Baccalauréat C groupe juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C groupe 1 1 juin 1984 \ EXERCICE 1 5 POINTS Soit z0 = cos 2pi5 + isin 2pi 5 . 1. On pose ?= z0+ z40 et ?= z20 + z30 . a. Montrer que 1+z0+z20+z30+z40 = 0 et en déduire que? et? sont solutions de l'équation (1) X 2+X ?1= 0. b. Déterminer ? en fonction de cos 2pi5 . c. Résoudre l'équation (1) et en déduire la valeur de cos 2pi5 . 2. On appelle A0, A0, A0, A0, A0 les points d'affixes respectives 1, z0, z20 , z30 , z40 dans le plan affine rapporté au repère orthonormé ( O, ??u , ??v ) . a. Soit H le point d'intersection de la droite A1A4 avec l'axe ( O, ??u ) .Montrer que OH= cos 2pi5 . b. Soit C le cercle de centre ? d'affixe ( ? 1 2 ) passant par B d'affixe (i). Ce cercle coupe l'axe ( O, ??u ) en M et N. (On appellera M le point d'abscisse positive). Montrer que OM=?, ON=? et que H est le milieu de [OM].

• cercle


• point d'intersection de la droite a1a4 avec l'axe


• points d'affixes respectives


• cercle de centre ? d'affixe

Sujets

• Cercle

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Extrait

1 [juin 1984Baccalauréat C groupe 1\

E X E R C IC E 1 5 P O IN TS 2π2π Soitz 0 =cos+.i sin 5 5 4 23 1.On poseα=z 0 +zetβ=z+z. 0 00 2 3 4 a.Montrer que 1+z 0 +z+z+z=0 et en déduire queαetβsont solutions 0 0 0 2 de l’équation (1)X+X−1=0. 2π b.Déterminerαen fonction de cos. 5 2π c.Résoudre l’équation (1) et en déduire la valeur de cos. 5 2 3 4 2.On appelle A 0 , A 0 , A 0 , A 0 , A 0 les points d’affixes respectives 1,z 0 ,z,z,zdans 0 0 0 ³ ´ −→−→ le plan affine rapporté au repère orthonorméO,u,v. ³ ´ −→ a.Soit H le point d’intersection de la droite A 1 A 4 avec l’axeO,u. Montrer 2π que OH=cos . 5 µ ¶ 1 b.SoitCle cercle de centreΩd’affixe−passant par B d’affixe (i). Ce 2 ³ ´ −→ cercle coupe l’axeO,uen M et N. (On appellera M le point d’abscisse positive). Montrer que OM=α, ON=βet que H est le milieu de [OM]. c.En déduire une construction simple du pentagone régulier dont on connaît le centre O et un sommet A 0 .

E X E R C IC E 2 5 P O IN TS ³ ´ −→−→ Le plan P est rapporté à un repère orthonorméO,ı,. Soit (E) l’ensemble des points du plan dont les coordonnées (x;y) vérifient l’équation

2 2 15x+13y−2x y3=768 et soitfl’application de P dans P qui à un point M de coordonnées (x;y) associe ¡ ¢ ′ ′′ M decoordonnéesx;ytel que  1 ¡ p ¢  ′  x=x+y3 4 1 ¡ ¢  ′  y= −3x+y 4 1.Montrer quefest une similitude plane directe que l’on caractérisera. Déter −1 minerf. 2.Déterminer une équation de (f(E)) et montrer que (f(E)) est une ellipse dont on précisera les sommets, les foyers, et l’excentricité. 3.En déduire que (E) est l’ensemble des points M du plan tels que ′ ′ MF 1 16 où F+MF = 1 et Fsont deux points que l’on déterminera. 1 1

P R O B L È M E

1. Amiens,Rouen

Partie A

10 P O IN TS

Le baccalauréat de 1984

A. P. M. E. P.

On considère l’équation différentielle ′ y(x)−y(x)=x+2 (E) 1.Déterminer une fonction affineasolution de (E). 2.Montrert que siyest solution de (E), alorsy−aest solutionn d’une équation différentielle homogène du premier ordre. La résoudre. 3.Déterminer toutes les solutions de (E). Partie B Soitfla fonction numérique définie surRpar x f(x)=e−x−3. 1.Étudier les variations de la fonctionf. ³ ´ −→−→ 2.Soit (C) la courbe représentative defO,dans un repère orthonorméı,. a.Montrer que (C) admet une asymptote D dont on précisera l’équation. Préciser la position de la courbe (C) par rapport à cette asymptote. b.Construire (C) (unité : 2 cm). 3.Déterminer l’aireA(α) du domaine limité par (C), D et les droites d’équation x=0 etx=α, avecα<0. Calculer lim. α→−∞ 4.Soitf 1 la restriction defà l’intervalle I = [0 ;+∞[. a.Montrer quef 1 est une bijection de I sur un intervalle J que l’on préci sera. −1 b.Étudier la continuité et la dérivabilité def. Construire sa courbe re 1 ³ ´ −→−→ ′ présentative (CO,) dans le repèreı,. c.Montrer que l’équationf 1 (x)=0 admet une solution unique que l’on encadrera par deux entiers consécutifs. Partie C

Soitgla fonction définie par

g(x)=ln(x+3). 1.Étudier les variations deget construire sa courbe représentative dans un re père orthonormé∙ (unité : 2 cm). 2.Soit (u n ) la suite définie par ½ u 0 =1 u n+1 =ln (u n +3)∀n∈N. a.En utilisant la croissance deg, étudier le sens de variation de la suite ( u n ). b.Montrer que la suite (u n ) est majorée par 2. c.En déduire que cette suite est convergente. Soitℓsa limite. 3.Soit (v n ) la suite définie par ½ v 0 =2 v n+1 =ln (v n +3)∀n∈N.

Amiens, Rouen

2

juin 1984

Le baccalauréat de 1984

A. P. M. E. P.

a.En utilisant la croissance deg, étudier le sens de variation de la suite ( v n ). b.Montrer que la suite (v n ) est minorée par 1. ′ c.En déduire que cette suite est convergente. Soitℓsa limite. ′ 4.Montrer queℓ=ℓ. a.Montrer que Z v n−1 1 ∗ ∀n∈N,v n −u n =dt. u n−1 t+3 b.Montrer que 1 ∀n∈N, 0 6 v n −u n 6 . n 4 −3 c.En déduire une valeur approchée deℓprès.à 10

Amiens, Rouen

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juin 1984