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Baccalaureat 2005 mathematiques specialite litteraire recueil d'annales

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[BaccalauréatLspécialité2005\L’intégraledeseptembre2004àjuin2005PourunaccèsdirectcliquezsurlesliensbleusNouvelle-Calédonienovembre2004 ..................3AmériqueduSudnovembre2004 .....................9Pondichéryavril2005 ................................15Centresétrangersjuin2005 ..........................19Francejuin2005 .....................................23LaRéunionjuin2005 ................................26Libanjuin2005 .......................................28Polynésiejuin2005 .................................. 30BaccalauréatLspécialité L’année20052[BaccalauréatLNouvelle-Calédonienovembre2004\Épreuvefacultativenovembre2004DURÉE DE L’ÉPREUVE : 3 HEURESLecandidatdoittraiterlesdeuxpremiersexercicesetsoitl’exercice3,soitl’exercie4EXERCICE 1 OBLIGATOIRE 7pointsRappels:x– Lafonctionexponentielle senoteindifféremment(x7!exp(x))ou x7!e .( )¡ ¢ax+b– Si a et b sont des constantes réelles la fonction dérivée de x7!e est :¡ ¢ax+bx7!ae .PartieASoitlafonction f définiesurl’intervalleI=[1900;2100]par:0,004x−5f(x)=e .′Lafonction f estdérivablesurl’intervalleIetonnote f safonctiondérivée.1. Reproduireetcompléter letableaudevaleursci-dessous.Les valeursde f(x)serontarrondiesaudixième.x 1900 1950 2000 2050 2100f(x)′2. Calculer,pourtoutréel x appartenantàl’intervalleI,lenombre f (x).Endéduirelesensdevariationde f surl’intervalleI.3. Tracerlacourbereprésentativede f surlegraphiquedonnéenannexe1.PartieBOnconsidèreque,pourtoutentiernatureln ...

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[BaccalauréatLspécialité2005\ L’intégraledeseptembre2004à juin2005 Pourunaccèsdirectcliquezsurlesliensbleus Nouvelle-Calédonienovembre2004 ..................3 AmériqueduSudnovembre2004 .....................9 Pondichéryavril2005 ................................15 Centresétrangersjuin2005 ..........................19 Francejuin2005 .....................................23 LaRéunionjuin2005 ................................26 Libanjuin2005 .......................................28 Polynésiejuin2005 .................................. 30 BaccalauréatLspécialité L’année2005 2 [BaccalauréatLNouvelle-Calédonienovembre2004\ Épreuvefacultativenovembre2004 DURÉE DE L’ÉPREUVE : 3 HEURES Lecandidatdoittraiterlesdeuxpremiersexerciceset soitl’exercice3,soitl’exercie4 EXERCICE 1 OBLIGATOIRE 7points Rappels: x– Lafonctionexponentielle senoteindifféremment(x7!exp(x))ou x7!e .( )¡ ¢ ax+b– Si a et b sont des constantes réelles la fonction dérivée de x7!e est :¡ ¢ ax+bx7!ae . PartieA Soitlafonction f définiesurl’intervalleI=[1900;2100]par: 0,004x−5f(x)=e . ′Lafonction f estdérivablesurl’intervalleIetonnote f safonctiondérivée. 1. Reproduireetcompléter letableaudevaleursci-dessous.Les valeursde f(x) serontarrondiesaudixième. x 1900 1950 2000 2050 2100 f(x) ′2. Calculer,pourtoutréel x appartenantàl’intervalleI,lenombre f (x). Endéduirelesensdevariationde f surl’intervalleI. 