Baccalauréat C Dijon juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C Dijon juin 1981 \ EXERCICE 1 3 POINTS On considère la fonction numérique g de la variable réelle x telle que g (x)= x+1+ 32x + 1 2 log ? ? ? ? x+1 x?1 ? ? ? ? . 1. Étudier l'ensemble de définition et les variations de la fonction g . On désigne par ? la courbe représentative de g dans un repère orthogonal ( O, ??ı , ??? ) duplan. (Onprendra 3 cmpour unité sur l'axe des abscisses et 1 cm sur l'axe des ordonnées.) 2. Montrer que la droite∆ d'équation y = x+1 est asymptote à la courbe?. Mon- trer que ? admet un centre de symétrie dont on précisera les coordonnées dans le repère. 3. Construire ?. EXERCICE 2 3 POINTS 1. Montrer que si deux nombres entiers naturels x et y sont premiers entre eux, il en est de même pour les entiers 2x+ y et 5x+2y . 2. Déterminer dansN? les entiers a et b vérifiant { (2a+b)(5a+2b) = 1620 ab = 3M M étant le plus petit commun multiple de a et de b. PROBLÈME 14 POINTS Partie A E désigne un plan vectoriel euclidien.

• euclidien associé


• vecteur directeur


• ????om ?


• ?? e2


• sin ?2


• cm sur l'axe des ordonnées


• coordonnées

Sujets

• Vecteur directeur
• Coordonnées

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1981
• Nombre de lectures: 32
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat C Dijonjuin 1981\

E X E R C IC E 1 3 P O IN TS On considère la fonction numériquegde la variable réellextelle que 3 1x+1 g(x)=x+1+ +log . ¯ ¯ 2x2x−1 1.Étudier l’ensemble de définition et les variations de la fonctiong. On désigne parΛla courbe représentative degdans un repère orthogonal ³ ´ −→−→ O,ı,du plan. (On prendra 3 cm pour unité sur l’axe des abscisses et 1 cm sur l’axe des ordonnées.) 2.Montrer que la droiteΔd’équationy=x+1 est asymptote à la courbeΛ. Mon trer queΛadmet un centre de symétrie dont on précisera les coordonnées dans le repère. 3.ConstruireΛ.

E X E R C IC E 2 3 P O IN TS 1.Montrer que si deux nombres entiers naturelsxetysont premiers entre eux, il en est de même pour les entiers 2x+yet 5x+2y. ⋆ 2.Déterminer dansNles entiersaetbvérifiant ½ (2a+b)(5a+2b)=1 620 ab=3M

Métant le plus petit commun multiple deaet deb.

P R O B L È M E

14 P O IN TS

Partie A −→−→ E désigne un plan vectoriel euclidien. Le produit scalaire de deux vecteursuetv −→−→ sera notéu∙v. −→−→ Dans tout le problème,e 1 ete 2 sont deux vecteurs tels que :  −→−→ e∙e=1  1 1  −→−→ e 2 ∙e 2 =1 i i −→−→ π   e 1 ∙e 2 =cosθ, oùθest un réel appartenant à0 ; 2 ³ ´ −→−→ 1.Montrer quee 1 ,e 2 est une base de E. −→ −→ ′ ′′ uetuétant des vecteurs de coordonnées respectives (α;β) et (α;β) dans −→ −→ ′ cette base, exprimeru∙uen fonction de ces coordonnées et deθ. 2.On note : ³ ´³ ´ −→ 1 −→ −→ −→ 1 −→→− i=e 1 +e 2 ,j= −e 1 +e 2 . θ θ 2 cos2 sin 2 2 ³ ´ −→−→ Démontrer quei,jest une base orthonormée de E. ³ ´ −→−→ −→−→ Déterminer les coordonnées dee 1 ete 2 dans la basei,j.

Le baccalauréat de 1981

A. P. M. E. P.

3.Soitfl’application de E dans E définie par : ³ ´h³ ´ ³ ´i −→−→ 1 →→→→−−−−−−→→ ∀u∈E,f u=u∙e 1 ∙e 1 +u∙e 2 ∙e 2 2 Démontrer quefest un automorphisme de E et déterminer la matrice def ³ ´ −→−→ dans la base (i,j. Partie B Pdésigne un plan affine euclidien associé à E. Soit O un point deP. D 1 est la droite −→ affine passant par O et de vecteur directeure 1 , D 2 est la droite affine passant par O −→ et de vecteur directeure 2 . Pour tout pointMdeP, on appelle : M 1 la projection orthogonale deMsur D 1 ; M 2 la projection orthogonale deMsur D 2 . ′ Dans toute la suite du problème,Mdésigne le milieu de (M 1 ,M 2 ). 1. a.Démontrer que : ³ ´³ ´ −−−→−−−−→−→ −→ −→−→−−→→− OM 1 =OM∙e 1 e 1 et OM 2 =OM∙e 2 e 2 . g:P→P b.est une bijecDémontrer que l’application ′ M→−7g(M)=M tion affine dontfest l’automorphisme associé. ³ ´ ¡ ¢ −→−→ ′ ′′ Exprimer les coordonnéesx;ydeMO,dans le repèreı,en fonction des coordonnées (x;y) deMdans le même repère. c.Préciser la nature des points invariants deg. ′ 2.Soit (C) le cercle de centre O et de rayon 1. Déterminer l’image (C) de (C) par l’applicationg. ′ Comment fautil choisirθpour que (C) soit un cercle ? Dans le cas contraire, ′ préciser les coordonnées des foyers de (C) ainsi que son excentricité. Partie C Soitλun réel strictement positif. Comment fautil choisirλpour qu’il existe des pointsMdeP−{O} tels que : −−−→ −−→ ′ ° OM ° =λ ° OM ° ? 2 2 (On pourra ramener ce problème à l’étude d’une équation de la formea x+b y=0 oùaetbsont des nombres dépendants deλetθ.) En déduire que : −−−→ ′ µ ¶µ ¶ ° OM ° θ θ 2 2 ∀M∈P−{Osin} : 6 6 cos −−→ 2 2 ° OM ° Partie D 1.Soitϕl’application de E×E dansRdéfinie par : ³ ´³ ´³ ´ −→−→−→−→−→−→ ∀u,v∈E×E :ϕu,v=u∙f v. Démontrer queϕest un produit scalaire sur E. 2.Démontrer que : ′ ′ quels que soient les points A etMdeP, d’images respectives AetMparg, on a :

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Le baccalauréat de 1981

−−−→ −→−−→ −−→ ′ ′ a.OM∙OA=OM∙OA −−−→ − →−− →−−→ ′ ′ b.M M∙OA=AA∙OM.

A. P. M. E. P.

3.SoitΔune droite vectorielle de E. Quel est l’ensemble des pointsMdePtels −−−→ ′ que le vecteurM Msoit orthogonal àΔ? (On pourra utiliser D 2. b.).

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