Baccalauréat C juin 1982 Dijon

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat C juin 1982 Dijon \ EXERCICE 1 4 points n étant un entier naturel fixé, on considère dans Z2 l'équation (En) : 165x?132y =n. Résoudre cette équation dans les trois cas particuliers : 1. n = 33. 2. n = 66. 3. n = 42. Dans ces différents cas, on déterminera pour chaque couple (x, y) solution, le PGCD de x et y . EXERCICE 2 4 points Soit E un espace affine euclidien, ( O ; ??e1 , ??e2 ) un repère orthonormé, f l'application de E dans E qui à tout point M d'affixe z associe le point M ? d'affixe z ? = z2+ iz+1. 1. Déterminer l'ensemble des points M dont l'image par f est le point A d'affixe 3i. 2. Soit M un point de E de coordonnées x et y et M ? = f (M) de coordonnées x? et y ? son image par f . Déterminer x? et y ? en fonction de x et y . 3. Soit ? l'ensemble des points M du plan dont l'image est sur la droite d'équa- tion x =?1. Déterminer une équation cartésienne de ?. 4. SoitC l'image'par f de la droite ( O, ??e1 ) .

• coordonnées de?n


• expression des coor- données a1


• engen- drée par f3


• courbes ?


• sens de la question prélimi- naire


• base des logarithmes népériens

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1982
• Nombre de lectures: 41
• Langue: Français

Extrait

Durée : 4 heures

[Baccalauréat C juin 1982 Dijon\

E X E R C IC E 1 2 nétant un entier naturel fixé, on considère dansZl’équation

4 points

(E n ) :165x−132y=n. Résoudre cette équation dans les trois cas particuliers : 1.n=33. 2.n=66. 3.n=42. Dans ces différents cas, on déterminera pour chaque couple (x,y) solution, le PGCD dexety.

E X E R C IC E 2 4points ³ ´ −→−→ SoitEun espace affine euclidien,O ;e 1 ,e 2 un repère orthonormé,fl’application ′ deEdansEqui à tout pointMd’affixezassocie le pointMd’affixe

′2 z=z+iz+1. 1.Déterminer l’ensemble des pointsMdont l’image parfest le point A d’affixe 3i. ′ ′ 2.SoitMun point deEde coordonnéesxetyetM=f(M) de coordonnéesx ′ ′′ etyson image parf. Déterminerxetyen fonction dexety. 3.SoitΓl’ensemble des pointsMdu plan dont l’image est sur la droite d’équa tionx= −1. Déterminer une équation cartésienne deΓ. ³ ´ −→ 4.SoitCl’image’parfO,de la droitee 1 . Déterminer une équation cartésienne deC. 5.Montrer queΓetCsont des coniques dont on déterminera les éléments re marquables (notamment le centre, les axes, les asymptotes et les sommets lorsqu’ils existent) et que l’on construira.

P R O B L È M E 12 points ³ ´ −→−→ SoitEun plan affine euclidien rapporté à un repère orthonorméO,ı,. Soit C(R) l’ensemble des fonctions numériques définies et continues surR. On rappelle queC(R) muni de l’addition et de la multiplication par un réel habituelles, est un espace vectoriel surR. Question préliminaire: Justifier, pour toutfélément deC(R) et pour tout réelx, Z x+1 l’existence du réelf(t)dt. On noteF(x) ce réel ; on construit ainsi une fonction x numériqueFdéfinie surR, associée àf. Partie A

Terminale C

A. P. M. E. P.

SoitVle sousespace vectoriel deC(R) engendré par les fonctionsf 1 ,f 2 etf 3 défi nies par

x ∀x∈R,f 1 (x)=1f 2 (x)=x;f 3 (x)=e . ¡ ¢ 1.Montrer queB=f 1 ,f 2 ,f 3 est une base deV. 2.Montrer que, sifest élément deV,Fest élément deV. Soit alorsΦ:V→Vl’application définie par

Φ(f)=F. Montrer queΦest un endomorphisme deV, et donner l’expression des coor donnéesa 1 ,b 1 etc 1 de F dans la baseBen fonction des coordonnéesa,bet cdefdans cette même base. Application : On posef= −f 1 −f 2 +f 3 . DéterminerΦ(f). 3.Soit P le plan vectoriel engendré parf 1 etf 2 et D la droite vectorielle engen drée parf 3 . a.Montrer que ces deux sousespaces deVsont stables parΦ, c’estàdire queΦ(P)⊂P etΦ(D)⊂D. 1n n−1 b.On définitΦ=Φ‘ et pour tout entiern > 2,Φ=Φ◦Φ. Soitfun élément deV, de coordonnéesa,betcdans la baseB, et n a n ,b n ,c n les coordonnées deΦ(f) dans cette même base. Déterminera n ,b n etc n en fonction dea,betc. Partie B SoitfetFles fonctions numériques définies par : x ∀x∈Rf(x)=e−x−1 x F(x)=(e−1)e−x−2 1.Montrer queFest la fonction associée àf(au sens de la question prélimi naire). 2.Étudier les fonctionsfetFet construire leurs représentations graphiques res ³ ´ −→−→ pectivesγetΓO,dans le repèreı,du plan . (Tracer les deux courbes sur le même dessin). 3.Justifier l’existence, pour tout réel positifx, d’un réel uniquecde l’intervalle [x;x+1] tel que Z x+1 f(t) dt=f(c). x 4.On définit la suite (c) par n n ∈N Z n+1 ∀n∈N,f(t) dt=f ( c n ) n teδparδ=c−n. puis la sui ( n ) n∈N n n a.Montrer que la suite (δ n bornée.) est n∈N b.En utilisant les courbesγetΓdu B 2., déterminer graphiquement les ³ ´ −→ points M 0 , M 1 et M 2 de l’axeO,ıd’abscisse respec 1,c 2 . tivec 0 ,c c.Montrer que 1δ n δ n ∀n∈Ne−1− =e−. n n 2e e

Dijon

2

juin 1982

Terminale C

A. P. M. E. P.

d.Montrer que la suite (δ n ) convergevers une limiteℓque l’on déter n∈N minera. e.CalculerF(x)−f(x+ℓ) pourx∈R. En déduire une transformation affine T du planEtelle que l’on ait T(γ)= Γ. Quelle est la nature de T ?

Les parties A et B pourront être abordées indépendamment l’une de l’autre. (e dési gnera dans tout le problème la base des logarithmes népériens).

Dijon

3

juin 1982