3. Tracerlacourbereprésentativede f surlegraphiquedonnéenannexe1. PartieB Onconsidèreque,pourtoutentiernatureln appartenantàl’intervalle I,lenombre f(n) donne la population d’une ville V, exprimée en centaines de milliers d’habi- ertants,au1 janvierdel’annéen. er1. a. DéterminergraphiquementlapopulationdelavilleVau1 janvier1990. (Onferaapparaîtrelesconstructionsnécessairessurlegraphiquedel’an- nexe1etondonnerauneréponsearrondieàlacentainedemilliersd’ha- bitants). erb. DéterminerparlecalcullapopulationdelavilleVau1 janvier1990. (Onarrondiralerésultatàladizainedemilliersd’habitants.) er2. Onchercheàdétermineràpartirdu1 janvierdequelleannéelapopulation delavilleVdépasserales2600000habitants, a. Déterminergraphiquementunencadrementdecetteannée. (Onferaapparaîtrelesconstructionsnécessairessurlegraphiquedel’an- nexe1.) b. Déterminercetteannéeparlecalcul. BaccalauréatLspécialité L’année2005 EXERCICE 2 OBLIGATOIRE 7points Le but de cet exercice est de construire un carré d’aire égale à l’aire d’un rectangle donné. PartieA:Étuded’unexemple La figure 1 de l’annexe 2 représente dans un repère orthonormal d’origine O, les pointsA,BetCdecoordonnéesrespectives(0;3),(−5; 3)et(−5; 0)etlerectangle OABC. L’unitégraphiqueestlecentimètre. LecercledecentreOpassantparA,coupel’axedesabscissesendeuxpoints. OnnoteEceluidecespoints dontl’abscisse estpositive etMlemilieu dusegment [CE]. Lecercledediamètre[CE]coupel’axedesordonnéesendeuxpoints. OnnoteFceluidecespointsdontl’ordonnéeestnégative. 1. ConstruireE,MetFsurlafigure1.DonnerlescoordonnéesdeM. 2. CalculerlavaleurexactedeladistanceOF. 23. Calculerl’aireA,expriméeencm ,durectangleOABCetvérifierque: 2A=OF . 4. Construiresurlafigure1uncarréd’aireégaleàcelledurectangleOABC. PartieB:Casgénéral Lafigure2del’annexe2représenteunrectanglequelconqueOABCdelargeurOAet delongueurAB.Onnote a=OAetb =AB.Onadonc:b>a.L’unitégraphiqueestle centimètre. Onne chercherapas àmesurer a et b qui peuvent prendretoutes valeurs positives vérifiantb>a. 1. Construire sur la figure 2, en utilisant uniquement le compas et la règle non graduée,lespointssuivants(onlaisseraapparentslestraitsdeconstruction): a. lepoint Edeladroite(CO)qui vérifie0E= a etn’appartient pas auseg- ment[CO]. b. lepointMmilieudusegment[CE]. c. lepointF,point d’intersection ducercledediamètre[CE] etdeladroite (AO)quivérifie:OestentreAetE. b−a 2. MontrerqueCE=a+b.EndéduireMEpuismontrerqueMO= . 2p 3. PréciserlavaleurdeladistanceMFpuismontrerque:OF= ab. 4. Construiresurlafigure2uncarrédecôté[OF]. VérifierquececarréetlerectangleOABContlamêmeaire. Votrechoix:Exercice3ouexercice4.Indiquerclairementvotrechoixsurlacopie. EXERCICE 3 6points Tous les ouvrages publiés sont identifiés par un numéro ISBN (International Stan- dardBookNumber)quiindiquelalanguedepublication,l’éditeuretlaréférencede l’ouvrage chez cet éditeur. Un numéro ISBN est constitué de neuf chiffres (c’est-à- dire neuf entiers compris entre 0 et 9) suivis d’un espace et d’une clé. Cette clé est unchiffreoulalettreX(le10ennumérationromaine). Pourdéterminerlacléd’unnuméroISBNdontlesneufpremierschiffressont abcdef ghi,oncalculelenombreN=a+2b+3c+4d+5e+6f +7g+8h+9i,puis ondéterminelenombrer comprisentre0et10quiestcongruà N modulo11.Sile nombrer eststrictementinférieurà10,lacléestégaleàr ;silenombrer estégalà 10,lacléestX. Nouvelle-Calédonie 4 novembre2004 BaccalauréatLspécialité L’année2005 1. VérifierquelaclédunuméroISBN190190340 0estcorrecte. 