bac 2013 sujet corrigé mathématiques obligatoire série S 2

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Sujet corrigé Bac 2013 Mathématiques Obligatoire Série S CORRIGE!DE!L’EPREUVE!DE!MATHEMATIQUES!! DU!BACCALAUREAT! !FILIERE!SCIENTIFIQUE!2013! ! ! EXERCICE!1:!!Probabilité! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!donc!!!!!!!! ! ∩! = 0,35×0,8= 0,28!! !!!!!!!!!! !!! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!donc!!!!!!!! ! ∩! = 0,35×0,2= 0,07!! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!donc!!!!!!!! ! ∩! = 0,25×0,5= 0,125!! !!!!!!!!! !!!!!! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!donc!!!!!! ! ∩! = 0,25×0,5= 0,125!!!!!!!!!!donc!!!!!!! ! ∩! = 0,3×0,4= 0,12!! !!!!!!!! !! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!donc!!!!!!! ! ∩! = 0,4×0,7= 0,28!! ! ! 1) b)!!D’après!la!formule!des!probabilités!conditionnelles!:! ! ! ∩! =! ! ×! ! = 0,12!!! ! !! c)!On!utilise!la!formule!des!probabilités!totales!:! ! ! =! ! ×! ! +! ! ×! ! +! ! ×! ! !!! ! ! ! ! !! ! ! !!!!!!!!!!= 0,28+0,125+0,12= 0,525!! ! ! ∩! !,!"!d)!! ! = = = 0,533!! ! ! ! !,!"! ! 2) a)!Les!tirages!étant!assimilés!à!des!tirages!avec!remise!et!comme!!ils!sont!indépendants! alors!!!suit!une!loi!binomiale!de!paramètres!10!et!0,525.! ! !" ! ! ! !b)!! != 5 = 0,525 1−0,525 = 252 0,525 1−0,525 = 0,243 .! ! c)!! !"!!"#$%!2!!"#$%%#& =! !"!!"#$!8!!"#$%è!"# ! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!=! !≤ 8 = 1−! != 10 −! != 9 ! Et!grâce!à!la!calculatrice!on!trouve!0,984.!! ! EXERCICE!2!:Etude!de!fonction!et!algorithme! !1) a)!! 1 = 2!!et!! 1 = 0! ∗ !b)!!!est!dérivable!sur!ℝ on!peut!calculer!! ! !:!!! !! ! ×!!(!!!"# ! )×!!!!"# ! ×!!(!!!"# ! )× ! ) !!!!!"#(!) !!! !!"# !! !!! ! = = = = !!!! !² !² !² !² ! c)!On!

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Publié le 21 juin 2013
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Langue Français
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Sujet corrigé
Bac 2013
Mathématiques
Obligatoire
Série S
CORRIGE!DE!L’EPREUVE!DE!MATHEMATIQUES!!
DU!BACCALAUREAT!
!FILIERE!SCIENTIFIQUE!2013!
!
!
EXERCICE!1:!!Probabilité!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!donc!!!!!!!! ! ∩! = 0,35×0,8= 0,28!!
!!!!!!!!!! !!!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!donc!!!!!!!! ! ∩! = 0,35×0,2= 0,07!!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!donc!!!!!!!! ! ∩! = 0,25×0,5= 0,125!!
!!!!!!!!! !!!!!!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!donc!!!!!! ! ∩! = 0,25×0,5= 0,125!!!!!!!!!!donc!!!!!!! ! ∩! = 0,3×0,4= 0,12!!
!!!!!!!! !!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!donc!!!!!!! ! ∩! = 0,4×0,7= 0,28!!
!
!
1) b)!!D’après!la!formule!des!probabilités!conditionnelles!:!
! ! ∩! =! ! ×! ! = 0,12!!! ! !!
c)!On!utilise!la!formule!des!probabilités!totales!:!
! ! =! ! ×! ! +! ! ×! ! +! ! ×! ! !!! ! ! ! ! !! ! !
!!!!!!!!!!= 0,28+0,125+0,12= 0,525!!
! ! ∩! !,!"!d)!! ! = = = 0,533!! ! ! ! !,!"!
!
2) a)!Les!tirages!étant!assimilés!à!des!tirages!avec!remise!et!comme!!ils!sont!indépendants!
alors!!!suit!une!loi!binomiale!de!paramètres!10!et!0,525.!
!
!" ! ! ! !b)!! != 5 = 0,525 1−0,525 = 252 0,525 1−0,525 = 0,243 .!
