Baccalauréat C 1975 Toulouse

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat C 1975 Toulouse \ EXERCICE 1 Étudier les restes des quatre nombres : 2, 22, 23, 24 dans la division par 5, et démon- trer que, quel que soit l'entier strictement.positif n, le nombre 174n+2+324n?1+3 est divisible par 5. EXERCICE 2 Soit f la fonction numérique de la variable réelle définie sur R+ par : ? ? ? f (0) = 0 f (x) = ?2xLog x ?x ?]0 ; 1[ (Log : logarithme népérien) f (x) = ?xex?1+1 ?x ? [1 ; +∞[ 1. Étudier la continuité de f sur R+ 2. La fonction f est-elle dérivable sur R+ ? 3. Étudier la variation de la fonction f (on ne demande pas la construction de la courbe représentative). PROBLÈME Partie A Soit E l'ensemble des matrices carrées 2?2 à termes réels de la forme : m = ( a b 0 a ) E est muni des lois addition et multiplication définies par : a . b) (a' b') ( a + a' m+m? = ( a b 0 a ) + ( a? b? 0 a? ) = ( a+a? b+b? 0 a+a? ) m?m? = ( a b 0 a ) ? ( a? b? 0 a? ) = ( aa? ab?+

• courbe ? d'équation y2


• équation en z


• point i0 de coordonnées


• vectoriel pi


• courbe représentative


• point gn


• barycentre des points i0


• anneau est·il commutatif

Sujets

• Graphe d'une fonction

Informations

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• Langue: Français

Extrait

Durée : 4 heures

[Baccalauréat C 1975 Toulouse\

E X E R C IC E 1 2 3 4 Étudier les restes des quatre nombres : 2, 2, 2, 2dans la division par 5, et démon trer que, quel que soit l’entier strictement.positifn, le nombre

4n+2 4n−1 17+32+3

est divisible par 5.

E X E R C IC E 2 Soitfla fonction numérique de la variable réelle définie surR + par :  f(0)=0  f(x)= −2xLogx∀x∈(Log : logarithme népérien)]0 ; 1[  x−1 f(x)= −xe+1∀x∈[1 ;+∞[ 1.Étudier la continuité defsurR + 2.La fonctionfestelle dérivable surR + ? 3.Étudier la variation de la fonctionf(on ne demande pas la construction de la courbe représentative).

P R O B L È M E

Partie A Soit E l’ensemble des matrices carrées 2×2 à termes réels de la forme : µ ¶ a b m= 0a E est muni des lois addition et multiplication définies par : a . b) (a’ b’) ( a + a’ µ ¶µ ¶ µ¶ ′ ′′ ′ a ba ba+a b+b ′ m+m== + ′ ′ 0a0a0a+a µ ¶µ ¶ µ¶ ′ ′′ ′′ a ba ba aab+a b ′ m×m== × ′ ′ 0a0a0a a Cest l’ensemble des nombres complexes notés 2 z=a+bi, (a;b)∈R On considère l’applicationϕ: ϕ:C→E µ ¶ a b a+bi−→7 0a

1.Démontrer queϕest un isomorphisme de (C,++). L’application) sur (E,ϕ estelle un isomorphisme de (C,×) sur (E,×) ? 2.Démontrer que (E,+,×? Estil) est un anneau. Cet anneau est∙il commutatif unitaire ? Quels sont les éléments inversibles de cet anneau ?

Terminale C

A. P. M. E. P.

µ ¶ a b 3.ϕassocie àz=a+bi la matricem= 0a µ ¶ ′ ′ a b ′ ′′ ′ àz=a+bi la matricem= ′ 0a ′ ′ On noterazTzle nombre complexe dont l’image parϕestm×m. On définit ainsi une loi de composition interne dansC. Démontrer queϕest un isomor phisme de (C,++ ,, T) sur (E,×). En déduire la structure de (C, +,T). Quelle est la restriction de la loi T àR? 4. a.On note

(0) (1)⋆(n) (n−1) z=1,z=z,∀n∈N,z=zTz (2) (n) Calculer iet ipourn > 2. (n) En posantz=a+bi, calculerz. b.Résoudre, dansC, les équations (2) z=1 (n) z=1nétant un entier naturel donné supérieur à 2 (n) z=α,αétant un réel donné,nun entier naturel donné supérieur ou égal à 2. c.Résoudre, dansC, l’équation

(2) z−z−6+4i=0

Partie B ³ ´ −→−→ 1.Soit P un plan vectoriel de baseı,. SoitFl’application linéaire de P vers µ ¶ ³ ´ −→−→ a b 2 P dont la matrice dans la baseı,estm=, (a;b)∈R. 0a a.Dans quels casFestelle bijective ? b.Suivant les valeurs deaetb, quel est l’ensemble des vecteurs invariants ¡ ¢ −→ ′ ′ parF? (On notera (X;Y) les coordonnées d’un vecteuru, etX;Y ³ ´ −→ celles deF u. ³ ´ −→−→ 2.SoitΠun plan affine de repèreO,ı,associé au plan vectorielπ. Soitf l’application affine deΠversΠayantFpour application linéaire associée et telle que le point O soit invariant. a.Exprimer en fonction de coordonnées (x;y) d’un pointMles coordon ¡ ¢ ′ ′′ néesx;yde son imageM=f(M). 1 b.Dans le cas particulier oùa=etb=5, quelle est l’équation de la 2 ′2 courbeΓtransformée de la courbeΓd’équationy=x? Préciser sa nature et ses éléments. c.Soit le point I 0 de coordonnées (4 ;−3) et les points I 1 , I 2 I. . ,, . n images respectives parfdes points I 0 , I 1 . . , I, . n−1 . Déterminer les coordonnées des points I 1 , I 2 , .. . ,I n en fonction deaet b. 1 Dans le cas particulier oùa=etb=5, lorsquenaugmente indéfini 2 ment dansN, le point I n atil une position limite ?

Toulouse

2

septembre 1974

Terminale C

A. P. M. E. P.

d.Soit G n le barycentre des points I 0 , I 1 , .. . ,I n affectés de coefficients tous égaux à 1. Donner les coordonnées de G n en fonction deaetb. 1 Dans le cas particulier oùa=etb=5, lorsquenaugmente indéfini 2 ment dansN, le point G n atil une position limite ?

Toulouse

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septembre 1974