2. CalculerlaclédunuméroISBNdontles9premierschiffressont:103241052. 3. Lequatrième chiffredunuméroISBNd’unouvrageestillisible. Onlenote d. Laclédecenuméroest4etlenuméroseprésenteainsi:329d12560 4. a. Montrerque:4d≡2 (modulo11). b. Endéduirelechiffred. 4. Lepremierchiffreetleneuvième chiffredunuméroISBNd’unautreouvrage sont illisibles. On les note a et i. La clé de ce numéro est 9 et le numéro se présenteainsi: a32100501i. a. Montrerque a≡2−9i (modulo11). b. Donnerdeuxvaleurspossiblesducouple(a; i). Votrechoix:Exercice3ouexercice4.Indiquerclairementvotrechoixsurlacopie. EXERCICE 4 6points Rappels Onnote Al’évènementcontraired’unévènementA,p(A)laprobabilitéd’unévène- A,ment AetB »ou« A∩B »l’intersectiondedeuxévènements AetB,« « AouB »ou« A∪B »laréuniondedeuxévènementsAetB. On note p (A) la probabilité qu’un évènement A se réalise, sachant qu’un évène-B p(A∩B) p(AetB) mentB (deprobabiliténonnulle)estdéjàréalisé.Ona:p (A)= = .B p(B) p(B) Dansunpayseuropéen,12%desmoutonssontatteintsparunemaladie. Untestdedépistagedecettemaladievientd’êtremissurlemarchémaisiln’estpas totalementfiable. Uneétudeamontréquequandlemoutonestmaladeletestestpositifdans93%des cas;quandlemoutonestsain,letestestnégatifdans97%descas. Onchoisitunlemoutonauhasardetonlesoumetautestdedépistagedelamala- die. OnnoteMl’évènement «lemoutonestmalade». OnnotePol’évènement «letestestpositif». 1. Compléterl’arbredeprobabilitédonnéenannexe3. 2. CalculerlesprobabilitésdesévènementsA,B,Csuivants: A:«Lemoutonestmaladeetletestestpositif». B:«Lemoutonestsainetletestestpositif». C:«Lemoutonestmaladeetletestestnégatif». 3. Endéduirequelaprobabilitédel’évènementPoestégale0,138. Quelleestlaprobabilitéqueletestsoitnégatif? 4. Danscettequestionlesrésultatsserontarrondisaumillième. a. Sachantqu’unmoutonauntestpositif,quelleestlaprobabilitéqu’ilne soitpasmalade? b. Sachant qu’un mouton a un test négatif, quelle est la probabilité qu’il soitmalade? Nouvelle-Calédonie 5 novembre2004 BaccalauréatLspécialité L’année2005 ANNEXE1(àrendreaveclacopie) Exercice1,questionsA3,B1aetB2a 30 25 20 15 10 1900 2000 2100 Nouvelle-Calédonie 6 novembre2004 BaccalauréatLspécialité L’année2005 ANNEXE2(àrendreaveclacopie) B A C O Exercice2 Figure2 B A C O Nouvelle-Calédonie 7 novembre2004 BaccalauréatLspécialité L’année2005 ANNEXE3(àrendreaveclacopiesivousavezchoisil’exercice4) Exercice4,question1 Po 0,12 M 0,12 0,12 Po Po 0,12 0,12 M 0,12 Po Nouvelle-Calédonie 8 novembre2004 [BaccalauréatLAmériqueduSudnovembre2004\ Épreuvefacultative DURÉE DE L’ÉPREUVE : 3 HEURES Lecandidatdoittraiterlesdeuxpremiersexerciceset soitl’exercice3,soitl’exercie4 EXERCICE 1 OBLIGATOIRE 6points Rappels p 1+ 5 – OnnoteΦlenombred’ordontlavaleurexacteestΦ= ; 2 2– Φestl’uniquenombrepositifquivérifie:Φ −Φ−1=0. – OnditquedeuxtrianglesPQRetSTUsont«semblables»ou«demêmeforme» si les angles en P, Q, R dans le triangle PQR sont respectivement égaux aux PQ PR QR anglesenS,T,UdansletriangleSTU,cequirevientadireque: = = . ST SU TU o o Ondonneun triangleABCtelque :BC =1,ABC=72 et BCA=72 .