dans l'énoncé sont supposées définies sur le même espace probabilisé (?,F, P ). 1) La variable aléatoire réelle X suivant la loi de Cauchy de densité : f : R? R+, t 7? 1 pi(1 + t2) , on a pour tout entier n ≥ 1 : P (X > n) = ∫ +∞ n f(t) dt = ∫ +∞ n 1 pi(1 + t2) dt. En notant que pour tout t ? [n,+∞[, t ≥ 1, d'où 1+ t2 ≤ 2t2, on obtient la minoration : ∫ +∞ n 1 pi(1 + t2) dt ≥ ∫ +∞ n 1 pi(2t2) dt = 1 2pi [ ?1 t ]+∞ n = 1 2pin .

• varx ≤


• hypothèse de convergence


• mn ?


• convergence en loi


• accord avec la loi du zéro


• résolution approchée de l'équation


• ?? ?


• probabilité de succès

Informations

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• Langue: Français

Extrait

IS Math314

Université U.F.R. de

des Sciences et Mathématiques

Technologies de Lille Pures et Appliquées

Corrigédupartieldu30mars2007

Année 2007

Ex 1.Loi de Cauchy et L.F.G.N. Le but de cet exercice est d’étudier la convergence des moyennes arithmétiques d’une suite de v.a. indépendantes et de même loi de Cauchy. Toutes les variables aléatoires in- tervenant dans l’énoncé sont supposées définies sur le même espace probabilisé(Ω,F, P). 1) La variable aléatoire réelleXsuivant la loi de Cauchy de densité : 1 f:R→R + , t7→, 2 π(1 +t) on a pour tout entiern≥1: Z Z +∞+∞ 1 P(X > n) =f(t) dt= dt. 2 n n π(1 +t) 2 2 En notant que pour toutt∈[n,+∞[,t≥1, d’où1 +t≤2t, on obtient la minoration : Z Z   +∞ +∞+∞ 1 1 1−1 1 dt≥dt= =. 2 2 π(1 +t) n π(2t) 2π t2πn n n Nous avons ainsi vérifié que 1 ∀n≥1, P(X > n)≥. 2πn 2) Soit(X k ) k≥1 une suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi que X. On pose

A:={ω∈Ω;X k (ω)> kpour une infinité d’indicesk}.

Notons pour tout entierk≥1,A k :={X k > l’indépendance de la suite des variables aléatoires k) =P(X > k)parce que lesX k ont même loi que à la question précédente, on obtient :

n}nestnèmeesév.LA k héritent de X k . D’autre part,P(A k ) =P(X k > XaminantlilisEnut.lbateitaroénoi

+∞+∞ X X 1 P(A k )≥= +∞, 2πk k=1k=1