Baccalauréat C juin 1982 Dijon
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Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat C juin 1982 Dijon \ EXERCICE 1 4 points n étant un entier naturel fixé, on considère dans Z2 l'équation (En) : 165x?132y =n. Résoudre cette équation dans les trois cas particuliers : 1. n = 33. 2. n = 66. 3. n = 42. Dans ces différents cas, on déterminera pour chaque couple (x, y) solution, le PGCD de x et y . EXERCICE 2 4 points Soit E un espace affine euclidien, ( O ; ??e1 , ??e2 ) un repère orthonormé, f l'application de E dans E qui à tout point M d'affixe z associe le point M ? d'affixe z ? = z2+ iz+1. 1. Déterminer l'ensemble des points M dont l'image par f est le point A d'affixe 3i. 2. Soit M un point de E de coordonnées x et y et M ? = f (M) de coordonnées x? et y ? son image par f . Déterminer x? et y ? en fonction de x et y . 3. Soit ? l'ensemble des points M du plan dont l'image est sur la droite d'équa- tion x =?1. Déterminer une équation cartésienne de ?. 4. SoitC l'image'par f de la droite ( O, ??e1 ) .

  • coordonnées de?n

  • expression des coor- données a1

  • engen- drée par f3

  • courbes ?

  • sens de la question prélimi- naire

  • base des logarithmes népériens


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Informations

Publié par
Publié le 01 juin 1982
Nombre de lectures 41
Langue Français

Extrait

Durée : 4 heures
[Baccalauréat C juin 1982 Dijon\
EX E R C IC E1 2 nétant un entier naturel fixé, on considère dansZl’équation
4 points
(En) :165x132y=n. Résoudre cette équation dans les trois cas particuliers : 1.n=33. 2.n=66. 3.n=42. Dans ces différents cas, on déterminera pour chaque couple (x,y) solution, le PGCD dexety.
EX E R C IC E2 4points ³ ´ SoitEun espace affine euclidien,O ;e1,e2un repère orthonormé,fl’application deEdansEqui à tout pointMd’affixezassocie le pointMd’affixe
2 z=z+iz+1. 1.Déterminer l’ensemble des pointsMdont l’image parfest le point A d’affixe 3i. ′ ′ 2.SoitMun point deEde coordonnéesxetyetM=f(M) de coordonnéesx ′ ′etyson image parf. Déterminerxetyen fonction dexety. 3.SoitΓl’ensemble des pointsMdu plan dont l’image est sur la droite d’équa tionx= −1. Déterminer une équation cartésienne deΓ. ³ ´ −→ 4.SoitCl’image’parfO,de la droitee1. Déterminer une équation cartésienne deC. 5.Montrer queΓetCsont des coniques dont on déterminera les éléments re marquables (notamment le centre, les axes, les asymptotes et les sommets lorsqu’ils existent) et que l’on construira.
PR O B L È M E12 points ³ ´ SoitEun plan affine euclidien rapporté à un repère orthonorméO,ı,. Soit C(R) l’ensemble des fonctions numériques définies et continues surR. On rappelle queC(R) muni de l’addition et de la multiplication par un réel habituelles, est un espace vectoriel surR. Question préliminaire: Justifier, pour toutfélément deC(R) et pour tout réelx, Z x+1 l’existence du réelf(t)dt. On noteF(x) ce réel ; on construit ainsi une fonction x numériqueFdéfinie surR, associée àf. Partie A
Terminale C
A. P. M. E. P.
SoitVle sousespace vectoriel deC(R) engendré par les fonctionsf1,f2etf3défi nies par
x xR,f1(x)=1f2(x)=x;f3(x)=e . ¡ ¢ 1.Montrer queB=f1,f2,f3est une base deV. 2.Montrer que, sifest élément deV,Fest élément deV. Soit alorsΦ:VVl’application définie par
Φ(f)=F. Montrer queΦest un endomorphisme deV, et donner l’expression des coor donnéesa1,b1etc1de F dans la baseBen fonction des coordonnéesa,bet cdefdans cette même base. Application : On posef= −f1f2+f3. DéterminerΦ(f). 3.Soit P le plan vectoriel engendré parf1etf2et D la droite vectorielle engen drée parf3. a.Montrer que ces deux sousespaces deVsont stables parΦ, c’estàdire queΦ(P)P etΦ(D)D. 1n n1 b.On définitΦ=Φ‘ et pour tout entiern>2,Φ=ΦΦ. Soitfun élément deV, de coordonnéesa,betcdans la baseB, et n an,bn,cnles coordonnées deΦ(f) dans cette même base. Détermineran,bnetcnen fonction dea,betc. Partie B SoitfetFles fonctions numériques définies par : x xRf(x)=ex1 x F(x)=(e1)ex2 1.Montrer queFest la fonction associée àf(au sens de la question prélimi naire). 2.Étudier les fonctionsfetFet construire leurs représentations graphiques res ³ ´ pectivesγetΓO,dans le repèreı,du plan . (Tracer les deux courbes sur le même dessin). 3.Justifier l’existence, pour tout réel positifx, d’un réel uniquecde l’intervalle [x;x+1] tel que Z x+1 f(t) dt=f(c). x 4.On définit la suite (c) par n nN Z n+1 nN,f(t) dt=f(cn) n teδparδ=cn. puis la sui(n)nNn n a.Montrer que la suite (δnbornée.) est nN b.En utilisant les courbesγetΓdu B 2., déterminer graphiquement les ³ ´ −→ points M0, M1et M2de l’axeO,ıd’abscisse respec1,c2. tivec0,c c.Montrer que 1δn δn nNe1− =e. n n 2e e
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Terminale C
A. P. M. E. P.
d.Montrer que la suite (δn) convergevers une limiteque l’on déter nN minera. e.CalculerF(x)f(x+) pourxR. En déduire une transformation affine T du planEtelle que l’on ait T(γ)= Γ. Quelle est la nature de T ?
Les parties A et B pourront être abordées indépendamment l’une de l’autre. (e dési gnera dans tout le problème la base des logarithmes népériens).
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