BPT 2002 mathematiques a classe prepa pt

Description

A34J S Banque filière PT %+ Epreuve de Mathématiques I-A Durée 4 h L’usage des machines à calculer est interdit. Toutes les réponses seront justifiées La notation tiendra compte du soin apporté à la rédaction. Les quatre parties sont largement indépendantes Partie 1 Soit la série entière x dont le terme général est défini pour n 2 1 et dans laquelle E z désigne la variable complex:. Question 1 a) Déterminer le rayon de convergence R de cette série. b) Est-elle convergente pour z = 1 ? Pour z = -1 ? Question 2 Pour z réel vérifiant 15 1 < R, on note S(z) = E 5. n=l a) Calculer S’(z). b) En déduire S( 5). Question 3 _-- 11 - -- 1 1 1 Etudier la des séries numériques convergence +- 23p+1 23p+2 3p + 3 et où p est entier positif ou nul. .P - La série converge-t-elle pour z = e2ilr/3 ? Ind’ ication : on pourra représenter c n z3P+1 3p+2 ainsi que 2 ,= 3P+3 dans le plan complexe. 1 Question 4 kg a) Pour tout réel 0 tel que ezB est différent de 1. calculer la somme ez k” pour p et, q 27’ k=p entiers stric,tement positifs vérifiant p < y. 1~) Vérifier que cet’te expression est, bornée lorsque ez ’ est différent de 1. c) Soit u,, une suite de nombres réels tendant vers 0 et vérifiant de plus la propriété suivant’e : la série de t’erme gknéral j II n+l - un j est convergent’e. Soit PJ,, une suite de nombres complexes pour laquelle il existe un réel I\f fini tel que, pour tous entiers strictement positifs kq i p et q. avec p < q. on a Z’k 5 :Lf. ...

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• Publié par: aiolia
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• Langue: Français

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