Bac 2013 S Maths spe

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• Publié par: lewebpedagogique
• Publié le: 14 novembre 2013
• Nombre de lectures: 1 080
• Langue: Français

Extrait

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL
SESSION 2013
MATHÉMATIQUES
Série S
Durée de l’épreuve : 4 heures Coefficient : 9
ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ
Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées,
conformément à la réglementation en vigueur.
Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices.
Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour
aborder les questions suivantes, à condition de l’indiquer clairement sur la copie.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non
fructueuse, qu’il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises
en compte dans l’appréciation des copies.
Avant de composer, le candidat s’assurera que le sujet comporte bien 6 pages
numérotées de 1/6 à 6/6.
13MASCSMELR1 page1/6
SPÉCIALITÉEXERCICE1(4points)
Communàtouslescandidats
Une jardinerievend de jeunes plants d’arbres qui proviennent de trois horticulteurs: 35% des
plantsproviennentdel’horticulteurH ,25%del’horticulteurH etlerestedel’horticulteurH .1 2 3
Chaquehorticulteurlivredeuxcatégoriesd’arbres:desconifèresetdesarbresàfeuilles.
Lalivraisondel’horticulteurH comporte80%deconifèresalorsquecelledel’horticulteurH1 2
n’encomporteque50%etcelledel’horticulteurH seulement30%.3
1. Legérantdelajardineriechoisitunarbreauhasarddanssonstock.
Onenvisagelesévènementssuivants:
– H :«l’arbrechoisiaétéachetéchezl’horticulteurH »,1 1
– H :«l’arbrechoisiaétéachetéchezl’horticulteurH »,2 2
– H :«l’arbrechoisiaétéachetéchezl’horticulteurH »,3 3
– C :«l’arbrechoisiestunconifère»,
– F :«l’arbrechoisiestunarbrefeuillu».
a. Construireunarbrepondérétraduisantlasituation.
b. Calculer la probabilité que l’arbre choisi soit un conifère acheté chez l’horticulteur
H .3
c. Justifierquelaprobabilitédel’évènementC estégaleà0,525.
d. L’arbrechoisiestunconifère.
Quelle est la probabilité qu’il ait été acheté chez l’horticulteur H ? On arrondira à1
−310 .
2. Onchoisitauhasardunéchantillonde10arbresdanslestockdecettejardinerie.Onsup-
posequecestockestsuffisammentimportantpourquecechoixpuisseêtreassimiléàun
tirageavecremisede10arbresdanslestock.
OnappelleX lavariablealéatoirequidonnelenombredeconifèresdel’échantillonchoisi.
a. JustifierqueX suituneloibinomialedontonpréciseralesparamètres.
b. Quelleestlaprobabilitéquel’échantillonprélevécomporteexactement5conifères?
−3Onarrondiraà10 .
c. Quelleestlaprobabilitéquecetéchantilloncomporteaumoinsdeuxarbresfeuillus?
−3Onarrondiraà10 .
13MASCSMELR1 page2/6EXERCICE2(7points)
Communàtouslescandidats
³ ´
~ ~Surlegraphiqueci-dessous,onatracé,dansleplanmunid’unrepèreorthonormé O ; i, j ,la
courbereprésentativeC d’unefonction f définieetdérivablesurl’intervallece0, +∞bd.
BC
C
~j
~O Ai
Ondisposedesinformationssuivantes:
– lespointsA,B,C ontpourcoordonnéesrespectives(1, 0),(1, 2),(0, 2);
– lacourbeC passeparlepointB etladroite(BC)esttangenteàC enB ;
– ilexistedeuxréelspositifsa etb telsquepourtoutréelstrictementpositifx,
a+blnx
f(x)= .
x
01. a. Enutilisantlegraphique,donnerlesvaleursde f(1)et f (1).
(b−a)−blnx0b. Vérifierquepourtoutréelstrictementpositifx, f (x)= .
2x
c. Endéduirelesréelsa etb.
02. a. Justifierquepourtoutréelxappartenantàl’intervallece0,+∞bd,f (x)alemêmesigne
que −lnx.
b. Déterminerleslimitesde f en0eten+∞.Onpourraremarquerquepourtoutréel
2 lnx
x strictementpositif, f(x)= +2 .
x x
c. Endéduireletableaudevariationsdelafonction f.
3. a. Démontrerquel’équationf(x)=1admetuneuniquesolutionαsurl’intervallece0,1ec.
b. Parunraisonnementanalogue,ondémontrequ’ilexisteununiqueréelβdel’inter-
valleec1, +∞bdtelque f(β)=1.
Déterminerl’entiern telquen<β<n+1.
13MASCSMELR1 page3/6
bbbbb4. Ondonnel’algorithmeci-dessous.
Variables: a,b etm sontdesnombresréels.
Initialisation: Affecteràa lavaleur0.
Affecteràb lavaleur1.
Traitement: Tantqueb−a>0,1
1
Affecteràm lavaleur (a+b).
2
Si f(m)<1alorsAffecteràa lavaleurm.
SinonAffecteràb lavaleurm.
FindeSi.
FindeTantque.
Sortie: Affichera.
Afficherb.
a. Fairetournercetalgorithmeencomplétantletableauci-dessousquel’onrecopiera
surlacopie.
étape1 étape2 étape3 étape4 étape5
a 0
b 1
b−a
m
b. Quereprésententlesvaleursaffichéesparcetalgorithme?
c. Modifierl’algorithmeci-dessuspourqu’ilaffichelesdeuxbornesd’unencadrement
−1deβd’amplitude10 .
5. LebutdecettequestionestdedémontrerquelacourbeC partagelerectangleOABC en
deuxdomainesd’aireségales.
Z1
a. Justifierquecelarevientàdémontrerque f(x)dx=1.
1
e
2 1
b. En remarquant que l’expression de f(x) peut s’écrire +2× ×lnx, terminer la
x x
démonstration.
13MASCSMELR1 page4/6EXERCICE3(4points)
Communàtouslescandidats
Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la ré-
ponsechoisie.
Ilestattribuéunpointparréponseexactecorrectementjustifiée.Uneréponsenonjustifiéen’est
paspriseencompte.Uneabsencederéponsen’estpaspénalisée.
1. Proposition1: Dansleplanmunid’unrepèreorthonormé,l’ensembledespointsM dont
l’affixez vérifiel’égalité|z−i|=|z+1|estunedroite.
p¡ ¢4
2. Proposition2:Lenombrecomplexe 1+i 3 estunnombreréel.
H G
3. SoitABCDEFGH uncube.
E F
Proposition3:Lesdroites(EC)et(BG)sontorthogonales.
CD
BA
³ ´→− →− →−
4. L’espaceestmunid’unrepèreorthonormé O ; i , j , k .SoitleplanP d’équationcar-
tésiennex+y+3z+4=0.OnnoteS lepointdecoordonnées(1, −2, −2).
Proposition4:La droite qui passe parS et qui est perpendiculaireau planP a pour re-
x=2+t
présentationparamétrique y=−1+t ,t∈R.

