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Baccalauréat C Centres d'Outre-Mer

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Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat C Centres d'Outre-Mer \ septembre 1983 EXERCICE 1 A. Question préliminaire : résoudre dans R, l'équation : e2x ?4ex +3= 0. On notera S l'ensemble des solutions. B. On considère la fonction f de la variable réelle x définie dans R?S par x 7?? f (x)= ln ??e2x ?4ex +3?? où la notation ln représente le logarithme néperien. 1. Résoudre dans R l'inéquation e2x ?4ex +3> 0. 2. Calculer lim x?+∞ [lne2x (1?4e?2x +3e?2x)?2x]. 3. Étudier et représenter graphiquement, dans un repère orthonormé ( O, ??ı , ??? ) , la fonction f . On précisera les asymptotes à la courbe représentative. Onpren- dra comme unité 2 cm, et on donne ln2≈ 0,7 et ln3≈ 1,1. EXERCICE 2 Soit E un plan rapporté à un repère orthonormé ( O, ??ı , ??? ) . 1. Soit ? l'ensemble des points de E dont les coordonnées (x ; y) dans ( O, ??ı , ??? ) vérifient : (1) 16x4+72x2y2+81y4?576x2 = 0. Montrer que ? est la réunion de deux coniques qu'on déterminera et qu'on représentera. (On pourra écrire, dans (1), le membre de gauche comme différence de deux carrés.

  • loi de composition des applications

  • points invariants de ft

  • point m0 d'affixe z0

  • notation ln

  • inéquation e2x

  • centres d'outre-mer

  • angles de vecteurs á

  • ft ?ft


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Publié le 01 septembre 1983
Nombre de lectures 42
Langue Français

Exrait

Durée : 4 heures
[Baccalauréat C Centres d’OutreMer\ septembre 1983
EX E R C IC E1 A. Question préliminaire : résoudre dansR, l’équation :
2x x e4e+3=0.
On noteraSl’ensemble des solutions. B. On considère la fonctionfde la variable réellexdéfinie dansRSpar
2x x ¯ ¯ x7f(x)=ln e4e+3
où la notation ln représente le logarithme néperien.
2x x 1.Résoudre dansRl’inéquation e4e+3>0. £ ¡¢ ¤ 2x2x2x 2.ln eCalculer lim14e+3e2x. x→+∞ ³ ´ 3.Étudier et représenter graphiquement, dans un repère orthonorméO,ı,, la fonctionf. On précisera les asymptotes à la courbe représentative. On pren dra comme unité 2 cm, et on donne
ln 230, 7et ln1, 1.
EX E R C IC E2 ³ ´ Soit E un plan rapporté à un repère orthonorméO,ı,. ³ ´ 1.SoitΓl’ensemble des points de E dont les coordonnées (x;y) dansO,ı,vérifient :
4 22 42 (1) 16x+72x y+81y576x=0. Montrer queΓest la réunion de deux coniques qu’on déterminera et qu’on représentera. (On pourra écrire, dans (1), le membre de gauche comme différence de deux carrés.) ³ ´ 2.Déterminer la trajectoire du pointMdont les coordonnées (x;yO,) dansı,sont données en fonction du tempstpar : ¡ ¢ ½t+π E 2π x=3(1) (1+cost) avect[0 ; 4π]. y=2 sint Préciser le déplacement deMsur sa trajectoire. (On rappelle que, pour toutαR, E(α) désigne l’entier relatifmtel que m6α<m+1 ; on pourra envisager successivement les cas suivants :
t[0 ;π[,t[π; 3π[,t[3π; 4π].)
Terminale C
A. P. M. E. P.
PR O B L È M E ³ ´ On désigne parPO,un plan rapporté à un repère orthonorméu,v. À tout point Mdu planPde coordonnées (x;y) est associé le nombre complexez=x+iy, appelé affixe du pointM. −→ ′ ′ On désigne parPle planPprivé de la droite passant par O et dirigée paru, parC l’ensembleCdes nombres complexes privé deR.
1.Soitzun élément deCettun réel. Montrer quezsint+costn’est pas nul et, posantz=x+iy, déterminer en fonction det,x,yles parties réelles et imaginaires de
zsintcost z=. zsint+cost ′ ′ Établir quezest élément deC. Dans toute la suite du problème, pour tout réelt, on désigne parftl’applica ′ ′ tion deCdansCtelle que
zsintcost ft(z)= zsint+cost ′ ′′ ′ L’application dePdansPqui, au pointMd’affixez=ft(z) sera notéeFt. 2.Rechercher les points invariants deFt. Discuter selon les valeurs det. ′ ′ 3.Montrer que, pour tout couple (t;t) de réels,Ft+t=FtF. En déduire que t l’ensembleFdes applicationsFttdécritR, muni de la loi de composition des applications, est un groupe abélien. −→ 4.SoitDla droite passant par O et dirigée parv, privée du point O. On se propose de déterminer l’ensembleEdes points dePdont l’image par Ft, appartient àD. Établir, en s’aidant des résultats obtenus dans la première question : a.que si sin 2t=0,E=D. Donner alors les applicationsFtcorrespondantes, et montrer que toutes ces applications sont involutives. b.2que si sint6=0,Eest alors une partie, à préciser, d’un cercle. 5.Dans cette question,tdésigne un réel de l’intervalle ]0 ;π[. On noteΩ1etΩ2les points du planPd’affixes respectivescotgtet+cotgt. a.Pour tout nombre complexezdeC, exprimer en fonction detle produit : ¡ ¢ ft(z)cotgt(z+cotgt) −−−−→−−→ En déduire une relation liant°Ω2M°et°Ω1M°, et une relation liant les ³ ´³ ´ á−−−→ −→á−−→ angles de vecteursu,Ω2Metu,Ω1M. (On rappelle queMdésigneFt(M).) b.Utiliser la question 5. a. pour construire géométriquement le pointM µ ¶ 5π correspondant au pointMde coordonnéespour; 2t=. 2 4 c.Utilisant encore les résultats de 5. a., déterminer l’image parFt, de l’en semble des points dePappartenant à un cercle centré enΩde rayon non nul. 6.On note A et B les points d’affixes respectives i eti. Le pointM0d’affixez0 est supposé fixé et d’ordonnée non nulle. On se propose de déterminer l’en sembleGdes pointsFt(M0) quandtdécritR.
Centres d’OutreMer
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Terminale C
a.Établir la relation :
A. P. M. E. P.
ft(z0)iz0i =(cos 2ti sin 2t) ft(z0)+iz0+i AMAM0 b.Montrer que si un pointM=Ft(M0) appartient àG, alors=. BMBM0 Étudier le problème réciproque. MA Établir, que l’ensemble des pointsMtels que=kaveckR{1}) + MB est un cercle, et conclure à propos deG.
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