Bac 2022 Corrigé Maths Spé

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• Publié par: LeParisienEtudiant
• Publié le: 11 mai 2022
• Nombre de lectures: 24 339
• Langue: Français

Extrait

Métropole - Sujet 1

M. NASSIRI

Baccalauréatpage 1/ 7

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL

Session 2022

MATHÉMATIQUES

Epréuve de Spécialité - Sujet 1

DURÉE DE L’ÉPREUVE :4 heures– COEFFICIENT :16

Ce corrigé comporte sept pages numérotées de 1/7 à 7/7

Le candidat devait traiter3 exercices parmi les 4communs à tous les candidats.
L’usage de la calcuClatrice sansOmémoire,R« type collèRge », étaIit autorisGé.É
L’usage de la calculatrice avec mode examen actif était autorisé.

Le candidat était invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même
incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements étaient prises en
compte dans l’appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou
infructueuses, étaient valorisées.

Aménagements 2022 :
•Chaque exercice était noté sur 7 points ;
•La note finale est ramenée sur 20 ;
•Afin d’éclairer le candidat, le sujet indique au début de chaque exercice les principaux
domaines abordés..

Page 1

Tournez la page S.V.P.

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Métropole - Sujet 1

EX E R C I C E1 - 7P O I N T S
Partie A : Étude du premier protocole
Soit la fonctionf10] définie pardéfinie sur l’intervalle [0;
−0,5t+1
f(t)=3t e

1.

2.

Baccalauréatpage 2/ 7

TH È M E S:F O N C T I O NE X P O N E N T I E L L E,S U I T E S.

′
a.La fonctionfest dérivable sur l’intervalle [0;10] et on notef. Ainsi, pour tout nombre réelt10], onde [0;
a :

′ −0,5t+1−0,5t+1−0,5t+1
f(t)=3×e+3t×(−0, 5)e=3(−0, 5t+1)e
′
b.En remarquant que le signe def(t) ne dépend que du signe de−0, 5t+1, on dresse le tableau de variations
def:

x

′
Signe def(t)

Variations de
′
f

0

0

−

2

0

6

+

10

≃0.55

c.Selon cette modélisation, la quantité de médicament présente dans le sang du patient sera maximale au
bout de 2 heures. Cette quantité maximale sera de 6 mg.
a.La fonctionfest continue, strictement croissante sur l’intervalle [0 ; 2] et 5∈[f(0) ;f(2)], donc d’après le
corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, on peut dire que l’équationf(t)=5 admet une unique
solutionαsur [0 ; 2].
Á l’aide de la calculatrice graphique (ou d’un algorithme de balayage), on trouveα≃1, 02
b.D’après les questions précédentes, on en déduit que la durée d’efficacité du médicament dans le cas de ce
protocole estβ−α=3, 46−1, 02=heures, soit 2 heures et 26 minutes.2, 44

Partie B : Étude du deuxième protocole

1.Selon cette modélisation, on a :
µ ¶
30
u1=1− ×u0+1, 8=0, 7×2+1, 8=3, 2
100
La quantitéu1de médicament présente dans le sang du patient immédiatement après l’injection de la première
heure est de 3,2 mg
µ ¶
30
2.Puisque la quantité de médicament dans le sang diminue de 30 %, on multiplie par le coefficient1− =
100
0, 7,et, il faut réinjecter toutes les heures une dose de 1,8 mg. Donc, pour tout entier natureln, on a :

3.

un+1=0, 7un+1, 8

a.Montrons par récurrence que, pour tout entier natureln, on a :un≤un+1<6.
Initialisation :
On au0=2,u1=3, 2.
Donc,u0≤u1<6. L’initialisation est donc vérifiée.

Hérédité :On suppose que la proposition est vraie pour un certaink∈N, montrons qu’elle est vraie au rang
k+1.
Par suite,

u≤u<6⇐⇒0, 7×u≤0, 7×u<0, 7×6
k k+1k k+1
⇐⇒0, 7×uk≤0, 7×uk+1<4, 2
⇐⇒0, 7+1, 8×uk≤0, 7+1, 8×uk+1<0, 7×4, 2+1, 8
⇐⇒uk+1≤uk+2<6
On a donc montré, par récurrence que, pour tout entier natureln, on a :un≤un+1<6.

Page 2

Métropole - Sujet 1

4.

