Bac S – Mathématiques (spécialité) – Cours complet !

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ARITHMETIQUE Propriétés fondamentales des ensembles d’entiers naturels: Propriété 1 : Toute partie non vide de l’ensemble des entiers naturels admet un plus petit élément. Propriété 2 : Toute partie non vide et majorée de admet un plus grand élément. I. Relation de divisibilité. 1- Définition et premières propriétés. a, b et c désignent des entiers relatifs. Définition 1 : On dit que b divise a ou que a est divisible par b s’il existe un entier k tel que a = b k. On note b | a. Si b divise a, on dit que b est un diviseur de a, et que a est un multiple de b. Propriétés immédiates : 3. Tout entier b divise 0, et 0 ne divise que 0. 4. Si b | a , alors – b | a. 5. Si b | a et si a 0, alors | b | | a |. On en déduit que le nombre de diviseurs d’un entier est fini. 6. Si a | b et b | a , alors | a | = | b |. 7. Si a | b et b | c , alors a | c (on dit que la relation de divisibilité est transitive). 8. Si a | b et a | c, alors a | (ub + vc) où u et v désignent des entiers tels que ub + vc 0 (on dit que ub + vc est une combinaison linéaire de b et c). On a en particulier que a | (b + c) et a | (b – c) . 9. Si a | b, alors pour tout entier c, ac | bc. Démonstration : - 3. On a : 0 = 0 × b. - 4. Si b | a , il existe un entier k tel que a = bk, alors a = -b (-k), donc – b | a. - 5. Si b | a alors il existe un entier naturel k tel que : | a | = | b | k.

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• Publié par: lewebpedagogique
• Publié le: 31 mai 2010
• Nombre de lectures: 148
• Langue: Français

Extrait

ARITHMETIQUE

Propriétés fondamentales des ensembles d’entiers naturels: Propriété 1 :Toute partie non vide de l’ensemble des entiers naturelsadmet un plus petit élément. Propriété 2 :Toute partie non vide et majorée deadmet un plus grand élément.

I. Relation de divisibilité.

1- Définition et premières propriétés. a, b et c désignent des entiers relatifs. Définition 1 : On dit queb divise aou quea est divisible par bs’il existe un entier k tel quea = b k. On note b | b divise a, on dit que b est una. Sidiviseurde a, et que a est unmultiplede b. Propriétés immédiates : 3.Tout entier b divise 0, et 0 ne divise que 0. 4.Si b | alors –ba , | a. 5. Si b | a et sia 0,alors | b |£| a |. On en déduit que le nombre de diviseurs d’un entier est fini. 6.| bSi a| a , alorset b | a | = | b | . 7.Si a | b et b | ac , alors | dit que la relation de divisibilité est transitive).c (on 8.Si a | b et a | ac, alors | 0où u et v désignent des entiers tels que ub + vc(ub + vc) (on dit que ub + vc est une combinaison linéaire de b et c). On a en particulier quea | et a(b + c) | (b – c) . 9.Si a | acb, alors pour tout entier c, | bc. Démonstration : -3. On a : 0 = 0 × b. -4. Si b | il existe un entier k tel que a = bk, alors a = -b (-k), donc – ba , | a. -5. Sib | a alorsil existe un entier naturel k tel que : | a | = | b | k. Comme a≠0, k≥1 donc | b |£| a |. -| a , alors d’après la propriété 4,| a |6. Siet ba | b³| b |³ | a | , donc | a | = | b |. -a7. Si | b et b | et c= k’b.il existe deux entiers k et k’ tels que b = kac , alors D’où c= kk’adonc a | c. -8. Sia | b et a | = k’a.et cc, alors il existe deux entiers k et k’ tels que b = ka On a donc :ub + vc = (uk + vk’) a, donca | (ub + vc). -9. Sia | b, alors il existe un entier k tel que b = ak, donc cb = cakdonc ac | bc.

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2- Nombres premiers. Définition 2: On dit qu’un entier naturel est unnombre premier s’iladmet exactement deux diviseurs : 1 et lui-même. Exemples : 0 et 1 ne sont pas premiers ; 2,3, 5, 7 sontdes nombres premiers. Théorème 1 :Théorème des diviseurs premiers Soit n, n≥2. Si n n’est pas premier, il admet au moins un diviseur premier p tel quep£ n . Démonstration: -Si n n’est pas premier, il admet au moins un diviseur différent de 1 et de lui-même. Dans l’ensemble des diviseurs positifs de n différents de 1 et de lui-même, noté D, on applique la propriété 1. Soit p le plus petit élément de D. p est forcément premier, sinon il admettrait un diviseur positif différent de lui-même et de 1 qui serait alors dans D, inférieur strictement à p, ce qui contredit la définition de p. p divise n, donc il existe un entier q tel que n = pq. q est un diviseur positif de n, il est dans D donc, par définition de p,p£ q. On en déduit que : p²£ pq = n. Remarque : si n est premier il admet exactement un diviseur premier : lui-même. Technique pour déterminer si un nombre est premier : (test de primalité) Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. D’après le théorème des diviseurs premiers, si n n’est divisible par aucun des nombres premiers inférieurs ou égaux à sa racine carrée, on peut affirmer que n est premier. Remarque : pour des nombres « petits », on peut utiliser lecrible d’Eratosthènequi consiste à barrer progressivement les nombres qui ne sont pas premiers dans la liste des premiers entiers naturels. Théorème 2: Tout entier naturel n supérieur ou égal à 2 s’écrit de manière unique sous la forme a a a 1 23 n pp p ...pdistincts, et 1 3 i1 2 , où p 1 , p 2 , p 3 , …, p i des nombres premiers deux à deux sont 1 ,a 2 ,a 3 ,...,a i des entiers naturels non nuls. Démonstration : -Existence :d’après le théorème 1, il existe un nombre premier p 1 un entier naturel n et 1  tels que n = p 1 n 1  avecn 1 car p< n 1 > 1. Si n 1 = 1 ou si n 1 est premier, on a le résultat attendu ; Sinon n 1 ³ 2, donc d’après le théorème 1, il existe un nombre premier p 2 et un entier naturel n 2 tels que n 1 = p 2 n 2  et 1£n 2 < n 1 < n. On réitère ce procédé ; à chaque étape on a l’existence d’un nombre premier p k+1 et d’un entier naturel n k+1 tels que :n k = p k+1 n k+1 avec 1£n k+1 £n k . La suite (n k ) est une suite d’entiers naturels, strictement décroissante tant que n k ¹donc il 1, existe un entier naturel j tel que n j = 1. On a : n = p 1 p 2 … p j . -Unicité : elle découle du théorème de Gauss que l’on verra plus loin.

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