Baccalauréat C Clermont Ferrand juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C Clermont-Ferrand juin 1978 \ EXERCICE 1 4 POINTS Déterminer tous les couples (a ; b) d'entiers naturels dont le plus grand commun diviseur d et le plus petit commun multiple m vérifient la relation 8m = 105d +30 EXERCICE 2 4 POINTS Soit f une fonction numérique définie et dérivable sur l'ensemble R des nombres réels. Soit f ? la fonction dérivée de f . On suppose que ? f (x)6 f ?(x)6 f (x) pour tout nombre réelx. On désigne par g et h les fonctions définies par g (x)= ex f (x) et h(x)= e?x f (x) pour tout nombre réel x. 1. Montrer que g et h sont dérivables sur R et déterminer leurs dérivées. 2. Montrer que g est une fonction croissante et que h est une fonction décrois- sante sur R. 3. En déduire que, si f (0) est nul, alors f (x) est nul pour tout nombre réel x. PROBLÈME 12 POINTS Pour tout nombre complexe z, on désigne par z le conjugué de z ,et par |z| lemodule de z. On rappelle que le corps C des nombres complexes est un espace vectoriel de di- mension 2 sur le corps R des nombres réels et que (1, i) en est une base.

• espace vectoriel de di- mension


• application réciproque


• distincts ?


• clermont ferrand


• couple unique


• couple

Sujets

• Application réciproque
• Clermont-Ferrand
• Couple

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1978
• Nombre de lectures: 40
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat C ClermontFerrand juin 1978\

E X E R C IC E 1 4 P O IN TS Déterminer tous les couples (a;b) d’entiers naturels dont le plus grand commun diviseurdet le plus petit commun multiplemvérifient la relation

8m=105d+30

E X E R C IC E 2 4 P O IN TS Soitfune fonction numérique définie et dérivable sur l’ensembleRdes nombres ′ réels. Soitfla fonction dérivée def. On suppose que ′ −f(x) 6 f(x) 6 f(x) pourtout nombre réelx. On désigne pargethles fonctions définies par x−x g(x)=ef(x) eth(x)=ef(x) pourtout nombre réelx. 1.Montrer quegethsont dérivables surRet déterminer leurs dérivées. 2.Montrer quegest une fonction croissante et quehest une fonction décrois sante surR. 3.En déduire que, sif(0) est nul, alorsf(x) est nul pour tout nombre réelx.

P R O B L È M E 12 P O IN TS Pour tout nombre complexez, on désigne parzle conjugué dez,et par|z|le module dez. On rappelle que le corpsCdes nombres complexes est un espace vectoriel de di mension 2 sur le corpsRdes nombres réels et que (1, i) en est une base. On désignera parLl’ensemble des applications linéaires deCdansCet parEl’en sembleC×Cde tous les couples (s;t) de nombres complexes.

1.Pour tout couple (s;t) de E, on désignera parf (s,t) l’application deCdansC qui au nombre complexezfait correspondres∙z+t∙z. a.Montrer quef (s,t) appartient àL, pour tout couple (s;t) de E. b.Réciproquement, sigest un élément deL, montrer qu’il existe un couple unique (s;t) de E pour lequel on ag=f (s,t) . Calculersetten fonction deg(1) etg(i). On dira alors que (s;t) repré senteg. c.Pours,t,uetvéléments deC, l’application composéef (u,v) ◦f (s;t) ap partient àL. Il existe donc un couple unique (p;q) qui la représente. Calculerpetqen fonction des,t,uetv. d.Déterminer tous les couples (s;t) pour lesquels l’applicationf (s,t) est involutive. e.Montrer que l’applicationf (s,t) est bijective si et seulement si|s| 6= |t|. f.Lorsque l’applicationf (s,t) est bijective, on sait que son application ré ciproque appartient àL. Il existe donc un couple unique (x;y) qui re présente cette application réciproque. Calculerxetyen fonction deset t.

Le baccalauréat de 1978

A. P. M. E. P.

2.Pour tout couple (s;t) de E, on désignera parV(s;t) l’ensemble des nombres complexesλpour lesquels il existe au moins un nombre complexeznon nul tel que

s∙z+t∙z=λ∙z.

a.Déterminer tous les couples (s;t) pour lesquels 0 appartient àV(s;t). b.Pour tout couple (s;t), montrer queλappartient àV(s;t) si et seule ment si 0 appartient àV(s−λ,t). c.Afin d’étudier les ensemblesV(s;t), on se donne un plan affine eucli ³ ´ −→−→ dien P et un repère cartésien orthonorméO,u,vde ce plan. À tout nombre complexez=a+bi (oùaetbsont réels) on fait correspondre le −−−→−→−→ pointimageMdans P défini par OM z =a u+b v. À chacun des ensemblesV(s;t), on fait correspondre son imageC(s;t) dans P. Autrement dit,C(s;t) est l’ensemble des pointsimagesM λ pour λélément deV(s;t). Représenter sur une figure les ensemblesC(s;t) Correspondant à cha cun des trois cas suivants : 1.s=1+i ett=i 2.s=1+2i ett=i 1 3.s=1+i ett=i 2 d.Pour un couple (s;t) quelconque de E, quelle est la nature géométrique de l’ensembleC(s;t) ? e.Pour chaque couple (s;t) de E, montrer qu’il y a au plus deux nombres réelsdans l’ensembleV(s;t). f.Déterminer l’ensemble des couples (s;t) pour lesquels il n’y a qu’un seul nombre réel dansV(s;t). g.Déterminer l’ensemble des couples (s;t) pour lesquels il y a deux nombres réels distincts dansV(s;t). 3.Pour tout couple (x;y) de E, on posera 1 ¢ x⋆y=x∙y−x∙y 2i C’est un nombre réel qui est la partie imaginaire du produitx∙.y. Pour tout élémentgdeL, on posera

Δ(g)=g(1)⋆g(i) a.CalculerΔ(f (s,t) en fonction desett. b.Montrer que, pour tout couple (x;y) de E et pourgappartenant àL, on a

g(x)⋆g(y)=Δ(g)∙(x⋆y).

(On pourra le montrer en mettantgsous la formeg=f (s,t) ). c.Montrer que, pourgethéléments deL, on a

δ(g◦h)=Δ(g)∙Δ(h).

d.Pourgélément deL, montrer quegest injective si et seulement siΔ(g) est non nul.

ClermontFerrand

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juin 1978

Le baccalauréat de 1978

A. P. M. E. P.

e.LorsqueV(s;t) contient deux nombres réels distinctsαetβ, montrer qu’on a ¡ ¢ Δf (s,t) =α∙β. Que peuton dire lorsqueV(s;t) ne contient qu’un seul nombre réelγ?

ClermontFerrand

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juin 1978