Baccalauréatpage 3/ 7

b.Comme la suite (un) est croissante (pour tout entier natureln,un≤un+1)) et majorée (pour tout entier
natureln,un<6), alors d’après le théorème de convergence monotone, la suite (un) converge. vers une
limite fixeℓ.
c.Comme la suite (un) converge. vers une limite fixeℓ, d’après le théorème du point fixe, on a

ℓ=0, 7ℓ+1, 8

Doncℓ=6.
Dans le contexte de l’exercice, cela signifie que la quantité de médicament présente dans le sang du patient
tend vers 6 mg.
a.Pour toutn,
vn+1=6−un+1=6−(0, 7un+1, 8)=0, 7un+4, 2=0, 7 (un−6)=0, 7vn

La suite (vn) est géométrique, de raisonq=et de premier terme0, 7v0=6−2=4.
n
b.Pour tout entier natureln, on a doncvn=4×.0, 7
n
Commevn=6−un, on a doncun=6−vn=6−4×.0, 7
c.On cherchentel queun>5, 5.D’où,

un>5, 5

⇐⇒

n
6−4×0, 7>5, 5

⇐⇒
⇐⇒

⇐⇒

n
0, 760, 125
nln(0, 7)6ln(0, 125)
ln(0, 125)
n>≃5, 83
ln(0, 7)

Le nombre d’injections réalisées en appliquant ce protocole est de 6.

Page 3

Métropole - Sujet 1

EX E R C I C E2 - 7P O I N T S
 
2
#»
 
1. a.Un vecteur directeur deDestu= −1 .
2
b.On résout, ent, le système suivant :

xB=1+2t

yB=2−t⇐⇒


zB=2+2t

2.


−1

3


0

=1+2t
=2−t
=2+2t

⇐⇒

Baccalauréatpage 4/ 7

TH È M E S:G É O M É T R I ED A N SL’E S PA C E


−t= −1

t= −1


t= −1

On trouve la même valeur detpour les trois équations. Donc le pointB(−1; 3; 0)appartient à la droiteD.
# »
c.On calcule d’abord les coordonnées du vecteurAB:
   
xB−xA−1−(−1) 0
# »
   
AB=yB−yA=3−1=2
zB−zA0−3−3

Par suite,

  
0 2
# »
#»
  
AB∙u=2∙ −1=0×2+2×(−1)+(−3)×2= −8
−3 2

#»
a.CommeDest orthogonal au planP, le vecteuru(qui est un vecteur directeur deD) est normal au plan.
On a donc
2x−y+2z+d=0
avecdà déterminer.
Or,A∈P, d’où

2xA−yA+2zA+d=0

⇐⇒

2×(−1)−1+2×3+d=0

Le planPadmet donc pour équation cartésienne 2x−y+2z−3=0.
b.Trouver l’intersection revient à résoudre le système


x=1+2t


y=2−t
z=2+2t


2x−y+2z−3=0

⇐⇒


x=1+2t


y=2−t
z=2+2t


2(1+2t)−(2−t)+2(2+2t)−3=0

⇐⇒

µ ¶
7 19 16
Ainsi,H; ;(projeté orthogonal deAsur le planP).
9 99
c.
q
2 2 2
A H=(x−x)+(y−y)+(z−z)
H AH AH A
s
p
µ ¶µ ¶µ ¶
2 22
7 1916 53
= −(−1)+ −1+ −3)=
9 99 3

d=3

⇐⇒


7
x=
9
19


y=
9
16
z=
9
1


t= −
9

# »
#»
a.B∈D,H∈PetDest orthogonal au planP, par conséquent, il un nombre réelktel queH B=k u.
# »
#»
b.On aH B=k u. Par suite,
−→
−→AB∙u~
# » #»#»2
#»
H B∙u=k u∙u⇐⇒AB∙u~=kk~uk ⇐⇒k=
2
ku~k
−→
AB∙u~−8−8
c.k= =p=.
2
k~uk22 29
2+(−1)+2
  
−1−2µ ¶
xH
# »7 19 16
#»
  
H B=k u⇐⇒3−yH=k−1⇐⇒H; ;
9 99
0−zH2

Page 4

Métropole - Sujet 1

Baccalauréatpage 5/ 7

3.En utilisant la formule du volume du tétraèdre, et en remarquant queB Hest la hauteur deAB C H, on a

avec

1
VABC H= ×AAC H×B H
3

⇐⇒

8
3×
3VA
9
BC H
AAC H== =1
8
B H
3

q
2 2 2
B H=(xH−xB)+(yH−yB)+(zH−zB)
s
µ ¶µ ¶µ ¶
2 22
7 1916 8
= −(−1)+ −3+ −0)=
9 99 3

Remarque :Pour calculer la longueurB H, on pouvait utiliser la propriété suivante :
#»
SoientPle plan d’équation cartésienne ax+b y+c z+d=0et A(xA;yA;zA)un point. Si on noten un
vecteur normal dePet M(x;y;z)un point deP, alors :
# »
#»
|AM∙n| |a xA+b yA+c zA+d|
d(A,P)= =p
#»
knk
2 2 2
a+b+c

Page 5

Métropole - Sujet 1

EX E R C I C E3 - 7P O I N T S

1.

