Baccalauréat C Italie juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C Italie 1 juin 1987 \ EXERCICE 1 4 POINTS L'espace est rapporté à un repère orthonormal ( O, ??ı , ??? , ??k ) . Soit A (6 ; 0 ; 0) et B(0 ; 6 ; 0). Faire une figure. 1. Déterminer le barycentre G du système (O, 1), (A, 2), (B, 3). Le placer sur la figure. 2. Soit C(0 ; 0 ; 4). Déterminer l'ensemble S des points M de l'espace définis par (???? MO +2???MA +3???MB ) · ??? MC = 0. Donner une équation cartésienne de S. 3. Déterminer l'intersection de S et du plan d'équation x = 0. Dessiner cette intersection sur la figure. 4. Soit P l'ensemble des points M de l'espace tels que MO2+2MA2?3MB2 = 24. Montrer que G appartient à P . Déterminer P . EXERCICE 2 5 POINTS Étant donné trois nombres réels strictement positifs ?, ? et ? on rappelle qu'une condition nécessaire et suffisante pour qu'il existe un triangle dont les côtés me- surent respectivement ?, ? et ? est que : |???|

• repère orthonormal


• ?n ?n


• interprétation géométrique


• positifs ?


• inégalité des accroissements finis

Sujets

• Base orthonormale
• Théorème des accroissements finis

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1987
• Nombre de lectures: 35

Extrait

1 [Baccalauréat C Italiejuin 1987\

E X E R C IC E 1 ³ ´ −→−→ −→ L’espace est rapporté à un repère orthonormalO,ı,,k. Soit A (6 ; 0 ; 0) et B(0 ; 6 ; 0). Faire une figure.

4 P O IN TS

1.3). Le placer sur la1), (A,2), (B,Déterminer le barycentre G du système (O, figure. 2.Soit C(0 ; 0 ; 4). Déterminer l’ensembleSdes pointsMde l’espace définis par ³ ´ −−→ −−→ −−→−−→ MO+2MA+3MB∙MC=0.

Donner une équation cartésienne deS. 3.Déterminer l’intersection deSet du plan d’équationx=0. Dessiner cette intersection sur la figure. 2 2 2 4.SoitPl’ensemble des pointsMde l’espace tels queMO+2MA−3MB=24. Montrer que G appartient àP. DéterminerP.

E X E R C IC E 2 5 P O IN TS Étant donné trois nombres réels strictement positifsα,βetγon rappelle qu’une condition nécessaire et suffisante pour qu’il existe un triangle dont les côtés me surent respectivementα,βetγest que :

|α−γ| <β<α−γ. ³ ´ −→−→ Le plan est rapporté à un repère orthonormalO,ı,, d’unité 1 cm.aest un réel donné strictement positif. On prendra pour la figurea=2.

1.On appelleR, l’ensemble des pointsMdu plan de coordonnéesxetytels qu’il existe un triangle ABC dont les côtés AB, BC et CA mesurent respectivement 2a,yetx. Montrer queRest formé des pointsMdu plan dont les coordonnéesxety vérifient

|2a−x| <y<2a+x.

Représenter R sur la figure. 2.Quel est l’ensemble des pointsMdeRtels que le triangle ABC soit isocèle (on envisagera les différents cas possibles). Représenter cet ensemble sur la figure. 3.Quel est l’ensemble des pointsMdeRtels que le triangle ABC soit rectangle en C ? Le représenter sur la figure. 4.Montrer que l’ensemble des pointsMdeRtels que le triangle ABC soit rec 2 2 tangle en A, est inclus dans l’hyperboleHd’équationy−x=4a. Déterminer les coordonnées de ses sommets et préciser ses asymptotes. ConstruireHtoute entière sur la figure.

1. Italie,Turquie, Koweit, Abu Dhabi, Portugal

Le baccalauréat de 1987

A. P. M. E. P.

P R O B L È M E 11 P O IN TS métant un nombre réel, on appellef m l’application de ]0 ;+∞[ dansRqui, àx, associe 2 x−1m f m (x)= −lnx 4 2 ³ ´ −→−→ etC m sa courbe représentative dans un repère orthonormalO,ı,(on choisit pour unité de longueur 5 cm). A. L’objet de la partie A est l’étude def m .

1.Calculer limf m (x). x→+∞ Calculer, suivant les valeurs dem, limf m (x). x→0 ′ 2.Calculerf(x) et donner suivant les valeurs dem, les différents tableaux de m variations possibles. ¡ ¢ 3. a.Montrer que, par un pointM 0 x 0 ;y 0 vérifiantx 0 >0 etx 0 6=1, il passe une et une seule courbeC m . b.Montrer qu’il existe un point unique A appartenant à toutes les courbes C m . 4.ConstruireC m ,C 4 etC −1 .

B. Dans la partie B, on considère la fonctionf 4 telle que x2  1

2 x−1 f 4 (x)= −2 lnx. 4 Les questions 1. et 2. sont indépendantes.

1.Soitx>0. a.Calculer Z 1 lntdt. x (on pourra utiliser une intégration par partie). b.Calculer Z 1 F(x)=f 4 (t) dt. x c.Chercher limF(x) et donner une interprétation géométrique de cette li x→0 mite. 2. a.Montrer que l’équationf 4 (x)=0 possède deux solutions et deux seule ment dont l’unex 0 appartient à [3 ; 4] (on ne demande pas de calculerx 0 ici). p Montrer quex 0 =1+8 lnx 0 . [3 ;+∞[→R p b.Soitϕ: x7−→ϕ(x)=1+8 lnx Montrer que

Italie

ϕ(x) > 3.

4 ′ et que0 6 ϕ(x) 6 . 9

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juin 1987

Le baccalauréat de 1987

Italie

c.Soit (u n ) la suite définie par

u 0 =3 etu n+1 =ϕ ( u n ) =1+8 ln(u n ). Montrer par récurrence que :

A. P. M. E. P.

∀n∈N,u n > 3. 4 d.Montrer que :∀n∈N, | u n+1 −x 0 | 6 | u n −x 0 | . 9 (On appliquera l’inégalité des accroissements finis.) µ ¶ n 4 Montrer que :∀n∈N, | u n −x 0 | 6 ; en déduire la convergence de 9 ( u n ). −2 ¯ ¯ Trouver un entiern 0 tel queu n −x 0 <Calculer une valeur appro10 . 0 −2 chée dex 0 à 10près.

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