Baccalauréat C groupe juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C groupe 1 juin 1983 \ EXERCICE 1 3 POINTS Dans l'espace affine euclidien E de dimension 3, on donne deux points fixes A et B . Déterminer l'ensemble (S) des couples (P, Q) deE 2 qui vérifient les deux conditions : ??? AB + ??? AP + ??? AQ = ??0 et ? ? ? ??? AB ? ? ? 2 + ??? AP .???AQ = 0. EXERCICE 2 3 POINTS 1. Résoudre dans Z3 le système { x +2y +3z = 4, 5x +6y +7z = 8. 2. Démontrer qu'il existe un et une seul triplet deZ3, solution du système précé- dent, tel que : x3+ y3+ z3 = 1051. PROBLÈME 3 POINTS Partie I On considère la fonction numérique f de la variable réelle x définie par : f (x)= ? ? ? ? 1+ x 1? x ? ? ? ? 1 2 . 1. Préciser l'ensemble de définition de f qu'on notera D. Étudier la continuité et la dérivabilité de f sur D. 2. Dans un plan rapporté à un repère orthonormé R, l'unité de distance étant 2 cm, dessiner la courbe représentative F de f .

• constantes sur ∆


• courbe représentative


• solution du système précé- dent


• ??? ab


• intervalle ouvert

Sujets

• Graphe d'une fonction
• Intervalle (mathématiques)

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1983
• Nombre de lectures: 30
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat C groupe 1 juin 1983\

E X E R C IC E 1 3 P O IN TS Dans l’espace affine euclidienEde dimension 3, on donne deux points fixesAetB. 2 Déterminer l’ensemble (S) des couples (P,Q) deEqui vérifient les deux conditions : 2 −−→−→−−−→→−→−→→−− AB+AP+AQ=0 et ° AB ° +AP.AQ=0.

E X E R C IC E 2 3 P O IN TS 3 1.Résoudre dansZle système ½ x+2y+3z=4, 5x+6y+7z=8. 3 2.Démontrer qu’il existe un et une seul triplet deZ, solution du système précé dent, tel que :

3 3 3 x+y+z=1 051.

P R O B L È M E 3 P O IN TS Partie I On considère la fonction numériquefde la variable réellexdéfinie par : 1 1+x 2 f(x)=. ¯ ¯ 1−x 1.Préciser l’ensemble de définition defqu’on noteraD. Étudier la continuité et la dérivabilité defsurD. 2.Dans un plan rapporté à un repère orthonorméR, l’unité de distance étant 2 cm, dessiner la courbe représentativeFdef. 2 3.Démontrer que, pour tout couple (x,y)∈Dtel quex y+16=0,fsatisfait la propriété µ ¶ x+y f(x)∙f(y)=f. (P) 1+x y Partie II On considère maintenant le fonction numériquegde la variable réellexdéfinie par : 1 2 1−x g(x)=. ¯¯ 1+x 1.Préciser l’ensemble de définition degqu’on noteraD 1 . Déduire brièvement de I la continuité et le dérivabilité degsurD 1 . 2 2.Démontrer que, pour tout couple (x,y)∈Dtel quex y+16=0,gsatisfait la 1 propriété (P). 3.Dessiner la courbe représentativeGdegdans le même plan rapporté au re pèreRqueF.

Le baccalauréat de 1983

A. P. M. E. P.

4.Dans ce plan, on appelleAl’ensemble des pointsMdont les coordonnées (x;y) sont telles que :

0 6 x 6 1−ǫ (oùǫest un réel strictement positif et inférieur à 1) et

g(x) 6 y 6 f(x). Calculer l’aireA(ǫ) deA(on raisonnera surf−g). A(ǫ) admetelle une limite lorsqueǫtend vers 0 ? Partie III Dans cette partie, on appelleΔl’intervalle ouvert ]−1 ; 1[. 1.yétant fixé dansΔ, étudier la fonctionudéfinie surΔpar : x+y u(x)=. 1+x y 2.On se propose de déterminer l’ensemble des fonctionsϕdéfinies surΔ, qui sont continues surΔet dérivables en zéro et qui vérifient pour tout couple (x;y) éléments deΔ, la relation µ ¶ x+y ϕ(x)ϕ(y)=ϕ. (P) 1+x y a.Justifier l’écriture (P). b.Rechercher s’il existe des fonctionsϕconstantes surΔ. Dans toute la suite, on suppose queϕn’est pas le fonction nulle surΔ. c.Montrer queϕ(0)=1. d.Montrer queϕne peut s’annuler surΔet que, pour toutxdeΔ, on a 1 ϕ(−x)=. ϕ(x) 3. a.xetyappartenant àΔ, montrer qu’il existe un réelhtel que :

ϕ(x)ϕ(y)=ϕ(x+h).

b.Réciproquement,xetx+hétant donnés dansΔ, montrer qu’il existey dansΔtel que :

ϕ(x)ϕ(y)=ϕ(x+h).

(On pourra utiliser le 1. Déterminery. c.On supposehnon nul, exprimer le rapport

ϕ(x+h)−ϕ(x) ρ= h au moyen dexet deydéterminé au III. 3. b.. d.Montrer queϕest dérivable en tout pointxdeΔ. On rappelle queϕest ′ supposée dérivable en zéro (on poseraϕ(0)=C). En conclure que les fonctionsϕsont telles que pour toutxdeΔ:

Baccalauréat C groupe 1

′ ϕ(x)C =. 2 ϕ(x) 1−x

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juin 1983

Le baccalauréat de 1983

A. P. M. E. P.

4. a.Démontrer qu’il existe deux réelsmetntels que, pour toutxdifférent de 1 et de−1 : 1m n = +. 2 1−x1−x1+x b.Déterminer alors toutes les fonctionsϕ. c.Peuton trouver des fonctionsϕnon constantes vérifiant les conditions du 2° sur les intervalles ]−1 ; 1[, ]−1 ; 1], [−1 ; 1] ? Pouvaiton prévoir le résultat ?

Baccalauréat C groupe 1

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