Baccalauréat C Centres d'Outre-Mer

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat C Centres d'Outre-Mer \ septembre 1983 EXERCICE 1 A. Question préliminaire : résoudre dans R, l'équation : e2x ?4ex +3= 0. On notera S l'ensemble des solutions. B. On considère la fonction f de la variable réelle x définie dans R?S par x 7?? f (x)= ln ??e2x ?4ex +3?? où la notation ln représente le logarithme néperien. 1. Résoudre dans R l'inéquation e2x ?4ex +3> 0. 2. Calculer lim x?+∞ [lne2x (1?4e?2x +3e?2x)?2x]. 3. Étudier et représenter graphiquement, dans un repère orthonormé ( O, ??ı , ??? ) , la fonction f . On précisera les asymptotes à la courbe représentative. Onpren- dra comme unité 2 cm, et on donne ln2≈ 0,7 et ln3≈ 1,1. EXERCICE 2 Soit E un plan rapporté à un repère orthonormé ( O, ??ı , ??? ) . 1. Soit ? l'ensemble des points de E dont les coordonnées (x ; y) dans ( O, ??ı , ??? ) vérifient : (1) 16x4+72x2y2+81y4?576x2 = 0. Montrer que ? est la réunion de deux coniques qu'on déterminera et qu'on représentera. (On pourra écrire, dans (1), le membre de gauche comme différence de deux carrés.

• loi de composition des applications


• points invariants de ft


• point m0 d'affixe z0


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Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 septembre 1983
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• Langue: Français

Extrait

Durée : 4 heures

[Baccalauréat C Centres d’OutreMer\ septembre 1983

E X E R C IC E 1 A. Question préliminaire : résoudre dansR, l’équation :

2x x e−4e+3=0.

On noteraSl’ensemble des solutions. B. On considère la fonctionfde la variable réellexdéfinie dansR−Spar

2x x ¯ ¯ x7−→f(x)=ln e−4e+3

où la notation ln représente le logarithme néperien.

2x x 1.Résoudre dansRl’inéquation e−4e+3>0. £ ¡¢ ¤ 2x−2x−2x 2.ln eCalculer lim1−4e+3e−2x. x→+∞ ³ ´ −→−→ 3.Étudier et représenter graphiquement, dans un repère orthonorméO,ı,, la fonctionf. On précisera les asymptotes à la courbe représentative. On pren dra comme unité 2 cm, et on donne

ln 2≈30, 7et ln≈1, 1.

E X E R C IC E 2 ³ ´ −→−→ Soit E un plan rapporté à un repère orthonorméO,ı,. ³ ´ −→−→ 1.SoitΓl’ensemble des points de E dont les coordonnées (x;y) dansO,ı, vérifient :

4 22 42 (1) 16x+72x y+81y−576x=0. Montrer queΓest la réunion de deux coniques qu’on déterminera et qu’on représentera. (On pourra écrire, dans (1), le membre de gauche comme différence de deux carrés.) ³ ´ −→−→ 2.Déterminer la trajectoire du pointMdont les coordonnées (x;yO,) dansı, sont données en fonction du tempstpar : ¡ ¢ ½ t+π E 2π x=3(−1) (1+cost) avect∈[0 ; 4π]. y=2 sint Préciser le déplacement deMsur sa trajectoire. (On rappelle que, pour toutα∈R, E(α) désigne l’entier relatifmtel que m 6 α<m+1 ; on pourra envisager successivement les cas suivants :

t∈[0 ;π[,t∈[π; 3π[,t∈[3π; 4π].)

Terminale C

A. P. M. E. P.

P R O B L È M E ³ ´ −→−→ On désigne parPO,un plan rapporté à un repère orthonorméu,v. À tout point Mdu planPde coordonnées (x;y) est associé le nombre complexez=x+iy, appelé affixe du pointM. −→ ′ ′ On désigne parPle planPprivé de la droite passant par O et dirigée paru, parC l’ensembleCdes nombres complexes privé deR.

′ 1.Soitzun élément deCettun réel. Montrer quezsint+costn’est pas nul et, posantz=x+iy, déterminer en fonction det,x,yles parties réelles et imaginaires de

zsint−cost ′ z=. zsint+cost ′ ′ Établir quezest élément deC. Dans toute la suite du problème, pour tout réelt, on désigne parf t l’applica ′ ′ tion deCdansCtelle que

zsint−cost f t (z)= zsint+cost ′ ′′ ′ L’application dePdansPqui, au pointMd’affixez=f t (z) sera notéeF t . 2.Rechercher les points invariants deF t . Discuter selon les valeurs det. ′ ′ ′ 3.Montrer que, pour tout couple (t;t) de réels,F t+t =F t ◦F. En déduire que t l’ensembleFdes applicationsF t oùtdécritR, muni de la loi de composition des applications, est un groupe abélien. −→ 4.SoitDla droite passant par O et dirigée parv, privée du point O. ′ On se propose de déterminer l’ensembleEdes points dePdont l’image par F t , appartient àD. Établir, en s’aidant des résultats obtenus dans la première question : a.que si sin 2t=0,E=D. Donner alors les applicationsF t correspondantes, et montrer que toutes ces applications sont involutives. b.2que si sint6=0,Eest alors une partie, à préciser, d’un cercle. 5.Dans cette question,tdésigne un réel de l’intervalle ]0 ;π[. On noteΩ 1 etΩ 2 les points du planPd’affixes respectives−cotgtet+cotgt. a.Pour tout nombre complexezdeC, exprimer en fonction detle produit : ¡ ¢ f t (z)−cotgt(z+cotgt) −−−−→ −−−→ ′ En déduire une relation liant ° Ω 2 M ° et ° Ω 1 M ° , et une relation liant les ³ ´³ ´ −→ − á −−−→ −→ á −−−→ ′ angles de vecteursu,Ω 2 Metu,Ω 1 M. ′ (On rappelle queMdésigneF t (M).) ′ b.Utiliser la question 5. a. pour construire géométriquement le pointM µ ¶ 5π correspondant au pointMde coordonnées−pour; 2t=. 2 4 c.Utilisant encore les résultats de 5. a., déterminer l’image parF t , de l’en ′ semble des points dePappartenant à un cercle centré enΩde rayon non nul. 6.On note A et B les points d’affixes respectives i et−i. Le pointM 0 d’affixez 0 est supposé fixé et d’ordonnée non nulle. On se propose de déterminer l’en sembleGdes pointsF t ( M 0 ) quandtdécritR.

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Terminale C

a.Établir la relation :

A. P. M. E. P.

f t ( z 0 ) −iz 0 −i =(cos 2t−i sin 2t) f t ( z 0 ) +iz 0 +i ′ AMAM 0 ′ b.Montrer que si un pointM=F t ( M 0 ) appartient àG, alors=. ′ BMBM 0 Étudier le problème réciproque. ′ MA ′⋆ Établir, que l’ensemble des pointsMtels que=kaveck∈R−{1}) + ′ MB est un cercle, et conclure à propos deG.

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