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Universite Lyon Master Groupes classiques et geometrie

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Description

Niveau: Supérieur
Universite Lyon 1 – 2011-2012 Master 1 – Groupes classiques et geometrie Partiel du 6 avril 2012 Exercice 1 : axiomes de separation 1. (a) Comme l'inversion ? : G ? G, g 7? g?1 est un homeomorphisme (continue et involu- tive), V ?1 est un ouvert. Comme la translation a gauche Lx : G ? G, g 7? xg est un homeomorphisme (elle est continue, de meme que L?1x = Lx?1), xV ?1 est un homeomorphisme. Enfin, x appartient a V donc e = xx?1 appartient a xV ?1. D'autre part, x = xe?1 n'ap- partient pas a xV ?1 car e n'appartient pas a V . (Ceci prouve la propriete T1 pour y = e.) (b) (L'idee sous-jacente est le principe de translation.) Soit x et y deux elements distincts de G, de sorte que e et x?1y sont distincts. Par (T0), il existe un ouvert U qui contient un seul des deux elements e et x. Quitte a remplacer U par xU?1 si U contient x mais pas e, on voit qu'il existe donc un ouvert U de G qui contient e mais pas x?1y. Posant alors V = xU , on voit que V contient x = xe mais pas y = xx?1y. 2.

  • base e?

  • m0 ?

  • b?glk- orbites dans m0

  • produit semi-direct

  • definition de la topologie quotient

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  • g0 ?

  • matrice colonne

  • ?m0


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Publié le 01 janvier 2011
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Langue Français

Exrait

Universit´eLyon12011-2012 Master1Groupesclassiquesetg´eom´etrie
Partiel du 6 avril 2012
Exercice1:axiomesdes´eparation 1 1. (a)Comme l’inversionι:GG,g7→ghom´eomoestuntnoceuniihpr(ems-inetluvo 1 tive),V.toCvureutonsetionnslaatrammelehcuaga`Lx:GG,g7→xgest un 11 hom´eomorphisme(elleestcontinue,demeˆmequeL=L1),xVseuthnmoe´moro.meisph x x 111 Enfin,x`tneitrappaaVdonce=xxappant`artiexV. D’autre part,x=xen’ap-1 partientpasa`xVcare`aitneptsanappraViprouvel.(Cece´te´irporpaT1poury=e.) (b)(Lid´eesous-jacenteestleprincipedetranslation.)Soitxetyctinstdiesdxue´ednest´lme 1 G, de sorte queeetx ysont distincts. Par (T0), il existe un ouvertUqui contient un seul 1 desdeuxe´le´mentseetxuQti.rlacerempte`aUparxUsiUcontientxmais pase, on 1 voit qu’il existe donc un ouvertUdeGqui contientemais pasx y. Posant alorsV=xU, 1 on voit queVcontientx=xemais pasy=xx y. 2.(a)Lacontinuite´duproduitm:G×GGcenıelleledlppaicationenaˆtrfudtiuqe.Onend´e 11 f(U) est un ouvert et il contient (e, euit,prodogiepololetaoidnnti´erdPa).f(U) contient donc un ouvert de la formeV1×V2o,u`V1etV2sont deux ouverts contenante. 111 (b) Lechoix deV1etV2donne :xV1y V2U, de sorte quexV1y V2contientxymais pas 1111 e. Par suite, l’intersectionxV1(y V2) estvide. PrenantV=xV1etW= (y V2) = 1 V y, on obtient deux ouverts d’intersection vide contenant respectivementxety. 2 Exercice 2 : un produit semi-direct 1.Avecdesnotationse´videntes,ona:     1  0 00 011 g vg vv+ 0 0g0g0g0v g0v gg v 0 0 = et=, 0 10 10 10 10 1 ce qui prouve queGest un sous-groupe de GLn+1(Rcartlesmair´ge.)selIreftce´mcepioruqdee n+1 (0, . . . ,0,1) par l’application continue GLn+1(R)R,g= (aij)7→(an+1,1, . . . , an+1,n, an+1,n+1). 0 00 2. Dansla formule ci-dessus, on voit que sig0=g=In(resp. siv=v= 0), alorsg0g=Inet 0 0 10 −1 =Ie´em´xleltitnessednveru(ner g0nsp.v+g0v= 0 etg v= 0) donc le produit de deu 0 ´el´ementdeH(resp.K) sont dansH(resp.K). Les applications    g0v g0v 7→g0et7→v 0 10 1 sont continues doncHetKonsa:rtefso,nialcsnoitatonsedecavn,n.Eesm´er    1  0 0 g0v Inv g0v Ing0v =, 0 10 10 10 1 ce qui prouve queHeidts.stingu´e
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