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UTBM 2005 mt26 suites series fonctions de variable complexe tronc commun semestre 2 final

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MT 26 Final Printemps 05 Lundi 20 juin 2005 Matériel autorisé: une feuille aide-mémoire A4 recto Les deux parties doivent être rédigées sur des copies séparées I. Première partie ( 12 points = 4 + 8 ) 2 2 21°) Soit la forme différentielle définie par ...

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Langue Français
MT 26Printemps 05 Final Lundi 20 juin 2005
Matériel autorisé: une feuille aidemémoire A4 recto Les deux parties doivent être rédigées sur des copies séparées
I.Première partie(12 points = 4 + 8) 2 2 2 1°) Soit la forme différentielle définie parw 1(3x%3yz) dx#(3y%3xz) dy#(3z%3xy) dz 3 a) Montrer quewest une forme différentielle totale sur R . 3 b) Déterminer une fonction f : R|R , telle que df =wet f(0,0,0) =%1. 2 3 3 c) On pose z = 1 et on définit g par"(x, y)Îy)R g(x, 1x#y%Déterminer les extremums3xy . de g, en précisant pour chacun s’il s’agit d’un minimum ou d’un maximum. n f périodique de période 2pet" Î]%p,# p)] ( 1cos(a) , ca ÎR . 2°) Soit la fonctioax f x x ave# a) Quel est le développement de Fourier dans le cas oùN (Ne pas passer plus de deux minutes sur cette question). Dans le reste de cet exercice, on considérera que N, et que vous connaissez vos formules de trigo. b) Déterminer les coefficients de Fourier (réels ou complexes comme vous voulez) de cette fonction f en fonction dea. a c) Écrire le développement de Fourier de f . La fonction estelle égale à son développement ? a ¥ ¥ n (%1) 1 a 1 a 1 d) Calculer en fonction deaSles sommes : 1( ) et S2( ) å2 2å2 2 n%an%a n11 n11 ¥ 1 aue vous devriez maintenant connaître par cœur). a |0#å e) Déterminer lim S2( ) puis la somme2(q n n=1 Voici, cidessous, la courbe représentative de f , dans le cas oùa 1sur l’intervalle [12, +12]3 et a