Baccalauréat C Métropole groupe 3 1 juin 1992

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat C Métropole groupe 3 1 juin 1992 \ EXERCICE 1 5 points Dans le plan orienté, ABC désigne un triangle rectangle isocèle en A, avec (???AB , ???AC ) = pi 2 .Le point I est le point de concours des bissectrices intérieures du triangle ABC. On désigne par : rA la rotation de centre A et d'angle pi2 , rC la rotation de centre C et d'angle pi4 1. a. Construire le point A?, image de A par rC. b. Donner la nature et les éléments caractéristiques de l'application com- posée rC ? rA (on pourra écrire chaque rotation comme composée de ré- flexions convenablement choisies). c. Montrer que IA? = IA et que les droites (IA?) et (AB) sont parallèles. 2. La droite (CI) coupe (AB) en E ; les droites (A?E) et (BI) se coupent en K. On désigne par hC l'homothétie de centre C et de rapport 1 p2 , par hK l'homothétie de centre K et de rapport ? p2. a. Déterminer hC(B) et hC(E). En déduire que ??BE =?p2??IA? . b. Quelle est l'image de B par hK ?hC ? c. Reconnaître l'application hK ?hC et en déduire que les points C et K sont alignés avec le milieu M du segment [BE].

• point de concours des bissectrices intérieures du triangle abc


• posée rc ?


• x? lnx?1


• repère orthonormal direct

Informations

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• Langue: Français

Extrait

Durée : 4 heures

1 [Baccalauréat C Métropole groupe 3juin 1992\

E X E R C IC E 1 5points Dans le plan orienté, ABC désigne un triangle rectangle isocèle en A, avec ³ ´ −→−→ π AB ,AC=. 2 Le point I est le point de concours des bissectrices intérieures du triangle ABC. On π désigne par :r A la rotation de centre A et d’angle, 2 π r C la rotation de centre C et d’angle 4 ′ 1. a.Construire le point A , image de A parr C . b.Donner la nature et les éléments caractéristiques de l’application com poséer C ◦r A (on pourra écrire chaque rotation comme composée de ré flexions convenablement choisies). ′ ′ c.Montrer que IA= IA et que les droites (IA ) et (AB) sont parallèles. ′ 2.La droite (CI) coupe (AB) en E ; les droites (A E) et (BI) se coupent en K. 1 On désigne parh C l’homothétie de centre C et de rapport p , 2 parh K l’homothétie de centre K et de rapport−2. a.Déterminerh C (B) eth C (E). −→ −→ ′ En déduire que BE= −2IA . b.Quelle est l’image de B parh K ◦h C ? c.Reconnaître l’applicationh K ◦h C et en déduire que les points C et K sont alignés avec le milieu M du segment [BE].

E X E R C IC E points2 4 ³ ´ −→−→ Le plan est rapporté au repère orthonormal directO,u,v. L’unité graphique est de 2 cm. On considère la parabole (P) de foyer O et de directrice la droite (D) d’équationx=1.

1.Écrire une équation de (P) et dessiner (P). 2.Soit M un point de (P), H le projeté orthogonal de M sur (D), I le milieu du segment [OH], A le point d’affixe 1 et B le point d’affixe 2. ³ ´³ ´ −→ −−→−−→−→ Montrer queMI ,MH=HO , HA+kπ, aveck∈Z. ³ ´³ ´ −−→ −−→−−→−→ En déduire queMO ,MH=HBHO ,+kπ, aveck∈Z. ³ ´ −−→−−→ 3.On choisitθ∈[0 ; 2πMO ,MH[, tel que=θ+2kπ, aveck∈Z. On désigne parzethles affixes respectives de M et H. z−h h−2 iθ Montrer que= =e ,et queθest différent de zéro. z h 2 En déduire quez=. ¡ ¢ 2 iθ 1−e

1. Besançon,Dijon, Grenoble, Lyon, NancyMetz, Reims, Str asbourg

Baccalauréat C

A. P. M. E. P.

P R O B L È M E 11 points Soitfla fonction numérique définie sur l’intervalle [0 ;+∞[ par :   lnx f(x)=six>0, x−lnx  f(0)= −1 (ln désigne le logarithme népérien). ³ ´ −→−→ On note (C) sa représentation graphique dans un repère orthonormalO,ı,. L’unité graphique est de 2 cm.

Partie A Étude d’une fonction auxiliaire (pour la partie C)

Soitgla fonction définie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ par :

g(x)=x−lnx−1. 1.Étudier le sens de variation deg. 2.En déduire queg(x) > 0, pour toutxde l’intervalle ]0 ;+∞[.

Partie B Étude def

1.Montrer que la fonctionfest continue en 0. Montrer quefest dérivable en 0 : on précisera la valeur de sa dérivée en 0. 2.Calculer limf(x). x→+∞ 3.Étudier le sens de variation de la fonctionfet dresser son tableau de varia tions. 4.Tracer la courbe (C).

Partie C Étude d’une primitive def

On pose, pour toutx > 0 : Z x F(x)=f(t) dt. 1 On ne cherchera pas à calculerF(x).

1.Étudier le sens de variation de la fonctionF, sur l’intervalle [0 ;+∞[. 2.Montrer, en introduisant la fonctiongde la partie A, que, pour touttde de l’intervalle ]0 ; 1], on a :

−1 6 f(t) 6 t−1. Vérifier que cette double inégalité est encore vraie pourt=0. 1 En déduire que 6 F(0) 6 1. 2 3. a.Prouver que pour toutt > 1, on a : lnt 6 f(t). t Z x lnt b.Calculer dt. 1 t En déduirelimF(x). x→+∞

Métropole groupe 3

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Baccalauréat C

4.On note (u n ) la suite définie pourn > 1 par : Z n+1 u n =f(t) dt. n a.Montrer que, pour toutn > 3, on a :

f(n+1) 6 u n 6 f(n). (on pourra utiliser le sens de variation def). b.Montrer que la suite (u n ) converge vers zéro. 5.On pose, pour tout entier natureln > 2 :

p=n−1 X S n =u p =u 1 +u 2 +u 3 + ∙ ∙ ∙ +u n−1 . p=1 a.ExprimerS n à l’aide deF. b.limEn déduire queS n = +∞. n→+∞

Métropole groupe 3

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A. P. M. E. P.

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