Baccalaureat 1999 mathematiques s.t.i (genie energetique)

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p A 2 A p A v A i 650 M 100 = 300 2 1000 (0 E 1 3 1 M M 1 M 2 2 M z A p 1 1 M ! E 2 2 z E 1 1 p \  2 3 E 2 2 1 E 2 O i 1 p \ 3 E 2 2 i E = 1 z [ ) 3 ! M ; E z 2 p M 2 2 2 1 z M z 3 i z = 2 z z 1 z 98/99 Baccalauréat 99 18/06 a2.tex 1/ 3 Durée : 4 heures L’usage des calculatrices est autorisé pour cette épreuve. Le candidat doit traiter les deux exercices et le problème. La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l’appréciation des copies. Le formulaire officiel de mathématiques est joint au sujet. La feuille réponse est à rendre en fin d’épreuve avec la copie. Barème : 4 4 12 Exercice 1 désigne le nombre complexe du module 1 dont est l’un des arguments. 1. On considère le nombre complexe 3+ . Calculer le module de , et un argument de . 2. (a) Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation suivante : +4 = 0 (b) Écrire les solutions de l’équation sous forme trigonométrique. 3. Le plan est muni d’un repère orthonormal direct u; d’unité graphique cm. On considère les nombres complexes 2+ et On note , et les points d’affixes respectives , et (a) Montrer que les points , et appartiennent au cercle de centre et de rayon . (b) Placer les points , et dans le plan. (Faire le dessin sur la copie et non sur du papier millimétré.) Exercice 2 Une agence de publicité veut tester l’efficacité d’une campagne d’affichage d’un nouveau produit et pour cela réalise une étude auprès de 1000 personnes. Les résultats sont les suivants : – 650 personnes ont vu une affiche ; – 300 ont acheté le produit ; – 100 ont acheté le produit sans avoir vu d’affiche. 1. Recopier et compléter le tableau suivant : Nombre de personnes qui ont acheté n’ont pas acheté Total ont vu une affiche n’ont pas vu d’affiche Total 2. Une personne est choisie au hasard parmi les 1000 personnes. Toutes les personnes ont la même probabilité d’être choisies. (a) Déterminer la probabilité de chacun des événements suivants : : «la personne choisie a acheté le produit »; : « la personne choisie a vu une affiche ». (b) Définir par une phrase l’événement . Déterminer la probabilité de l’événement . (c) Déterminer la probabilité de l’événement .(ln ln ) ; e] e] x D x C C M ln ( ]0 y 0 ) ]0 (1 x 6 g x ; 6 ( e ( ) ]0 et g ( 3] ) 0 x f ( [1 f (ln > 2 ) f x H ( x g ; f mm ( 2 3] 3] ; ; ]0 ) x 3] ) f 6 ( y 0 6 ]0 g f ( ]0 x ( N C )) 0 M ( A x cm C 2 ) C x A x = 3 N x (0 g ; f ! [1 Z ]0 ! 3] j A ) f M x e x 5 x 1 g ( x g x ( x x 2 ) g f ; 2 ) ( x x x )dx ) ) ( x g ( ; f g D g x 3] ( ; g f H x [1 0 3] 3] ; ; ]0 f ; f e] H 98/99 Baccalauréat 99 18/06 a2.tex 2/ 3 Problème Le but du problème est d’étudier la position relative de deux courbes et de calculer l’aire du do maine plan compris entre ces dernières. Le plan est rapporté à un repère orthogonal i; d’unités graphiques cm sur l’axe des abs cisses et cm sur l’axe des ordonnées. Sur la feuille réponse ci jointe (cf. en dernière page), ont été tracées les courbes représentatives et respectivement des deux fonctions et , définies pour tout réel de l’intervalle , par : )= et )= Partie 1 : Étude des fonctions et . 1. (a) Déterminer, en justifiant vos calculs, la limite de en . Que peut on en déduire pour la courbe ? (b) On désigne par la fonction dérivée de sur . Calculer et dresser le tableau de variation de sur . 2. On désigne par la fonction dérivée de sur . Calculer . En admettant que 2l n est positif sur , en déduire que est strictement croissante sur . 3. Désigner sur la feuille réponse (cf. dernière page), la courbe et la courbe . Partie 2 : Position relative des deux courbes. 1. (a) Résoudre sur , l’équation )= . (b) En déduire les coordonnées des points d’intersection et des courbes et . Placer et sur la feuille réponse. 