Baccalauréat C 1975 Clermont-Ferrand 1

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat C 1975 Clermont-Ferrand 1 \ EXERCICE 1 On désigne par C l'ensemble des fonctions numériques définies et continues sur R. On rappelle que C, muni de l'addition des fonctions et de la multiplication par un nombre réel, est un espace vectoriel sur R ; on le notera (C, +, ·). 1. Soit f un élément de C ; on considère l'application, notée ?, ? R ? R x 7?? ∫x 0 f (t)dt Montrer que ? est dérivable et continue sur R. L'application ? a-t-elle une dérivée seconde pour x = 0 ? 2. On considère l'application, notée ?, ? : C ? C f 7?? ? Montrer que ? est une application linéaire de (C , +, .) dans lui-même. Déterminer le noyau de ?. 3. Dans le cas où : f : R ? R x 7?? 2?x déterminer l'application ?. EXERCICE 2 Dans le plan affine euclidien P, on considère le triangle équilatéral ABC tel que ? ? ? ???AB ? ? ?= ? ? ? ???BC ? ? ?= ? ? ? ???CA ? ? ?= a; a étant un nombre réel strictement positif.

• courbes ?


• courbe représentative


• expression analytique de l'application réciproque


• ???ca ?


• clermont-ferrand–grenoble


• c?1 représentatives des fonc- tions f1

Sujets

• Graphe d'une fonction

Informations

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• Langue: Français

Extrait

Durée : 4 heures

1 [Baccalauréat C 1975 ClermontFerrand\

E X E R C IC E 1 On désigne parCl’ensemble des fonctions numériques définies et continues surR. On rappelle queCr un, muni de l’addition des fonctions et de la multiplication pa nombre réel, est un espace vectoriel surR; on le notera (C,+,∙).

1.Soitfun élément deC; on considère l’application, notéeϕ,

ϕR→R Z x x−7→f(t) dt 0 Montrer queϕest dérivable et continue surR. L’applicationϕatelle une dérivée seconde pourx=0 ? 2.On considère l’application, notéeθ,

θ:C→C f7−→ϕ Montrer queθest une application linéaire de (C,+, .) dans luimême. Déterminer le noyau deθ. 3.Dans le cas où :

f:R→R −x x→7−2 déterminer l’applicationϕ.

E X E R C IC E 2 Dans le plan affine euclidien P, on considère le triangle équilatéral ABC tel que −→−→−→ ° AB ° = ° BC ° = ° CA ° =a; aétant un nombre réel strictement positif. 1.Déterminer le point G, barycentre des points A, B et C respectivement affectés des coefficients 2, 1 et 1. Préciser sur une figure la position du point G. ′ 2.On considère l’applicationfde P dans P qui, au pointM, associe le pointM tel que : −−−→ −−→−−→−−→ ′ M M=2MA+MB+MC . Préciser la nature de l’applicationfet les éléments qui la caractérisent. 3.Déterminer l’ensembleΓdes pointsMde P vérifiant : −−→−−→−−→ 2 2 22 2MA+MB+MC=2a (On pourra remarquer que A est un élément deΓ). 1. Grenoble

Terminale C

4.Déterminer l’ensembleΔdes pointsMde P vérifiant :

−−→ −−→−−→ 2 22 2 MB+MC−2MA=2a.

(On pourra remarquer que A est un élément deΔ).

A. P. M. E. P.

P R O B L È M E Les parties A, B et C du problème sont dans une large mesure indépendantes. Dans tout le problème, on désignera par P le plan affine euclidien rapporté au repère ³ ´ −→−→ orthonormé O,u,v. Partie A Soitaun nombre réel quelconque etf a la fonction deRdansRdéfinie par : a(x−2) f a (x)=e+1. ³ ´ −→−→ On désignera parC a sa courbe représentative relativement au repèreO,u,v.

1.Étudier, en discutant suivant les valeurs dea, les variations de la fonctionf a (dresser les tableaux de variations). Montrer que les courbesC a ont en commun un point A et une asymptoteΔ. Tracer sur une même figure les courbesC 1 etC −1 représentatives des fonc tionsf 1 etf −1 . 2.Préciser dans chacun des deux cas suivants la relation que doivent vérifier les ′ nombresaetapour que les courbesCetC: ′ a a – aientau point A des tangentes orthogonales – soientsymétriques par rapport à la droite d’équationx−2=0 3.Soitλun nombre réel positif. Calculer en fonction deλl’aire du domaine plan défini par : ½ 2−λ 6 x 6 2+λ © ª −1 1 6 y 6 inff(x),f 1 (x) © ª −1 où inff(x),f 1 (xle plus petit des deux nombres) désignef −1 (x) etf 1 (x). Cette aire atelle une limite lorsqueλtend vers+∞? Partie B On envisage l’application ponctuelle de P dans P qui, à tout pointmde coordonnées ³ ´ −→−→ (x,y) dans le repèreO,u,vfait correspondre le pointM(X;Y) défini par les relations : ½ X=x+2 (1) y Y=e+1

1.Cette application estelle injective ? Quel est l’ensemble image de P par cette application, ensemble que l’on no tera P 1 ? Montrer que l’applicationgde P dans Pl définie par les relations (1) est une −1 bijection ; donner l’expression analytique de l’application réciproqueg. ³ ´ −→ 2.Quelle est l’image pargde la droiteO,u? −1 Quelle est l’imageD a pargde la courbeC a ? ³ ´ −→−→ TracerD 1 etD −1 O,dans le repèreu,v.

ClermontFerrand–Grenoble

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juin 1975

Terminale C

A. P. M. E. P.

p 3.SoitHla courbe d’équation :y=2+x. −1 On désigne parΓl’image deHparg. Quelle est l’équation deΓdans le re ³ ´ −→−→ père O,u,v? Tracer la courbeΓen précisant ses particularités.

Partie C SoitCl’ensemble des nombres complexes, oùzdésigne le conjugué dez. On définit la suite (z n ) deNdansCpar :   z 0 =k(1+i) µ ¶ 1 ( knombre réel non nul)  z n = −z n−1 2 ³ ´ −→−→ Soitm n le point du plan P d’affixez n O,relativement au repèreu,v.

1.Calculerz n en fonction dez 0 et den. Quelle est la limite du module dez n quandntend vers+∞? ¡ ¢ 2.Exprimer les coordonnéesx n ;y n du pointm n en fonction deket den. Montrer que tous les pointsm n appartiennent à la réunion de deux droites fixes que l’on précisera. Dans quelle application indépendante denle pointm n+1 estil l’image de m n−1 ? Le pointm n atil une position limite quandntend vers+∞? 3.On poseM n =g ( m n ). 4.Exprimer les coordonnées (X n ;Y n ) deM n en fonction deket den. 5.Montrer que tous les pointsM n appartiennent à la réunion de deux courbes fixes que l’on précisera.

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