Baccalauréat C juin 1982 Clermont-Ferrand

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat C juin 1982 Clermont-Ferrand \ EXERCICE 1 1. Déterminer l'ensemble des couples d'entiers relatifs (x, y) solutions de l'équa- tion (1) 5x?4y = 2. 2. On considère les couples (a, b) solutions de l'équation (1). a. Quelles sont les valeurs possibles du plus grand diviseur commun de a et b ? b. Montrer qu'il existe un seul couple (a, b) dont le plus petit multiple com- mun de a et b est 60 et le plus grand diviseur commun de a et b est 2. EXERCICE 2 On considère les intégrales définies In = ∫ pi 3 0 (sinx)n cosx dx, oùn ?N ? et I0 = ∫ pi 3 0 1 cosx dx. 1. Calculer l'intégrale ∫ pi 3 0 (sinx)n cosxdx. En déduire In+2? In en fonction de n. 2. Calculer I1. En déduire I3 et I5. 3. a. Soit f l'application qui à x ? [0 ; pi3 ] associe f (x)= Log [ tg (x 2 + pi 4 )] Montrer que f est une primitive de la fonction g définie sur [0 ; pi3 ] par x 7?? g (x)= 1cosx .

• symétries vectorielles


• tions géométriques


• ?? ?


• clermont ferrand


• repère r?


• endomorphisme ?


• vecteurs vitesse


• solution de l'équa- tion

Sujets

• Clermont-Ferrand

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1982
• Nombre de lectures: 32

Extrait

Durée : 4 heures

[Baccalauréat C juin 1982 ClermontFerrand\

E X E R C IC E 1 1.Déterminer l’ensemble des couples d’entiers relatifs (x,y) solutions de l’équa tion

(1) 5x−4y=2. 2.On considère les couples (a,b) solutions de l’équation (1). a.Quelles sont les valeurs possibles du plus grand diviseur commun dea etb? b.Montrer qu’il existe un seul couple (a,b) dont le plus petit multiple com mun deaetbest 60 et le plus grand diviseur commun deaetbest 2.

E X E R C IC E 2 On considère les intégrales définies Z Z π π n (sinx) 1 3 3 ⋆ I n =dx, oùn∈NetI 0 =dx. 0 cosx 0 cosx Z π 3 n 1.Calculer l’intégrale(sinx) cosxdx. En déduireI n+2 −I n en fonction den. 0 2.CalculerI 1 . En déduireI 3 etI 5 . £ ¤ π 3. a.Soitfl’application qui àx∈associe0 ; 3 h ³´i xπ f(x)=Log tg+ 2 4 £ ¤ π Montrer quefest une primitive de la fonctiongpardéfinie sur0 ; 3 1 x→−7g(x)=. cosx b.En déduireI 0 puisI 2 etI 4 .

P R O B L È M E ³ ´ −→−→ −→ SoitEun espace affine euclidien muni d’un repère orthonorméRO,ı,,ket ³ ´ −→ −→ −→ soit E l’espace vectoriel associé de baseBı,,k. Partie A On considère l’endomorphismeϕde E défini par  ³ ´ ³´ ³´ −→−→ 1 −→−→  ϕı=ϕ =ı+ ³ ´ 2 −→−→  ϕk= −k. −→ 1.Soituun vecteur quelconque de E de composantes (x,y,z) relativement à la ³ ´ −→ baseB. Déterminer les composantes (X,Y,Z) deϕurelativement à cette même base.

Terminale C

2.Déterminer le noyau D deϕ. En donner une base. 3.Montrer que l’image deϕest le plan vectoriel P orthogonal à D. 4.Déterminer l’ensemble des vecteurs invariants parϕ. 5.Montrer que l’endomorphismeϕpeut être mis sous la forme

A. P. M. E. P.

ϕ=ψ◦p oùψest la symétrie vectorielle orthogonale par rapport à la droite vectorielle −→−→ engendrée par le vecteurı+etpune projection vectorielle à déterminer. Partie B Soit A le point deEdont les coordonnées dansRsont (0, 1, 1). Soitfl’application affine deEassociée à l’endomorphismeϕet laissant A invariant. Au pointmde coordonnées (x,y,z) dansR, correspond le pointM=f(m) de coor données (X,Y,Z) dans ce même repère. 1.Montrer que 1 est définie analytiquement par  1 X=[x+y−1] 2   1 Y=[x+y+1] 2   Z= −z+2

2.Déterminer l’ensemble des points invariants parfet l’image deEparf. Don ner les équations cartésiennes dansRde ces ensembles. µ ¶ ³ ´ 1 −→−→ −→ ′ 3.Montrer que le repèreRA,ı+,kest un repère orthonormé du 2 planPd’équation dansR

x−y+1=0. . ˆ ′ 4.Déterminer, dans ce repèreR, l’expression analytique de la restrictionfdef ˆ àP. Quelle est la nature def. 5.SoitmEetM=f(m) son transformé parf. Indiquer par quelles transforma tions géométriques on passe du pointmau pointM. (On pourra illustrer la réponse à l’aide d’une figure.) Partie C On considère le point mobilem(t) dont les coordonnées à la datetsont définies, relativement au repèreRdeE, par  x(t)=1+cost  y(t)=0 t∈[0 ; 2π[  z(t)=1+sint,

1.Quelle est la nature de la trajectoire dem(t) ? −−→ Déterminer le vecteur vitessev(tpoint) dum(t) à la datet. Quelle est la nature du mouvement ? 2.SoitM(t) le transformé dem(t) parf.

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Terminale C

A. P. M. E. P.

a.Déterminer une représentation paramétrique de la trajectoire (Γ) deM(t), −−→ relativement au repèreR. Déterminer le vecteur vitesseV(tpoint) du M(t) à la datet. b.Étudier les variations de l’application :

−−−→ t∈[0 ; 2π[−7→ ° V(t) °

et tracer la courbe représentative. −−→ c.Trouver les positions deM(t) pour lesquelles ° V(t) ° est maximal, mini mal. 3.Montrer que (Γ) est globalement invariante parf. 4.Montrer que la trajectoire (Γ) est située dans le planPet trouver son équation ′ cartésienne dans le repèreR. Préciser la nature et les éléments géométriques de (Γ).

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