2.

a.p(S)=car 25 % des salariés ont suivi le stage.0, 25

b.

0,52

F

0,4

0,6

S

S

Baccalauréatpage 6/ 7

TH È M E S:P R O B A B I L I T É S

S
0,48
F
S
c.La personne interrogée soit une femme ayant suivi le stage correspond à l’événementF∩S. D’où

d.On cherche doncpS(F). Donc

p(F∩S)=p(F)×pF(S)=0, 52×0, 4=0, 208

p(F∩S) 0,208
pS(F)= ==0, 832
p(S25) 0,

e.On cherche icip(S). Or,
F
p(F∩S)
p(S)=, et
F
p(F)
p(S)=p(F∩S)+p(F∩S).
D’où,p(F∩S)=p(S)−p(F∩S)=0, 25−0, 208=0, 042.
p(F∩S042) 0,
Doncp(S)= ==0, 08.
F
0, 52
p(F)
Le directeur a donc bien raison, parmi les hommes salariés de l’entreprise, moins de 10% ont suivi le stage
(environ 8%).
a.On répèten=20 fois de manière indépendante une expérience n’ayant que deux issues dont la probabilité
de succès estp=p(S)=0, 25
SoitXla variable aléatoire comptant le nombre de succès parmi ces 20 expériences alorsXsuit la loi
binomiale de paramètresn=20 etp=0, 25
b.On cherche donc
µ ¶
20
5 20−5
p(X=5)=(10, 25−0, 25)≈0, 202
5

c.617.La valeur renvoyée par ce programme lorsque l’on saisit proba(5) dans la console Python est 0,
L’algorithme renvoie donc la probabilité qu’au plus 5 salariés dans un échantillon de 20 aient suivi le stage.
d.On cherche donc
p(X>6)=1−p(X65)=1−0, 617≈0, 383

3.Ce stage a été suivi par 25% des salariés, et donc n’a pas été suivi par 75% des salariés. Commme l’entreprise
a décidé d’augmenter les salaires des salariés ayant suivi le stage de 5%, contre 2% d’augmentation pour les
salariés n’ayant pas suivi le stage, le pourcentage moyen d’augmentation des salaires de cette entreprise est
µµ ¶µ ¶¶
5 253 75
1++ ×1−+ ×1×100=3, 5
100 100100 100

Page 6

Métropole - Sujet 1

EX E R C I C E4 - 7P O I N T S

Baccalauréatpage 7/ 7

TH È M E S:N U M É R I QU E SF O N C T I O N S

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple.
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro
de la question et la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.
Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point.
Les six questions sont indépendantes.

1. Réponsec.
2
−2x+3x−1
La courbe représentative de la fonctionfdéfinie surRparf(x)=admet pour asymptote
2
x+1
la droite d’équationx= −2 car en déterminant la limite defen+∞, on a :

2 2
−2x+3x−1−2x
lim=lim= −2
2 2
x→+∞x→+∞
x+1x

2. Réponsed.
2
x
La primitiveFdef(la fonction définie surRparf(x)=xe) et qui vérifieF(0)=1 est définie par
121
x
F(x)=e+car
2 2
1
2 2
′x x
•F(x)= ×2x×e=xe, et
2
121 1 1
0
•F(0)=e+ + + =1
2 22 2

3. Réponsec.
′
D’après la représentation graphiqueCde la fonction dérivéefdef, on en déduit quefconvexe sur
′
f
[0; 2].
4. Réponsea.
2
−x
Toutes les primitives de la fonctionfdéfinie surRparf(x)=3e+2 sont croissantes surRcar pour
toutx∈R,f(x)>0.
5. Réponsed.
2 lnx
La limite en+∞de la fonctionfdéfinie sur l’intervalle ]0;+∞[ parf(x)=est égale à 0 (par
2
3x+1
croissances comparées).
6. Réponsec.
2x x
L’équatione+e−12=0 admet dansRune seule solution (x=ln(3)).

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