!
c)!! !"!!"#$%!2!!"#$%%#& =! !"!!"#$!8!!"#$%è!"# !
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!=! !≤ 8 = 1−! != 10 −! != 9 !
Et!grâce!à!la!calculatrice!on!trouve!0,984.!!
!
EXERCICE!2!:Etude!de!fonction!et!algorithme!
!1) a)!! 1 = 2!!et!! 1 = 0!
∗ !b)!!!est!dérivable!sur!ℝ on!peut!calculer!! ! !:!!!
!! ! ×!!(!!!"# ! )×!!!!"# ! ×!!(!!!"# ! )× ! ) !!!!!"#(!) !!! !!"# !! !!! ! = = = = !!!!
!² !² !² !²
!
c)!On!va!utiliser!!′!et!!!aux!points!particuliers!du!a):!
!!!"# !
!! 1 = 2⇔ = 2⇔!=!!!!!
!
!!! !!"# !!puis!! 1 = 0⇔ = 0⇔!=!!

!!!!" ! ! !!" !
donc!!on!en!déduit!l’expression!! ! !de!!:!!!!! ! = !!!soit!! ! = + !!!!
! ! !
!
! ! ! ×! !!" ! ×!
! !" ! ! !!!!!!!" ! !!" !!!2) a)!! ! = 2 +2 =− + = = − !!! ! ! !! ! ! ! ! !
!"#é!"#$é
! !Comme!!²≥ 0!alors! > 0!!donc! le!signe!de!! ! !ne!dépend!que!de!− ln ! ! !!!!
b)!!lim 2+2ln!(!)=−∞!!!puisque!!!!!lim ln!(!)=−∞!!→!! !→!!
Puis!comme!!lim != 0+!!!alors!on!conclut!que!!! lim ! ! =−∞.!!!!!→!! !→!!
!Et!donc!que!! la!droite!d’équation!!= 0!est!asymptote!verticale!
!
! !" !
lim = 0+!!!!!et!!!lim = 0!!!donc! lim ! ! = 0+!!→!! !→!! !!!!!→!!! !
Et!donc!que! la!droite!d’équation!!= 0!est!asymptote!horizontale!
!
c)!Pour!!!dans!]0;1]!−ln ! ≥ 0!⇔ !!est!croissante!sur!!]!;!]!!!!!
Pour!!!dans!]1;+∞[!−ln ! < 0!⇔ !!est!décroissante!sur!!]!;+∞[!
!
3) a)!Existence!:!
!!est!continue!sur!l’intervalle!]0;1[!!on!peut!donc!appliquer!le!théorème!des!valeurs!
intermédiaires!puis,!remarquant!que!! ! 0;1 ! =]−∞;2[!,!et!que!!1∈]−∞;2[!,!!
alors!il!existe!∝∈]0;1[!!tel!que!! ∝ = 1.!!
Unicité!:!
Comme!!!est!strictement!monotone!sur!cet!intervalle!
alors il!!"#$%!!!"!!"#$!%∝∈]0;1[!!tel!que!! ∝ = 1..!
b)!!On!procède!de!même!:!
!!est!continue!sur!l’intervalle!]1;+∞[!et!!([1;+∞ ! =]0;2]!,!or!1∈]0;2]!,!!donc!d’après!le!
théorème!des!valeurs!intermédiaires,!il!existe!! ∈ [1;+∞[!!tel!que!! ! = 1,!de!plus,!comme!
!!est!strictement!monotone!sur!cet!intervalle!alors!ce!!!est!unique.!
Enfin,!on!!calcule:!
! 4 ≈ 1,19!!puis!! 5 !≈ 1,043!!!!puis!!! 6 ≈ 0,93!!!!!!!!donc!5≤ !!≤ 6= 5+1!!!
donc! l’entier!est!5!
!
4) a)!Voici!l’algorithme!après!avoir!«!tourné!»!:!
!
! 1! 2! 3! 4! 5!
!! 0! 0! ¼!! 3/8!! 0,4375!
!! 1! ½!!! ½!! ½!! 0,5!
1 1 1!−!! 1! ½!! 1/8!>0,1! 0,0625<1!
− = !
donc!2 4 4
l’algorithme!
ne!boucle!pas!
1 1 1 1!! 0,5! 7/16!=! !
! + !!
0,4375!4 2 2 4
! ! ! 1,22> 1! −3,09< 1! 0,102< 1! 0,792< 1! !
! ! ! !
donc!!= ! donc!!= ! donc!!= !donc!!= !
! ! ! !"
