Baccalauréat C Aix–Marseille septembre

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C Aix–Marseille septembre 1978 \ EXERCICE 1 Un plan euclidien P est rapporté à un repère orthonormé direct ( O, ??ı , ??? ) . On appelleD (respectivement∆) la droite dont un vecteur directeur est??u =??ı cos(?)+ ??? sin? (respectivement ??v =??ı cos(?)???? sin?) avec 0< ? < pi4 . 1. Pour tout point M de P , démontrer qu'il existe un et un seul bipoint (P ; Q) dont M soit le milieu et tel que P ?D, Q ?∆ 2. On appelleQ ? (respectivement P ?) le projeté orthogonal de P (respectivement Q sur ∆ (resp. D) et M ? le milieu du bipoint (P ? ; Q ?). On désigne par S l'appli- cation de P dans P telle que S(M)=M ?. Démontrer que S est bijective. 3. On pose ???OP = r??u , ???OQ = r ???v . Calculer en fonction de r, r ?, ?, les coordonnées (x ; y) de M et (x? ; y ?) de M ?. 4. Démontrer que S est une similitude indirecte dont on précisera le centre, l'axe et le rapport. EXERCICE 2 Soit E l'ensemble des triplets X = (p, q, r ) (p ?Z,q ?Z,r ?Z?) tels que p2+q2 = r 2.

• application f1


• repère orthonormé direct


• tion des applications


• ?? e?x2


• loi de composition interne


• équa- tion p2


• dt

Sujets

• Loi de composition interne

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 septembre 1978
• Nombre de lectures: 28
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat C Aix–Marseille septembre 1978\

E X E R C IC E 1 ³ ´ −→−→ Un plan euclidienPO,est rapporté à un repère orthonormé directı,. −→−→ On appelle D (respectivementΔ) la droite dont un vecteur directeur estu=ıcos(θ)+ −→−→−→−→ π sinθ(respectivementv=ıcos(θ)−sinθ) avec 0<θ<. 4 1.Pour tout pointMdeP, démontrer qu’il existe un et un seul bipoint (P;Q) dontMsoit le milieu et tel queP∈D, Q∈Δ ′ ′ 2.On appelleQ(respectivementP) le projeté orthogonal deP(respectivement ¡ ¢ ′ ′′ QsurΔ(resp. D) etMle milieu du bipointP;Q. On désigne parSl’appli ′ cation dePdansPtelle queS(M)=M. Démontrer queSest bijective. −→→−−→−−→ ′ 3.On pose OP=r u, OQ=r v. ¡ ¢ ′ ′′ ′ Calculer en fonction der,r,θ, les coordonnées (x;y) deMetx;ydeM. 4.Démontrer queSest une similitude indirecte dont on précisera le centre, l’axe et le rapport.

E X E R C IC E 2 ¡ ¢ ⋆2 2 2 Soit E l’ensemble des tripletsX=(p,q,r)p∈Z,q∈Z,r∈Ztels quep+q=r. On définit l’applicationfde E dans l’ensembleCdes nombres complexes telle que p+iq X∈E→7−f(X)= =Z. r 1.Montrer que, dans E, la loi notée⋆, définie par ¡ ¢ X 1 ⋆X 2 =p 1 p 2 −q 1 q 2 ,p 2 q 1 +p 1 q 2 ,r 1 r 2 ¡ ¢¡ ¢ avecX 1 =p 1 ,q 1 ,r 1 etX 2 =p 2 ,q 2 ,r 2 est une loi de composition interne. Calculerf ( X 1 ⋆X 2 ). Montrer quefest un homomorphisme de (E,⋆) dans (C,∙). 2.Vérifier que siX 0 =(3, 4, 5),X 0 ∈E. CalculerX 0 ⋆X 0 ,X 0 ⋆(X 0 ⋆X 0 ). En déduire deux solutions, autres queX 0 , en nombres entiers positifs, de l’équa 2 2 2 tionp+q=r.

P R O B L È M E Rest l’ensemble des nombres réels. Fdésigne l’ensemble des applications deRdansR. On rappelle queFmuni de l’addition des applications et de la multiplication par un réel est unR espace vectoriel.

Partie A 1.Soitula fonction affine définie par :

2 x∈Ru(x)=a x+b(a;b)∈R.

Montrer queuvérifie la relation

¡ ¢ 2 ∀(x;y), (x;y)∈R,

|u(x)−u(y)| 6 |a| ∙ |x−y|.

Terminale C

A. P. M. E. P.

p 2 2.SoitVla fonction définie par :x∈R→−7V(x)=x+1. Montrer queVvérifie ¡ ¢ 2 ∀(x;y), (x;y)∈R,|V(x)−V(y)| 6 M|x−y|. 3.Soitfune application deRdansR, continue et bornée surR: (∃M,M∈R + ), (∀t,t∈R),|f(t)| 6 M. a.Montrer qu’il existe une fonctionF, continue surR, définie par Z x x∈R,f→−7F(x)=f(t) dt. 0 2 b.Montrer que (∀(x;y), (x;y)∈R),|F(x)−F(y)| 6 M|x−y|. c.En déduire que les applicationsF 1 etF 2 définies par F 1 :x7−→sinx, x F 2 :x7−→Log (e+1) , vérifient respectivement, 2 ¯ ¯¯ ¯ (∀(x;y)∈R),F 1 (x)−F 1 (y) 6 |x−y|,F 2 (x)−F 2 (y) 6 |x−y|. Partie B On se propose d’étudier ensemble (L) des applications deRdansR, vérifiant la pro position :

© ¡¢ ª 2 p:∀f,f∈(L), (∃λ f ,λ f ∈R + ),∀(X,Y), (X,Y)∈R,|f(x)−f(y)| 6 λ f |x−y|

1.Montrer que (L) est un sousespace vectoriel de l’espace vectoriel (F,+,∙). 2.Établir que (∀f 1 ,f 1 ∈(L)), (∀f 2 ,f 2 ∈(L)),f 2 ◦f 1 ∈(L) où◦désigne la composi tion des applications. 3.Montrer que toute application de (L) est continue en tout point deR. Partie C 1.Soitϕl’application deRdansR: 1 x7−→ϕ(x)=π+sinx. 3 1 2 Vérifier que (∀(x;y), (x;y)∈R),|ϕ(x)−ϕ(y)| 6 |x−y|etϕ(π)=π. 3 2.Soit (u n ) la suite réelle définie par ⋆ u 0 ∈R, (∀n,n∈N),u n =ϕ ( u n−1 ) . 1 Établir que (∀n,n∈N), | u n −π | 6 | u 0 −π | . n 3 En déduire que la suite (u n ) est convergente. Donner sa limite. Partie D 2 On définit les deux applications suivantes deRdansR 2 −x θ:x7−→e , Z x 2 −t G:x G(x)=e dt. 0 (On ne cherchera pas à calculerG(x)).

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Terminale C

A. P. M. E. P.

1.Étudier la fonctionθ. Tracer sa représentation graphique dans un repère or ³ ´ −→−→ thonormé O,ı,. 2 −t 2.Montrer que (∀t,t∈R), e 6 1. En déduire queGappartient à (L). 3.Montrer queGest dérivable en tout point deR. Étudier le sens de variation de G. Z x R 2 x −t −t 4.Établir que (∀x,x > 1), e dt 6 e dt. 1 1 En déduire que la fonctionGest bornée et damet une limiteℓ(qu’on ne cal culera pas) lorsquextend vers plus l’infini.

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