Bac mathematiques specialite 2006 s

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[BaccalauréatSAsiejuin2006\EXERCICE 1 4pointsCommunàtouslescandidats ³ ´→− →−Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct O, u , v (unité gra-phique:2cm). −→ −→Onrappellequepourtoutvecteurw nonnul,d’affixez,ona:|z|=kwket³ ´→− −→arg(z)= u , w à2πprès.PartieA.Restitutionorganiséedeconnaissances′Prérequis:Onsaitquesiz etz sontdeuxnombrescomplexesnonnuls,alors:′ ′arg(zz )=arg(z)+arg(z ).′Soientz etz deuxnombrescomplexesnonnuls.Démontrerque:³ ´z ′arg =arg(z)−arg(z )′zPartieBOnnoteAetBlespointsd’affixesrespectives−iet3i.Onnote f l’application qui,àtoutpointM duplan,d’affixez,distinctdeA,associe′ ′lepointM d’affixez telleque:iz+3′z =z+i1. Étudedequelquescasparticuliers.a. Démontrer que f admet deux points invariants J et K appartenant aucercledediamètre[AB].Placercespointssurledessin.′b. On note C le point d’affixec=−2+i. Démontrer que le point C , imagedeCpar f,appartientàl’axedesabscisses.2. PourtoutpointM duplandistinctdeAetB,démontrerque³ ´¡ ¢ π−−→ −−→′arg z = MA, MB + à2πprès.23. Étudededeuxensemblesdepoints.′a. Déterminerl’ensembledespointsM d’affixeztelsquez soitunnombrecomplexeimaginairepur.b. Soit M d’affixe z un point du cercie de diamètre [AB] privé des points A′etB.ÀquelensembleappartientlepointM ?EXERCICE 2 5pointsRéservéauxcandidatsn’ayantpassuivil’enseignementdespécialitéOnconsidèrelecubeABCDEFGHreprésentésurlafeuille annexe.Danstoutl’exer-³ ´−→ −→ −→cice,l’espaceestrapportéaurepèreorthonormal A; AB ; AD ; AE .µ ...

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[Baccalauréat S Asie juin 2006\

E X E R C IC E points1 4 Commun à tous les candidats ³ ´ −→−→ Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal directO,u,v(unité gra phique : 2 cm). −→−→ On rappelle que pour tout vecteurwnon nul, d’affixez, on a :|z| = kwket ³ ´ −→−→ arg(z)=u,wà 2πprès.

Partie A. Restitution organisée de connaissances ′ Prérequis : On sait que sizetzsont deux nombres complexes non nuls, alors :

′ ′ arg(z z)=arg(z)+arg(z). ′ Soientzetzdeux nombres complexes non nuls. Démontrer que : ³ ´ z ′ arg=arg(z)−arg(z) ′ z

Partie B On note A et B les points d’affixes respectives−i et 3i. On notefl’application qui, à tout pointMdu plan, d’affixez, distinct de A, associe ′ ′ le pointMd’affixeztelle que : iz+3 ′ z= z+i 1.Étude de quelques cas particuliers. a.Démontrer quefadmet deux points invariants J et K appartenant au cercle de diamètre [AB]. Placer ces points sur le dessin. ′ b.On note C le point d’affixec= −2+i. Démontrer que le point C , image de C parf, appartient à l’axe des abscisses. 2.Pour tout pointMdu plan distinct de A et B, démontrer que ³ ´ ¡ ¢ −→ π −−→− ′ argz=MA ,MB+à 2πprès. 2 3.Étude de deux ensembles de points. ′ a.Déterminer l’ensemble des pointsMd’affixeztels quezsoit un nombre complexe imaginaire pur. b.SoitMd’affixezun point du cercie de diamètre [AB] privé des points A ′ et B. À quel ensemble appartient le pointM?

E X E R C IC E points2 5 Réservé aux candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité On considère le cube ABCDEFGH représenté sur la feuille annexe. Dans tout l’exer ³ ´ −→−→−→ cice, l’espace est rapporté au repère orthonormalA ; AB; AD ; AE. µ ¶ 1 On note I le point de coordonnées; 1 ; 1. 3 1.Placer le point I sur la figure. 2.Le plan (ACI) coupe la droite (EH) en J. Démontrer que les droites (IJ) et (AC) sont parallèles. 3.On note R le projeté orthogonal de l sur la droite (AC).