Baccalauréat C Maroc juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C Maroc juin 1981 \ EXERCICE 1 Résoudre dans N?N x2?9y2 =?35. EXERCICE 2 Soit C l'ensemble des nombres complexes et soit f l'application de C dans C définie par f (z)= z3+ (5i?1)z2+ (?1+4i)z+3+7i. 1. Calculer f (i). En déduire une factorisation de f (z). 2. Résoudre dans C l'équation f (z)= 0. PROBLÈME SoitR le corps des nombres réels, R?+ le sous-ensemble des réels strictement positifs. Soit f et g les fonctions numériques définies sur R?+ par f (t)= 1 t cos2t et g (t)=?sin2t . Partie A Soit E l'espace vectoriel sur R des combinaisons linéaires à coefficients réels de f et g , muni des lois d'addition des fonctions et de multiplication d'une fonction par un réel. 1. Vérifier que ( f , g ) est une base de E. 2. Soit ? l'application de E ? E dans R définie par ?(u, v)= ∫pi pi 2 t2u(t) · v(t)dt . a. Montrer que ? est un produit scalaire sur l'espace vectoriel E. b. Montrer que la base ( f , g ) est orthogonale pour le produit scalaire cp.

• courbes représentatives des restrictions


• produit scalaire sur l'espace vectoriel


• lim t?


• ????om ?


• similitude plane directe

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1981
• Nombre de lectures: 134
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat C Maroc juin 1981\

E X E R C IC E 1 Résoudre dansN×N

2 2 x−9y= −35.

E X E R C IC E 2 SoitCl’ensemble des nombres complexes et soitfl’application deCdansCdéfinie par

3 2 f(z)=z+(5i−1)z+(−1+4i)z+3+7i. 1.Calculerf(i). En déduire une factorisation def(z). 2.Résoudre dansCl’équationf(z)=0.

P R O B L È M E ⋆ SoitRle corps des nombres réels,Rle sousensemble des réels strictement positifs. + ⋆ Soitfetgles fonctions numériques définies surRpar + 1 f(t)=cos 2tetg(t)= −sin 2t. t Partie A

Soit E l’espace vectoriel surRdes combinaisons linéaires à coefficients réels defet g, muni des lois d’addition des fonctions et de multiplication d’une fonction par un réel. 1.Vérifier que (f,g) est une base de E. 2.Soitϕl’application de E×E dansRdéfinie par Z π 2 ϕ(u,v)=t u(t)∙v(t) dt. π 2 a.Montrer queϕest un produit scalaire sur l’espace vectoriel E. b.Montrer que la base (f,g) est orthogonale pour le produit scalaire cp. c.Montrer qu’il existe un produit scalaire sur l’espace vectoriel E pour le quel la base (f,g) est orthonormée. Partie B SoitPrmé directun plan affine euclidien orienté rapporté à un repère orthono ³ ´ −→−→ O,ı,. ⋆ Soitt∈RetA t l’application affine dePdansPqui au pointMde coordonnées + ¡ ¢ ′ ′′ (x;y) associe le pointMde coordonnéesx;yavec ½ ′ x=f(t).x−g(t).y ′ y=g(t).x+f(t).y.

1.Montrer queA t est une similitude plane directe et en préciser ses éléments caractéristiques (centre, rapport, mesure de l’angle).

Le baccalauréat de 1981

A. P. M. E. P.

⋆ erminer l’ensemble des réelst∈R 2. a.Dét + tels queA t soit une rotation. ⋆ ner l’ensemble desls qu b.Détermi réelst∈R + te eA t soit une homothétie. ⋆ ilt∈Rel queA π 3.Existet + t◦A t =A 1 ? 8 (La loi◦étant la composition des applications.) Partie C 1.Soithla fonction numérique définie sur l’intervalle réel I=]0 ;π] par

h(t)=cos 2t+2tsin 2t. a.Étudier les variations dehsur I. b.Montrer que l’équationh(t)=0 admet sur I exactement deux solutions, ′ ′ notéest 0 ett, (t 0 <t) ; vérifier que 1t 1t  0 0 π π3π ′ et<t<π <t 0 < 0 . 4 2 4 ′ (On ne cherchera pas à calculer numériquementt 0 ettmais on justi 0 fiera rigoureusement leur existence). c.En déduire l’étude du signe deh(t) lorsquetappartient à I. 2. a.Étudier la fonctionfsur I (sens de variation, extremums, limites). ⋆ b.Vérifier que pour toutt∈Ron a + 1 1 − 6 f(t) 6 . t t ⋆ c.Résoudre dansRl’équationf(t)=0. + ⋆ 3.Soith 1 eth 2 les fonctions numériques définies surRpar + 1 1 h 1 (t)= −eth 2 (t)=. t t On appelle C, C 1 , C 2 les courbes représentatives des fonctionsf,h 1 ,h 2 dans ³ ´ −→−→ un plan affinePO,rapporté à un repère orthonorméı,. a.Déterminer les points d’intersection de C et de C 1 et montrer qu’en ces points les deux courbes ont même tangente. b.Déterminer les points d’intersection de C et de C 2 et montrer qu’en ces points les deux courbes ont même tangente. ′ ′′ c.les courbes représentatives des restrictions à I des foncet CSoit C , C 1 2 tionsf,h 1 eth 2 . ′ ′′ Tracer dans un même repère orthonormé C , Cet C. 1 2 d.En déduire sans justification le tracé des courbes C, C 1 , C 2 . Partie D ³ ´ −→−→ Dans un plan affine euclidienPO,muni d’un repère orthonorméı,,Mest un ⋆ point mobile dont les coordonnées à la datet(t∈R) sont + ½ x=f(t) y=g(t)

−→−→ 1.Déterminer les vecteursV, vitesse deM, etΓaccélération deMà la datet. Vérifier que le mouvement deMest retardé sur ]0 ;+∞[.

Maroc

2

juin 1981

Le baccalauréat de 1981

A. P. M. E. P.

−−→ 2. a.Vérifier que l’applicationt7→− ° OM ° est strictement décroissante sur ³ ´ −→−−→ ]0 ;+∞[. Déterminer l’angleı, OM. b.Calculer

Maroc

puis

limf(t) etlimg(t) t→0t→0 t>0t>0

limf(tlim) etg(t). t→+∞t→+∞ c.Représenter approximativement dansPles positions deMaux instants π π3π , ,,πet 2π. (On prendraπ≈3). 4 24 d.En déduire l’allure de la trajectoire deMsur ]0 ;+∞[.

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juin 1981