Bac Pondichéry 2018 - Série L - Mathématiques

Description

BACCALAUR´ATG´N´RAL SESSION 2018 MATH´MATIQUES-S´rieES ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE Dur´e de l’´preuve : 3 heures Coefficient : 5 MATH´MATIQUES-S´rieL ENSEIGNEMENTDESP´CIALIT´ Dur´e de l’´preuve : 3 heures Coefficient : 4 Les calculatrices sont autoris´es conform´ment ` la r´glementation en vigueur Le sujet est compos´ de 4 exercices ind´pendants. Le candidat doit traiter tous les exercices. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un r´sultat pr´c´demment donn´ dans le texte pour aborder les questions suivantes. Le candidat est invit´ ` faire figurer sur la copie toute trace de recherche, mˆme incompl`te ou non fructueuse, qu’il aura d´velopp´e. Il est rappel´ que la qualit´ de la r´daction, la clart´ et la pr´cision des raisonnements seront prises en compte dans l’appr´ciation des copies. Avant de composer, le candidat s’assurera que le sujet comporte bien 9 pages num´rot´es de 1/9 ` 9/9 . 18MAELIN1 page 1/9 EXERCICE 1 (5 points) Cet exercice est un QCM (questionnaire ` choix multiples). Pour chacune des questions pos´es, une seule des trois r´ponses est exacte. Recopier le num´ro de la question et la r´ponse exacte. Aucune justification n’est demand´e. Une r´ponse exacte rapporte 1 point, une r´ponse fausse ou l’absence de r´ponse ne rapporte ni n’enl`ve de point. Une r´ponse multiple ne rapporte aucun point.

Informations

• Publié par: E-Orientations
• Publié le: 24 mai 2018
• Nombre de lectures: 22
• Langue: Français

Extrait

BACCALAUR É ATG É N É RAL

SESSION 2018

MATH É MATIQUESSérieES ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE

Durée de l’épreuve : 3 heures

Coefficient : 5

MATH É MATIQUESSérieL ENSEIGNEMENTDESP É CIALIT É

Durée de l’épreuve : 3 heures

Coefficient : 4

Les calculatrices sont autorisées conformément à la réglementation en vigueur

Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes. Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation des copies.

Avant de composer, le candidat s’assurera que le sujet comporte bien 9 pages numérotées de 1/9 à 9/9 .

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EXERCICE 1 (5 points)

Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des questions posées, une seule des trois réponses est exacte. Recopier le numéro de la question et la réponse exacte. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point. Une réponse multiple ne rapporte aucun point.

On considère la fonctionfdéfinie sur l’intervalle [0,5 ; 5] par : 5+5 lnx f ( x ) = x Sa représentation graphique est la courbeCdonnée cidessous dans un repère d’origine O. On admet que le point A placé sur le graphique est le seul point d’inflexion de la courbeCsur l’intervalle [0,5 ; 5]. On note B le point de cette courbe d’abscisse e . On admet que la fonctionfest deux fois dérivable sur cet intervalle. ′ ′′ On rappelle quefdésigne la fonction dérivée de la fonctionfetfsa fonction dérivée seconde.

6 5 4 3 2 1

O

y

1

b A

2

b B

e 3

C

On admet que pour toutxde l’intervalle [0,5 ; 5] on a :

−5 lnx ′ f ( x ) = 2 x ′ 1. La fonctionfest :

(a)positive ou nulle sur l’intervalle [0,5 ; 5] (b); 5]négative ou nulle sur l’intervalle [1 (c)négative ou nulle sur l’intervalle [0,5 ; 1]

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4

5

x

10 lnx−5 ′′ f ( x ) = 3 x

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2coe. Le fficient directeur de la tangente à la courbeCau point B est égal à :

5 (a) − 2 e

′ 3fonction. La fest :

10 (b) e

(a)croissante sur l’intervalle [0,5 ; 1] (b); 5]décroissante sur l’intervalle [1 (c); 5]croissante sur l’intervalle [2

(c)

5 3 e

4. La valeur exacte de l’abscisse du point A de la courbeCest égale à :

(a)1,65

(b)1,6

0,5 (c)e

5. On noteAl’aire, mesurée en unités d’aire, du domaine plan délimité par la courbeC, l’axe des abscisses et les droites d’équationx=1 etx=4. Cette aire vérifie :

(a)206A630

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(b)106A615

(c)56A68

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EXERCICE 2 (5 points)

Les différentes parties de cet exercice peuvent être traitées de fac¸on indépendante. Les résultats numériques seront donnés, si nécessaire, sous forme approchée à 0,01 près.

Partie A

Un commerc¸ant dispose dans sa boutique d’un terminal qui permet à ses clients, s’ils souhaitent régler leurs achats par carte bancaire, d’utiliser celleci en mode sans contact (quand le montant de la transaction est inférieur ou égal à 30e) ou bien en mode code secret (quel que soit le montant de la transaction). Il remarque que : •80 % de ses clients règlent des sommes inférieures ou égales à 30e. Parmi eux : – 40 % paient en espèces ; – 40 % paient avec une carte bancaire en mode sans contact ;

– les autres paient avec une carte bancaire en mode code secret. •20 % de ses clients règlent des sommes strictement supérieures à 30e. Parmi eux : – 70 % paient avec une carte bancaire en mode code secret ; – les autres paient en espèces.

On interroge au hasard un client qui vient de régler un achat dans la boutique. On considère les évènements suivants : •Vson achat, le client a réglé un montant inférieur ou égal à 30: pour e; ≪ ≫ •Eson achat, le client a réglé en espèces : pour ; ≪ ≫ •C;son achat, le client a réglé avec sa carte bancaire en mode code secret : pour ≪ ≫ •S: pour son achat, le client a réglé avec sa carte bancaire en mode sans contact . ≪ ≫

1.

