Bac 2012 S Maths spe

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Sujet de Bac 2012 S épreuve de Maths spécialité

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Publié le 27 novembre 2013
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Langue Français
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BACCALAURÉAT GÉNÉRAL
SESSION 2012
MATHÉMATIQUES
Série S
Durée de l'épreuve : 4 heures
Coefcient : 9
ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ
Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la réglementation en vigueur.
Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candida t doit traiter tous les exercices. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l'indiquer clairement sur la copie. Le candidat est invité à faire gurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la p récision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation des copies.
Avant de composer, le candidat s'assurera que le sujet compo rte bien 6 pages numérotées de 1/6 à 6/6.
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EXERCICE 1 (4 points)
Commun à tous les candidats Le plan est muni d’un repère orthonormé³O;ı,´. On considère une fonctionfdérivable sur l’intervalledb3, 2ce.
On dispose des informations suivantes : f(0) −1.  la dérivéef0de la fonctionfadmet la courbe représentativeC0-iedcs.ouss
C0
~
O
~ ı
Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse.
1.Pour tout réelxde l’intervallebd3,1ce,f0(x)60.
2.La fonctionfest croissante sur l’intervallebd1, 2ce.
3.Pour tout réelxde l’intervallebd3, 2ec,f(x)>1.
4.SoitCla courbe représentative de la fonctionf. La tangente à la courbeC 0).au point d’abscisse 0 passe par le point de coordonnées (1,
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EXERCICE 2 (5 points)
Commun à tous les candidats
Pour embaucher ses cadres une entreprise fait appel à un cabinet de recrutement. La procé-dure retenue est la suivante. Le cabinet effectue une première sélection de candidats sur dossier. 40% des dossiers reçus sont validés et transmis à l’entreprise. Les candidats ainsi sélectionnés passent un premier entretien à l’issue duquel 70% d’entre eux sont retenus. Ces derniers sont convoqués à un ultime entretien avec le directeur des ressources humaines qui recrutera 25% des candidats rencontrés.
1.On choisit au hasard le dossier d’un candidat. On considère les événements suivants : D: « Le candidat est retenu sur dossier », E1candidat est retenu à l’issue du premier entretien », Le : « E2 Le candidat est recruté ».: «
a.Reproduire et compléter l’arbre pondéré ci-dessous.
. . .E2 . . .E1 . . .D. . .E2 . . .E1 . . .D
b.Calculer la probabilité de l’événementE1. c.On noteFl’événement « Le candidat n’est pas recruté ». Démontrer que la probabilité de l’événementFest égale à 0,93.
2.Cinq amis postulent à un emploi de cadre dans cette entreprise. Les études de leur dossier sont faites indépendamment les unes des autres. On admet que la probabilité que chacun d’eux soit recruté est égale à 0,07. On désigne parXla variable aléatoire donnant le nombre de personnes recrutées parmi ces cinq candidats.
a.Justifier queXsuit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi. b.Calculer la probabilité que deux exactement des cinq amis soient recrutés. On arron-dira à 103.
3.Quel est le nombre minimum de dossiers que le cabinet de recrutement doit traiter pour que la probabilité d’embaucher au moins un candidat soit supérieure à 0,999 ?
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EXERCICE 3 (6 points)
Commun à tous les candidats
Il est possible de traiter la partie C sans avoir traité la partie B.
Partie A
On désigne parfla fonction définie sur l’intervallebd1,dbpar f(x)x11ln³xx1´. 1.Déterminer la limite de la fonctionfen∞. 1 2.Démontrer que pour tout réelxde l’intervallebd1,bd,f0(x)(x1)2. x Dresser le tableau de variation de la fonctionf. 3.En déduire le signe de la fonctionfsur l’intervallebd1,db.
Partie B
1 1 1 Soit (unla suite définie pour tout entier strictement positif par) un123...nlnn.
1.On considère l’algorithme suivant :
Variables :ietnsont des entiers naturels. uest un réel. Entrée : Demander à l’utilisateur la valeur den. Initialisation : Affecter àula valeur 0. Traitement : Pourivariant de 1 àn. Affecter àula valeuru.1 i Sortie : Afficheru.
Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l’utilisateur entre la valeur n3. 2.Recopier et compléter l’algorithme précédent afin qu’il affiche la valeur deunlorsque l’utilisateur entre la valeur den.
3.Voici les résultats fournis par l’algorithme modifié, arrondis à 103.
n 104 5 6 7 8 9 1000 100 1500 2000 un 0,5770,697 0,674 0,658 0,647 0,638 0,632 0,626 0,582 0,578 0, 578 À l’aide de ce tableau, formuler des conjectures sur le sens de variation de la suite (un) et son éventuelle convergence.
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Partie C
Cette partie peut être traitée indépendamment de la partie B. Elle permet de démontrer les conjectures formulées à propos de la suite (un) telle que pour tout entier strictement positifn, 1 1 1 un123... −lnn. n 1.Démontrer que pour tout entier strictement positifn,
2.
un1unf(n) fest la fonction définie dans la partieA.
En déduire le sens de variation de la suite (un).
a.Soitkun entier strictement positif. Justifier l’inégalitéZkk1µ1 1xdx>0. k En déduire quZkk11xdx1 e6k. 1 ln Démontrer l’inégalité ln(k1)k6k
(1).
b.Écrire l’inégalité (1) en remplaçant successivementkpar 1, 2, ...,net démontrer que pour tout entier strictement positifn,
1 1 1 ln (n1)61  .... 2 3n
c.En déduire que pour tout entier strictement positifn,un>0.
3.Prouver que la suite (un) est convergente. O
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n ne demande pas de calculer sa limite.
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EXERCICE 4 (5 points)
Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct³O;u−→,v´. On désigne parA,BetCles points d’affixes respectiveszA −1i ,zB2 i etDla droite d’équationyx2.
etzC13 i
1.Prouver que les pointsA,BetCappartiennent à la droiteD. Sur une figure que l’on fera sur la copie en prenant 2 cm pour unité graphique, placer les pointsA,B,Cet tracer la droiteD.
2.Résoudre l’équation (1i )z3i vérifier que la solution de cette équation est0 et l’affixe d’un point qui n’appartient pas à la droiteD.
Dans la suite de l’exercice, on appellefl’application qui, à tout pointMd’affixezdifférente de 12 i , fait correspondre le pointM0(1xedfai )z13i. Le but de l’exercice est de déterminer l’image parfde la droiteD.
3.Soitgla transformation du plan qui, à tout pointMd’affixez, fait correspondre le point M1d’affixe (1i )z3i . a.Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformationg. b.Calculer les affixes des pointsA1,B1etC1, images respectives pargdes pointsA,B etC.
c.Déterminer l’imageD1de la droiteDpar la transformationget la tracer sur la figure.
4.Soithl’application qui, à tout pointMd’affixeznon nulle, fait correspondre le pointM2 daf1 xe . z a.Déterminer les affixes des pointsh(A1),h(B1) eth(C1et placer ces points sur la) figure. b.Démontrer que, pour tout nombre complexe non nulz, on a : 1 1 1 −  ⇔ |z2|  |z|. ¯z2¯2 c.En déduire que l’image parhde la droiteD1est incluse dans un cercleCdont on précisera le centre et le rayon. Tracer ce cercle sur la figure. d.Démontrer que tout point du cercleCqui est distinct deOest l’image parhd’un point de la droiteD1. 5.Déterminer l’image par l’applicationfde la droiteD.
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