(Voirl’annexe 1.) OnposeAB=AC=x.Lebutdesquestionssuivantesestdemontrerque x=Φ.1. a. Calculerlamesureendegrésdel’angleCAB. b. Construire à la règle et au compas la bissectrice de l’angle ABC. On ex- pliciteralaméthodeutilisée. Cettebissectricecoupe[AC]enM.  2. a. CalculerlesmesuresendegrésdesanglesCBMetCMB. EndéduirequeletriangleBCMestisocèleetqueBM=1. b. JustifierquelestrianglesABCetBCMsontsemblables. c. Endéduiretroisrapportsdedistanceségaux. 3. a. MontrerqueletriangleBAMestisocèle. b. Endéduireque:CM=x−1. AB BC 4. D’aprèslesrésultatsdelaquestion2c: = . BC CM 2Endéduireque x vérifiex −x−1=0puisque x=Φ. o o oOn appelle triangle d’or tout triangle dont les angles mesurent 36 , 72 et 72 , c’est-à-diretouttrianglesemblableautriangleABCétudiédanscetexercice,c’est- à-diretouttriangledontleslongueursdescôtéssontproportionnellesà1,ΦetΦ. EXERCICE 2 OBLIGATOIRE 7points Rappels • a étantuneconstanteréelle,lafonction x7¡→ln(ax)apourfonctiondérivée 1 x7¡→ . x • x et y étantdeuxreelsstrictementpositifs:ln(xy)=lnx+lny età ! x ln =lnx−lny. y • x étantunréelstrictementpositif:exp(lnx)=x. BaccalauréatLspécialité L’année2005 Le son se manifeste par des variations de pression de l’air. L’unité de mesure de la pressiondel’airestlePascal. La pression de l’air s’exerce sur le tympan de l’oreille humaine. Pour une pression −6supérieureouégaleà20×10 Pascalss’exerçantsursontympan,l’oreillehumaine perçoitunsondontleniveausemesureendécibels. −6Onnote p =20×10 .0 Pourunepressionde p Pascalss’exerçantsurletympan, avec p>p ,leniveau so-0 noreperçuestde f(p)décibelsoù:à ! 20 p 20 f(p)= ln , c’est-à-dire f(p)= ln(50000p). ln(10) p ln(10)0 1. Quelestleniveausonoreperçupourunepressionde2Pascals?de0,2Pascal? de0,02Pascal? 20 2. Onnotek= etI=[p ;+∞[.0ln10 Donc f estlafonctiondéfiniesurl’intervalleIpar: f(x) = k ln(50 000x). ′Onnote f lafonctiondérivéedelafonction f surl’intervalleI.¡ ¢ a. Préciserlavaleurde f p .0 ′b. Pourtoutréel x appartenantàl’intervalle I,calculer f (x).Endéduirele sensdevariationsdelafonction f surl’intervalleI. c. Interpréterlesrésultatsduaetdubentermesdepressions’exerçantsur letympanetdeniveausonoreperçu. 3. Àpartird’unniveausonorede120décibels,onressentunedouleur. Déterminerlapression p correspondantàceniveausonore. 4. a. Montrerquepourtoutréel x appartenantàl’intervalleI: f(10x)=kln(10)+f(x). On en déduit que : f(10x)=20+ f(x) et on dit que : «le niveau sonore augmente de20décibelsquandlapressions’exerçantsurletympanest multipliéepar 10». b. Exprimer, pour tout réel x appartenant à l’intervalle I, f(100x) en fonc- tionde f(x)eténoncerlapropriétéduniveausonorecorrespondante. Votrechoix:Exercice3ouexercice4.Indiquerclairementvotrechoixsurlacopie. EXERCICE 3 7points Rappels Onnote p(A)laprobabilitéd’unévènement A,«AetB»ou«A ∩ B»l’intersection dedeuxévènements AetB. On note p (A) la probabilité qu’un évènement A se réalise, sachant qu’un évène-B p(A∩B) p(AetB) mentB(deprobabiliténonnulle)estdéjàréalisé.Ona:p (A)= = .B p(B) p(B) Ondisposededeuxurnesnumérotées1et2. L’urne1contientunebouleblancheetuneboulenoire. L’urne2contientdeuxboulesnoiresetunebouleblanche. Onréalisel’expériencealéatoiresuivante:ontireauhasardunebouledansl’urne1 etonlametdansl’urne2,puisontireauhasardunebouledansl’urne2. Onsupposequetouslestiragessontéquiprobables. Onnote: N l’évènement :«Labouletiréedel’urne1estnoire»;1 AmériqueduSud 10 novembre2004