Baccalauréat C juin 1982 Clermont-Ferrand

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat C juin 1982 Clermont-Ferrand \ EXERCICE 1 4 points On considère l'application ? : N?N ? N? (n, p) 7?? 2n(2p+1). 1. a. Calculer ?(0, 0), ?(3, 4) et ?(2, 6). b. Décomposer 1584 en produit de facteurs premiers. Déterminer l'anté- cédent de 1584 par ?. c. Montrer que ? est bijective. 2. On définit une loi de composition interne notée T dans N2 par : ?(n, p)?N2, ?(n?, p ?) ?N2, (n, p)T (n?, p ?)= (n+n?, 2pp ?+p+p ?). a. Calculer (3, 4) T(2, 6). b. Résoudre l'équation (3, 4) T (n, p) = (4, 49). c. Démontrer que l'application? est un isomorphismede (N2, T) sur (N?, ?). d. Est-ce que (N2, T) admet un élément neutre ? Quels sont les éléments symétrisables ? EXERCICE 2 4 points On considère dans C les complexes z1 et z2 de module 1 et d'arguments respectifs ? et ?.

• courbe


• loi de composition interne


• courbe représentative dans le repère


• équation cartésienne de la courbe


• repère ortho

Sujets

• Courbe
• Loi de composition interne

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1982
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Extrait

Durée : 4 heures

[Baccalauréat C juin 1982 ClermontFerrand\

E X E R C IC E 1 On considère l’application ⋆ ϕ:N×N→N n (n,p)→7−2 (2p+1).

4 points

1. a.Calculerϕ(0, 0),ϕ(3, 4) etϕ(2, 6). b.584 en produit de facteurs premiers. Déterminer l’antéDécomposer 1 cédent de 1 584 parϕ. c.Montrer queϕest bijective. 2 2.On définit une loi de composition interne notée T dansNpar :

2′ ′2 ∀(n,p)∈N,∀(n,p)∈N,

′ ′′ ′′ (n,p)T(n,p)=(n+n, 2p p+p+p).

a.Calculer (3, 4) T(2, 6). b.Résoudre l’équation (3, 4) T (n, p) = (4, 49). ¡ ¢¡ ¢ 2⋆ c.Démontrer que l’applicationϕest un isomorphisme deNsur, TN,×. ¡ ¢ 2 d.Estce queN? Quels sont les élémentsadmet un élément neutre, T symétrisables ?

E X E R C IC E 2 4points On considère dansCles complexesz 1 etz 2 de module 1 et d’arguments respectifsα etβ. 2 ( z 1 +z 2 ) 1.est un réel positif ou nul. Dans quel cas estil nul ?Montrer que z 1 z 2 2.Soit deux points A et B d’un plan complexe d’origine O d’affixes respectivesa etb(on supposera O, A et B non alignés). Calculer en fonction deaetbl’affixezdu point I barycentre de (A,|b|) et (B,|a|). 2 z 3.est un réel strictement positif.À l’aide du 1. montrer que ab −→ Exprimer argzen fonction de argaet argb. En déduire que OIest un vecteur directeur de la bissectrice de l’angle des demidroites de vecteurs directeurs −→−→ OA etOB .

P R O B L È M E

Partie A Soit E l’ensemble des matrices de la forme : µ ¶ a+b0 2 M (a,b) =où (a,b)∈R. a b−a On poseI=M (0, 1) etJ=M (1, 0) .

12 points

Terminale C

A. P. M. E. P.

1.espace vectorielJ) de l’Montrer que E est un sousespace vectoriel de base (I, surRdes matrices 2×2. 2′ ′ 2.Calculer J. En déduire que siM∈E,M∈E alorsM×M∈E. Montrer que (E,+,×) est un anneau commutatif unitaire. −1 3.Quelles sont les matricesM (a,b) ? Exprimer alorsinversibles dans EM (a,b) dans la base (I, J). Partie B Dans ce qui suit on supposeb=0. ³ ´ −→−→ Soit V le plan vectoriel euclidien de base orthonorméeı,. Soit P un plan affine d’espace vectoriel associé V; P est rapporté au repère ortho ³ ´ −→−→ normé O,ı,. Soitf a l’application affine de P dans P dont l’endomorphisme associé a pour matrice ³ ´ −→−→ dansı, µ ¶ a0 M (a, 0) = a−a ′ et qui au point O fait correspondre le point O(0 ;a+3).

1.Déterminer analytiquementf a . 2.Pour quelles valeurs de a,f a estelle une bijection ? −1 Déterminer analytiquement, quand elle existef. a 3.Déterminer suivant les valeurs dea, l’ensemble D des points invariants par f a . 4.Démontrer que seule l’applicationf 1 , obtenue pour la valeur 1 du paramètre a, est une involution que l’on caractérisera. 5.f a peutelle être une isométrie ? µ ¶ Logα ⋆ 6.On prendα∈R. Soit G le barycentre des points A(α;α), B(αC; 2),α;−2 . + α Trouver les coordonnées de G; en déduire une équation cartésienne de la ⋆ courbe décrite par G quandαvarie dansR. + 7.Soient A 1 , B 1 , C 1 les images des points A, B, C par l’applicationf 1 (définie en B 4.). Soit G 1 le barycentre de A 1 , B 1 , C 1 respectivement affectés de 1, 2,−1. Trouver une équation cartésienne de la courbe décrite par G 1 quandαvarie ⋆ dansR. + Partie C ³ ´ −→−→ Soit (CO,) la courbe représentative dans le repèreı,de la fonction numérique ⋆ gdéfinie surRpar : + xLogx g(x)= +2+. 2x 1.On considère la fonction ⋆ R→R + h: 2 ¯ x→−7x−2Logx+2 Étudier les variations dehet préciser le signe deh(x). (On ne demande pas de tracer la courbe représentative deh).

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Terminale C

A. P. M. E. P.

2.Étudier les variations de la fonctiong. Montrer que la courbe (C) a deux asymp totes que l’on déterminera. Montrer que (C) coupe l’une de ces asymptotes en un point que l’on précisera. Tracer la courbe (C). 3.Soit (C 1 ) la transformée de (C) parf 1 (définie dans B 4.). a.Écrire une équation de (C 1 ). ((C 1 ) est la courbe représentative d’une fonctiong 1 ). b.Montrer que (C) et (C 1 ) ont les mêmes droites asymptotes. Tracer (C 1 ) ³ ´ −→−→ dans le même repèreO,ı,que (C) sans étudierg 1 . 4.quationCalculer l’aire de la partie du plan limitée par la droite d’éx=1, la droite d’équationx=m(m>1) et les courbes (C) et (C 1 ).

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