2. (a) Résoudre sur , l’inéquation . (b) En déduire la position relative des courbes et sur l’intervalle . Partie 3 : Calcul d’une aire. On désigne par l’ensemble des points x; du plan tels que : et par son aire exprimée en . On admet que, en unités d ’aire, on a : 1. Hachurer sur la feuille réponse. 2. Soit la fonction définie sur par : )= +3 . (a) Vérifier que la fonction est une primitive de la fonction sur . (b) Calculer, en unités d’aire, la valeur exacte de . (c) En donner une valeur approchée au près par excès.98/99 Baccalauréat 99 18/06 a2.tex 3/ 3 Feuille réponse à rendre impérativement avec la copie; p 30 ; z 0 ( = 300 20 ( ; p 0 = 35 z ; ( 0 A + 2 30 E j 2(1 z e 1 4 j E = 1 p j ; 1 2 M E 650 \ 3 1 i cos 1  A 1 1 = = p i 3 p 2  E i sin z  2 1  > j 0 = ( j  3 1 1000 = M 5 2  1000 6 250 P O 2 2  = ) 2 2 p E \ z E 1 P ( 2 P \ i E 5 2  p 6 + 1 35 E 2 ( 2 P i 4(4) 4 = 1000 2  E 350 i 3 2 z [ 2 1 i E 4 ( P P z 20 j ; j z 2 2 = = z 2 j p ; 1000 300 i E p 1 8 M 2 P = 3 p 700 200 350 i 100 p 450 2 200 2 A E 45 z 98/99 Corrigé très abrégé 26/06 a2s.tex 1/ 3 Exercice 1 1. Calculons 3+1 = 2 de plus et donc à près. Par conséquent =2 e 2. (a) Calculons
=8 8= 8 donc les deux solutions complexes sont : 2+ 2+ et donc . (b) Ces deux nombres ont pour forme trigonométrique : )= =2 e et =2 e 3. (a) =2 donc les trois points , et sont sur le cercle de centre et de rayon . (b) La figure obtenue est la suivante : Exercice 2 1. Le tableau complet est le suivant : Nombre de personnes qui ont acheté n’ont pas acheté Total ont vu une affiche n’ont pas vu d’affiche Total 2. (a) Puisque toutes les personnes ont la même probabilité d’être choisies, les probabilités sont les suivantes : )= =0 et )= =0 . (b) L’événement est « la personne a vu l’affiche et a acheté le produit ». Donc : )= =0 (c) )= )+ )=0( x = x = 1 (1) x x x g  (ln x M 1 + x (ln  ln ) (ln x 2 2 ln f (ln ( ln x = ) x x  ln x x + x + g 3 ( x x ln 1)(ln f x x (ln ) x x ) ln 2 1) x x 0 x ( = 6 N 3 M 0 x H x ) x lim 1) x > ! x 0 0 f ln ( 0 x ; x 1 1 6 ( C ( 6 lim ) x x ! x 0 x x ln 0 (ln lim 6 x = ! 2 0 ) ln x x )(ln = 0 1 > H g x e 3 ln x x ln x x N 2 1 ) = x N x ( (ln 0 x 2(ln x ) y 1 0  y x ( x H x C 0 f x 0 ln ( 0 x 1 ) 0 = g 1 + 1 x x ]0 = 3] x e 1 0 x 0 ) 1) x )(ln ( x f 0 > x x 2 1 x ) ( x (ln > ( 0 ) x ) ( (ln g x e x 6 x x x 6 2 1 x x x 0 (ln 1 ) 3 ln f x 0 2 ( x x ) ) x 0 x + = + x 1 f f ) ( ( x 1 ) x & = % e 1 x e] ln f e ; (e) [1 f 2 N ln y 1 x = = 1 f x M + y 0 M g 3 0 98/99 Corrigé très abrégé 26/06 a2s.tex 2/ 3 Problème Partie 1 On a )= et )= pour (admis) et x> donc est strictement croissante sur . 3. Voir sur la feuille réponse les courbes et . Problème Partie 2 1. (a) Résolvons l’équation )= ; on a donc d’où : et =0 donc ; il y a donc deux cas : =0 donc =1 = 1= 0 donc = e=x (b) Voir le graphique pour la position des points et ; de plus, on a : =1 et =e et 2. (a) Résolvons l’inéquation ; on a donc d’où donc ; on fait un tableau de signe : donc les solutions de l’inéquation sont les nombres . (b) Donc si on a et la courbe est au dessus de la courbe . Problème Partie 3 1. La zone D est noicie sur la figure. 2. (a) On a : )= +3 ; calculons : )= ( +( 2l n +3 n l +32 A ) e) =  ) 10 [1 cm x 2 x  x = x H g 0 282 ( 1 x x 2 x (ln x e) 2 2 (ln ; e(ln 81718 H x ( ::: = cm e] ( A x Z = g 3 f H d 0 H ( 2 x (ln 3) ) (ln x x e) ) = 2 x 2 2 2 = x (1)
H 3e e ; H 82 f g 1 ( ; x e ) 2 f mm ( = x e cm [ x ( (ln ) x ( ) )] 2 x [ [ x ( ln A x 98/99 Corrigé très abrégé 26/06 a2s.tex 3/ 3 )= 2l n +3 l n +3 )= +l n D’autre part : )= ]= +l n +l n Donc est bien une primitive de sur l’intervalle . (b) Calculons : )] + 3 el ne 0+0 ( e+3 e e )+3 3 e+3 unités d’aires (c) Soit =( 3 Donc la valeur approchée cherchée est ou .