z=1+3t
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bbbbbbbbEXERCICE4(5points)
Candidatsayantsuivil’enseignementdespécialité
erOn étudie la population d’une région imaginaire. Le 1 janvier 2013, cette région comptait
250000habitantsdont70%résidaientàlacampagneet30%enville.
L’examendes données statistiquesrecueilliesaucours deplusieursannées amèneà choisirde
modéliserl’évolutiondelapopulationpourlesannéesàvenirdelafaçonsuivante:
• l’effectifdelapopulationestglobalementconstant,
• chaqueannée,5%deceuxquirésidentenvilledécidentd’allers’installeràlacampagne
et1%deceuxquirésidentàlacampagnechoisissentd’allerhabiterenville.
Pourtoutentiernatureln,onnotev lenombred’habitantsdecetterégionquirésidentenvillen
erau1 janvierdel’année(2013+n)etc lenombredeceuxquihabitentàlacampagneàlamêmen
date.
1. Pourtoutentiernatureln,exprimerv etc enfonctiondev etc .n+1 n+1 n n
µ ¶
0,95 0,01
2. SoitlamatriceA= .
0,05 0,99
µ ¶
a
OnposeX = oùa,b sontdeuxréelsfixésetY =AX.
b
µ ¶
c
Déterminer,enfonctiondea etb,lesréelsc etd telsqueY = .
d
Les résultats précédents permettent d’écrire que pour tout entier naturel n, X = AX oùn+1 nµ ¶
vn nX = .Onpeutdoncendéduirequepourtoutentiernatureln,X =A X .n n 0
cn
µ ¶ µ ¶
1 −1 1 1
3. SoientlesmatricesP= etQ= .
5 1 −5 1
−1a. CalculerPQ etQP.EndéduirelamatriceP enfonctiondeQ.
−1b. VérifierquelamatriceP AP estunematricediagonaleD quel’onprécisera.
n n −1c. Démontrerquepourtoutentiernatureln supérieurouégalà1, A =PD P .
4. Lesrésultatsdesquestionsprécédentespermettentd’établirque
¡ ¢ ¡ ¢1 1n n1+5×0,94 v + 1−0,94 cv =n 0 0
6 6
Quellesinformationspeut-onendéduirepourlarépartitiondelapopulationdecetteré-
gionàlongterme?
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