Universite Lyon Master Groupes classiques et geometrie

Description

Niveau: Supérieur
Universite Lyon 1 – 2011-2012 Master 1 – Groupes classiques et geometrie Partiel du 6 avril 2012 Exercice 1 : axiomes de separation 1. (a) Comme l'inversion ? : G ? G, g 7? g?1 est un homeomorphisme (continue et involu- tive), V ?1 est un ouvert. Comme la translation a gauche Lx : G ? G, g 7? xg est un homeomorphisme (elle est continue, de meme que L?1x = Lx?1), xV ?1 est un homeomorphisme. Enfin, x appartient a V donc e = xx?1 appartient a xV ?1. D'autre part, x = xe?1 n'ap- partient pas a xV ?1 car e n'appartient pas a V . (Ceci prouve la propriete T1 pour y = e.) (b) (L'idee sous-jacente est le principe de translation.) Soit x et y deux elements distincts de G, de sorte que e et x?1y sont distincts. Par (T0), il existe un ouvert U qui contient un seul des deux elements e et x. Quitte a remplacer U par xU?1 si U contient x mais pas e, on voit qu'il existe donc un ouvert U de G qui contient e mais pas x?1y. Posant alors V = xU , on voit que V contient x = xe mais pas y = xx?1y. 2.

• base e?


• m0 ?


• b?glk- orbites dans m0


• produit semi-direct


• definition de la topologie quotient


• image d'inverse


• g0 ?


• matrice colonne


• ?m0

Sujets

• Produit semi-direct
• Vecteur colonne

Informations

• Publié par: zauj
• Publié le: 01 janvier 2011
• Nombre de lectures: 26
• Langue: Français

Extrait

Universit´eLyon1–2011-2012 Master1–Groupesclassiquesetg´eom´etrie

Partiel du 6 avril 2012

Exercice1:axiomesdes´eparation −1 1. (a)Comme l’inversionι:G→G,g7→ghom´eomoestuntnoceuniihpr(ems-inetluvo −1 tive),V.toCvureutonsetionnslaatrammelehcuaga`L x :G→G,g7→xgest un −1−1 hom´eomorphisme(elleestcontinue,demeˆmequeL=L −1 ),xVseuthnmoe´moro.meisph x x −1−1−1 Enfin,x`tneitrappaaVdonce=xxappant`artiexV. D’autre part,x=xen’ap- −1 partientpasa`xVcare`aitneptsana’ppraViprouvel.(Cece´te´irporpaT 1 poury=e.) (b)(L’id´eesous-jacenteestleprincipedetranslation.)Soitxetyctinstdiesdxue´ednest´lme −1 G, de sorte queeetx ysont distincts. Par (T 0 ), il existe un ouvertUqui contient un seul −1 desdeuxe´le´mentseetxuQti.rlacerempte`aUparxUsiUcontientxmais pase, on −1 voit qu’il existe donc un ouvertUdeGqui contientemais pasx y. Posant alorsV=xU, −1 on voit queVcontientx=xemais pasy=xx y. 2.(a)Lacontinuite´duproduitm:G×G→Gcenıelle’ledlppaicationenaˆtrfudtiuqe.Onend´e −1−1 f(U) est un ouvert et il contient (e, euit,prodogiepololetaoidnnfiti´erdPa).f(U) contient donc un ouvert de la formeV 1 ×V 2 o,u`V 1 etV 2 sont deux ouverts contenante. −1−1−1 (b) Lechoix deV 1 etV 2 donne :xV 1 y V 2 ⊂U, de sorte quexV 1 y V 2 contientxymais pas −1−1−1−1 e. Par suite, l’intersectionxV 1 ∩(y V 2 ) estvide. PrenantV=xV 1 etW= (y V 2 ) = −1 V y, on obtient deux ouverts d’intersection vide contenant respectivementxety. 2 Exercice 2 : un produit semi-direct 1.Avecdesnotationse´videntes,ona:      −1   0 00 0 −1−1 g vg vv+ 0 0 g 0 g 0 g 0 v g 0 v g −g v 0 0 = et=, 0 10 10 10 1 0 1 ce qui prouve queGest un sous-groupe de GL n+1 (Rc’artlesma’ir´ge.)selIreftce´mcepioruqdee n+1 (0, . . . ,0,1) par l’application continue GL n+1 (R)→R,g= (a ij )7→(a n+1,1 , . . . , a n+1,n , a n+1,n+1 ). 0 00 2. Dansla formule ci-dessus, on voit que sig 0 =g=I n (resp. siv=v= 0), alorsg 0 g=I n et 0 0 −10 −1 =Ie´em´xlelti’tnessed’nveru(ner g 0 n sp.v+g 0 v= 0 et−g v= 0) donc le produit de deu 0 ´el´ementdeH(resp.K) sont dansH(resp.K). Les applications    g 0 v g 0 v 7→g 0 et7→v 0 10 1 sont continues doncHetKonsa:rtefso,nialcsnoitatonsedecavn,nfi.Eesm´er     −1   0 0 g 0 v I n v g 0 v I n g 0 v =, 0 10 10 10 1 ce qui prouve queHeidts.stingu´e

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