2.

a)Donner la probabilité de l’évènementV, notéeP ( V ), ainsi que la probabilité de Ssachant VnotéeP V ( S ).

b)Traduire la situation de l’énoncé à l’aide d’un arbre pondéré.

a)Calculer la probabilité que pour son achat, le client ait réglé un montant inférieur ou égal à 30eet qu’il ait utilisé sa carte bancaire en mode sans contact.

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b)Montrer que la probabilité de l’évènement : pour son achat, le client a réglé avec sa carte ≪ bancaire en utilisant l’un des deux modes est égale à 0,62. ≫

Partie B

On noteXla variable aléatoire qui prend pour valeur la dépense en euros d’un client suite à un achat chez ce commerc¸ant. On admet queXsuit la loi normale de moyenne 27,5 et d’écarttype 3. On interroge au hasard un client qui vient d’effectuer un achat dans la boutique.

1la probabilité que ce client ait dépensé moins de 30. Calculer e.

2. Calculer la probabilité que ce client ait dépensé entre 24,5eet 30,5e.

Partie C

Une enquête de satisfaction a été réalisée auprès d’un échantillon de 200 clients de cette boutique. Parmi eux, 175 trouvent que le dispositif sans contact du terminal est pratique. Déterminer, avec un niveau de confiance de 0,95, l’intervalle de confiance de la proportionpde clients qui trouvent que le dispositif sans contact est pratique.

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EXERCICE 3 (5 points)

On considère la suite ( u n ) définie par u 0 =65 et pour tout entier natureln:

1. Calculeru 1 etu 2 .

u n+1 =0,8u n +18

2tout entier naturel. Pour n, on pose :v n =u n −90.

a) Démontrer que la suite ( v n ) est géométrique de raison 0 ,8. On précisera la valeur dev 0 .

b)Démontrer que, pour tout entier natureln:

3. On considère l’algorithme cidessous :

ligne 1 ligne 2 ligne 3 ligne 4 ligne 5 ligne 6

n u n =90−25×0,8

u←−65 n←−0 Tant que. . . . . . . . . n←−n+1 u←−0,8×u+18 Fin Tant que

a)Recopier et compléter la ligne 3 de cet algorithme afin qu’il détermine le plus petit entier naturelntel queu n >85.

b)Quelle est la valeur de la variablenà la fin de l’exécution de l’algorithme ?

c)Retrouver par le calcul le résultat de la question précédente en résolvant l’inéquation u n >85.

4société Biocagette propose la livraison hebdomadaire d’un panier bio qui contient des fruits. La et des légumes de saison issus de l’agriculture biologique. Les clients ont la possibilité de souscrire un abonnement de 52epar mois qui permet de recevoir chaque semaine ce panier

bio. En juillet 2017, 65 particuliers ont souscrit cet abonnement.

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Les responsables de la société Biocagette font les hypothèses suivantes : •d’un mois à l’autre, environ 20 % des abonnements sont résiliés ; •chaque mois, 18 particuliers supplémentaires souscrivent à l’abonnement.

a) Justifier que la suite ( u n ) permet de modéliser le nombre d’abonnés au panier bio le nième mois qui suit le mois de juillet 2017.

b)Selon ce modèle, la recette mensuelle de la société Biocagette vatelle dépasser 4 420e durant l’année 2018 ? Justifier la réponse.

c)?Selon ce modèle, vers quelle valeur tend la recette mensuelle de la société Biocagette Argumenter la réponse.

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EXERCICE 4 (5 points)

Dans cet exercice, si nécessaire, les valeurs numériques approchées seront données à 0,01 près.

On considère la fonctionfdéfinie sur l’intervalle [0 ; 4] par :

−0,6x f ( x ) = (3 ,6x+2, 4) e −1,4

Partie A

′ On admet que la fonctionfest dérivable sur l’intervalle [0 ; 4] et on notefsa fonction dérivée.

1que pour tout nombre réel. Justifier xde l’intervalle [0 ; 4] on a :

2.

′ −0,6x f ( x ) = ( −2,16x+2, 16) e

′ a)segienedt É dueilrf ( x ) sur l’intervalle [0 ; 4].

b)Dresser le tableau de variation de la fonctionfsur cet intervalle. On donnera les valeurs numériques qui apparaissent dans le tableau de variation sous forme approchée.

3admet que la fonction. On Fdéfinie par :

−0,6x F ( x ) = ( −6x− 14) e −1,4x

est une primitive de la fonctionfsur l’intervalle [0 ; 4]. Z 4 Calculer la valeur exacte def ( x ) d xpuis en donner une valeur numérique approchée. 0

Partie B

On noteC f la courbe représentative de la fonctionfsur l’intervalle [0 ; 4]. On considère la fonctiongdéfinie par :

2 g ( x ) =4x−4x+1

On noteC g la courbe représentative de cette fonction sur l’intervalle [0 ; 0,5].

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On a tracé cidessous les courbesC f etC g dans un repère d’origine O et, en pointillés, les courbes obtenues par symétrie deC f etC g par rapport à l’axe des abscisses :

2

1

O

y C f

Z 0,5 1 1. Montrer queg ( x ) d x=. 6 0

C g

1

2

3

4

x

2considère le domaine plan délimité par les courbes. On C f ,C g , leurs courbes symétriques (en pointillés) ainsi que la droite d’équationx=4. Ce domaine apparâıt grisé sur la figure cidessus. Calculer une valeur approchée de l’aire, en unités d’aire, de ce domaine.

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