Universit´eLyon1–2011-2012 Master1–Groupesclassiquesetg´eom´etrie
Partiel du 6 avril 2012
Exercice1:axiomesdes´eparation −1 1. (a)Comme l’inversionι:G→G,g7→ghom´eomoestuntnoceuniihpr(ems-inetluvo −1 tive),V.toCvureutonsetionnslaatrammelehcuaga`Lx:G→G,g7→xgest un −1−1 hom´eomorphisme(elleestcontinue,demeˆmequeL=L−1),xVseuthnmoe´moro.meisph x x −1−1−1 Enfin,x`tneitrappaaVdonce=xxappant`artiexV. D’autre part,x=xen’ap-−1 partientpasa`xVcare`aitneptsana’ppraViprouvel.(Cece´te´irporpaT1poury=e.) (b)(L’id´eesous-jacenteestleprincipedetranslation.)Soitxetyctinstdiesdxue´ednest´lme −1 G, de sorte queeetx ysont distincts. Par (T0), il existe un ouvertUqui contient un seul −1 desdeuxe´le´mentseetxuQti.rlacerempte`aUparxUsiUcontientxmais pase, on −1 voit qu’il existe donc un ouvertUdeGqui contientemais pasx y. Posant alorsV=xU, −1 on voit queVcontientx=xemais pasy=xx y. 2.(a)Lacontinuite´duproduitm:G×G→Gcenıelle’ledlppaicationenaˆtrfudtiuqe.Onend´e −1−1 f(U) est un ouvert et il contient (e, euit,prodogiepololetaoidnnfiti´erdPa).f(U) contient donc un ouvert de la formeV1×V2o,u`V1etV2sont deux ouverts contenante. −1−1−1 (b) Lechoix deV1etV2donne :xV1y V2⊂U, de sorte quexV1y V2contientxymais pas −1−1−1−1 e. Par suite, l’intersectionxV1∩(y V2) estvide. PrenantV=xV1etW= (y V2) = −1 V y, on obtient deux ouverts d’intersection vide contenant respectivementxety. 2 Exercice 2 : un produit semi-direct 1.Avecdesnotationse´videntes,ona: −1 0 00 0−1−1 g vg vv+ 0 0g0g0g0v g0v g−g v 0 0 = et=, 0 10 10 10 10 1 ce qui prouve queGest un sous-groupe de GLn+1(Rc’artlesma’ir´ge.)selIreftce´mcepioruqdee n+1 (0, . . . ,0,1) par l’application continue GLn+1(R)→R,g= (aij)7→(an+1,1, . . . , an+1,n, an+1,n+1). 0 00 2. Dansla formule ci-dessus, on voit que sig0=g=In(resp. siv=v= 0), alorsg0g=Inet 0 0 −10 −1 =Ie´em´xlelti’tnessed’nveru(ner g0nsp.v+g0v= 0 et−g v= 0) donc le produit de deu 0 ´el´ementdeH(resp.K) sont dansH(resp.K). Les applications g0v g0v 7→g0et7→v 0 10 1 sont continues doncHetKonsa:rtefso,nialcsnoitatonsedecavn,nfi.Eesm´er −1 0 0 g0v Inv g0v Ing0v =, 0 10 10 10 1 ce qui prouve queHeidts.stingu´e
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