!
! !
Il!affiche!donc!!= !!!et!!= !
! !
!
!!b)!L’algorithme!affiche!un!encadrement!de!∝ !!à!10 !près!
!
!
!
!
!c)!Voici!l’algorithme!!pour!un!encadrement!de!l’autre!valeur:!
!
Initialisation!:!affecter!à!!!la!valeur!5!et!à!!!la!valeur!6!
!
Traitement!:!tant!que!!−!> 0,1!affecter!à!!!la!valeur! !+! !
!
! ! ! Si!! ! > 1!affecter!à!!!la!valeur!!!
! ! ! Sinon!affecter!à!!!la!valeur!!!
! ! ! Fin!de!Si!
! ! Fin!de!Tant!que!
Sortie!:!Afficher!!!!
!!!!!!!!!!!!!!!Afficher!!!
!
5) a)!! ! = 0⇔ 2+2ln ! = 0!
⇔ ln ! =−1!!
!! !!⇔ != ! !!!!!!!donc!!! ! ;0 !
!
!
!L’aire!du!triangle!curviligne!!"#= ! ! !"!!!!!mais!!comme!l’aire!du!rectangle!!"#$= 2!alors!!
!
!
Il!faut!donc!prouver!que!!! ! ! ! !"= 1!!
!
!
! !
! ! !" ! !!" ! ! !
!b)! ! +2× !"= 2ln ! + =− 2ln +1ln !!! ! ! ! !! !
!=−(−2ln ! +1 −ln ! = 2−1= 1!
!
EXERCICE3!:!!
1) Soit!!!le!point!d’affixe!!!et!!!le!point!d’affixe−1.!!
!− ! = !+1 ⇔!"=!"!!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!⇔! ∈∆!!médiatrice!du!segment! !" !!
donc!!! !"!!"#!#$%&%#'!!1!!"#!!"#$% !
!
! ! ! ! ! !!2) arg 1+ ! 3 ! = 4arg 1+ ! 3 = 4arg 2 + = 4!"#2+4arg + !
! ! ! !
!" !!
!= 4×0+4arg ! ! 2! != 2! ≠ 0 ! !donc!!∉ !ℝ!donc!
!
!"!!"#!#$%&%#'!!2!!"#!!"#$$% !
!
3) Dans!le!repère!(!,!",!",!")!!on!a!!"=!"+!"+!"=!"+!"−!"!
!".!"= !"+!" .(!"+!"−!")!
!!".!"+!"²−!".!"+!".!"+!".!"−!" = 0!
!"!!"#!#$%&%#'!!3!!"#!!"#$% !!
!
1
4) Soit!! !vecteur!normal!au!plan!!!comme!la!droite!est!perpendiculaire!au!plan!!!1!
3
alors!ce!vecteur!est!directeur!de!la!droite.!Cette!droite!passant!par!! 1;−2;−2 !on!a!du!
coup!:!!−1= ! != !+1
!(!;!;!)∈!(!,! )⇔ ∃! ∈ℝ ∶ !!"= !! ⇔ !+2= ! ⇔ != !−2!!! !
!+2= 3! != 3!−2
!
!= !+1+1= 2+ !
!= !+1−2=−1+ !on!pose!alors!!= !+1!et!on!obtient!:! !!!
!= 3 !+1 −2= 1+3!
donc! !"!!"#!#$%&%#'!!4!!"#!!"#$% !
!
(Il!existe!une!autre!méthode!:!on!vérifie!que!l’équation!proposée!contient!!!et!que!le!vecteur!
directeur!proposé!est!colinéaire!au!vecteur!normal!du!plan.)!
!
EXERCICE!4!:!
! !" !" !"#
1) a)!! = !!!!!! = !!!!!!! = !!!!!!!! = !! ! ! !
! ! !" !"
b)!La!suite!semble!être! croissante!
!
2) a)!Démontrons!par!récurrence!que!! ≤ !+3!pour!tout!!∈ℕ!!
Initialisation!:!! = 2< 0+3!donc!c’est!vérifié!!
Hypothèse!de!récurrence!:!à!!!fixé!on!suppose!que!! ≤ !+3!!
! ! ! ! ! !
! = ! + !+1≤ !+3 + !+1= !+ !+2+1= !+3!!!!! !
! ! ! ! ! !
Conclusion!:!pour!tout!!∈ℕ,l’assertion!est!vraie!!!
!
! !
b)!Pour!tout!!∈ℕ,!!! −! = ! + !+1−! !!!! ! ! !! !
! !
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!=− ! + !+1!!! !
!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!= !+3−! !!!!
!
!!
c)!!Pour!tout!!∈ℕ,!!! ≤ !+3⇔!!−! ≥−!−3!! !
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!⇔ !+3−! ≥ !+3−!−3!!!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!⇔ ! −! ≥ 0!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !
!d’où! (! ) !croît.!! !∈ℕ
!
3)!!a)!pour!tout!!∈ℕ!!!!! −! = ! − !+1 − ! −! !!!! ! !!! !
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!⇔ ! −! = ! −! −!−1+!!!!!! ! !!! !
!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!⇔ ! −! = !+3−! −1!!!!! ! !!
! !!⇔ ! −! = !+1− −1!!!!! ! ! !
! !
!!⇔ ! −! = !−! =− ! !!!!!!! ! ! !
! !
! !
d’où!! =− ! +! !!donc!!! = ! ! !!!!! ! ! !!! !! !
!
!
donc!(! ) !suite!géométrique!de!raison! !et!de!premier!terme!! =! −!=!!!!!! !∈ℕ ! !!
!
!
donc!l’expression!de!! !en!fonction!de!!!donne!:!!! = 2× !! !
!
!
!!
b)!Pour!tout!!∈ℕ!!on!a!! = ! −!⇔ ! = ! +!= 2× +!!! ! ! ! !!
!
Donc!! = 2× +! !!
!
!
!
c)!Comme! < 1!alors!!"#! = 0!comme!limite!d’une!suite!géométrique!dont!la!raison!!!
est!inférieure!en!valeur!absolue!à!1!et!il!vient!que!!!"#! =+∞!!
!
!!! !!!4)!!a)!!On!a!! ! = ! +!!! !!!! !!!
!!! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!= ! + !!!!!! ! !!!
!!!!
!! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! = 2× + !+1 !! !!!
!!"#$∗
!!!! !
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!= !6× 1− + !+1 !!
! !
!
*Il!s’agit!de!la!somme!des!!+1!termes!d’une!suite!géométrique!dont!la!raison!est!différente!de!
1et!dont!le!premier!terme!est!deux,!pour!la!première!somme.!Pour!la!seconde!il!s’agit!de!la!
somme!des!entiers!naturels!de!1!à!!.!!
!
!!! !!!! ! ! !!× !! ! !!! !! !!!! ! ! !! !b)!On!a!pour!tout!∈ℕ!!! = = = 6× + !!! ! ! ! !! ! ! !
!!!!
!! !!!
! !!or!lim6× = 0!!!!car!lim = 0!!!!et!que!!!!lim1− = 1!! !! ! !
!
!!! !!et,!en!mettant!les!termes!de!plus!haut!degré!en!facteur!on!a!lim != !!! !
!
On!conclut!donc!que! lim! = !!
!
!
!
EXERCICE!de!SPECIALITE!:!!
1) ! = 0,95! +0,01! !!!et!!! = 0,05! +0,99! !!!! ! ! !!! ! !
!
2) On!utilise!!=!"!!!
0,95 0,01! != ! !!!
! !0,05 0,99
!= 0,95!+0,01!
donc!! !!
!= 0,05!+0,99!
1 −1 1 1 6 0
3) a)! ! × ! = ! !!!!!!!!!!
5 1 −5 1 0 6
1 1 1 −1 6 0
et!!!! ! × ! = ! !!
−5 1 5 1 0 6
!!!Il!vient!que!!!"=!"= 6! !!!et!!! = !!! !
! 0,95 0,011 1 1 −1!!b)!!! !"= !
! 0,05 0,99−5 1 5 1
! 1 1 1 −1
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!= !!
! −4,7 0,94 5 1
! 6 0
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!= !
! 0 5,641 0
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!= !!!
0 0,94
!
c)!On!montre!par!récurrence!la!proposition!demandée!
!! !!Initialisation!:!!! !"=!!!donc!!!=!"! !
! ! !!Hypothèse!de!récurrence!:!à!!!fixé!on!a!! =!! ! !
!!! ! !! !! ! !! ! !! !!! !!! =!! ! !"! =!! !"! =!! !! =!! ! !!
! ! !!Conclusion!:!Pour!tout!!!on!a!! =!! ! !
!4) Comme!lim !! 0,94 = 0!!!!
! ! !
donc!lim ! = ! + ! = ×250000= 41666,7!! ! !
! ! !
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjFINjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj!
!
Vincent!R.!
Professeur!de!mathématiques!
!