Baccalauréat C Métropole groupe 4 1 juin 1992

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat C Métropole groupe 4 1 juin 1992 \ EXERCICE 1 4 points Dans le plan orienté, on considère un triangle ABC tel que : (???AB , ???AC ) = pi 3 [2pi] et AB< AC. On note (C ) le cercle circonscrit au triangle ABC et O son centre. Soit E le milieu du segment [BC] et P le point du segment [AC] tel que AB = CP. La droite (OE) coupe (C ) en I et J, tels que J et A soient sur le même arc BC du cercle (C ). 1. a. Faire une figure. b. Quel est l'ensemble des points M du plan tels que (???MB ,???MC ) = pi 3 [2pi]? c. Quel est l'ensemble des points M du plan tels que (???MB , ???MC ) = pi 3 [2pi] etMB

• tan- gentes aux points d'abscisses


• axe des ordonnées


• axe des abscisses


• repère


• coordonnées dem1 en fonctionde ? dans le repère


• cm pour le demi-axe des abscisses positives

Sujets

• Coordonnées cartésiennes
• Repère

Informations

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• Langue: Français

Extrait

Durée : 4 heures

1 [juin 1992Baccalauréat C Métropole groupe 4\

E X E R C IC E 1 4points Dans le plan orienté, on considère un triangle ABC tel que : ³ ´ −→−→ π AB ,AC=[2πAB] et<AC. 3 On note (C) le cercle circonscrit au triangle ABC et O son centre. Soit E le milieu du segment [BC] et P le point du segment [AC] tel que AB = CP. La droite (OE) coupe (C) en I et J, tels que J et A soient sur le même arc BC du cercle (C).

1. a.Faire une figure. b.Quel est l’ensemble des pointsMdu plan tels que ³ ´ −−→−−→ π MB ,MC=[2π]? 3 c.Quel est l’ensemble des pointsMdu plan tels que ³ ´ −−→−−→ π MB ,MC=[2π] etMB<MC? 3 2. a.Justifier qu’il existe une unique rotation R telle que R(A) = P et R(B) = C. Déterminer son angle. b.Démontrer que son centre est un point de (C) que l’on précisera. c.Quelle est la nature du triangle JAP ? 3.Déterminer l’image de B par la composée R◦S B où S B désigne la symétrie de centre B. Donner la nature et les éléments caractéristiques de cette composée.

E X E R C IC E 2 ³ ´ −→−→ Le plan est rapporté à un repère orthonormal directO,u,v.

4 points

1.On considère les points A de coordonnées (−0) et I de coordonnées (4 ; 0).1 ; Soit (E) l’ellipse de centre I, dont un sommet est A et un foyer est O.

a.Déterminer les trois autres sommets de (E). b.Calculer l’excentricité de (E), et donner une équation de sa directrice as ³ ´ −→−→ sociée au foyer O dans le repèreO,u,v. ³ ´ −→−→ c.Former une équation de (E) dans le repèreI ;u,vd’origine le centre I de l’ellipse. d.Tracer (E). 2.Dans cette question, à tout réelθde l’intervalle [0 ;π] on associe l’équation :

2 2 z−2(4+5 cosθ)z+(4 cosθ+5)=0.

1. AixMarseille,Corse, Montpellier, Nice, Toulouse

Baccalauréat C

A. P. M. E. P.

a.Résoudre l’équation dansC. b.Lorsqueθappartient à l’intervalle ]0 ;π[, on notez 1 la solution de l’équa tion dont la partie imaginaire est strictement positive, etz 2 l’autre solu tion. SoitM 1 le point d’affixez 1 etM 2 le point d’affixez 2 . ³ ´ −→−→ Déterminer les coordonnées deM 1 en fonction deθdans le repèreO,u,v ³ ´ −→−→ puis dans le repèreI ;u,v. En déduire l’ensemble des pointsM 1 puis celui des pointsM 2 lorsqueθ varie dans l’intervalle ]0 ;π[.

P R O B L È M E 4 points Les parties B et C sont indépendantes. Pour les représentations graphiques de ce problème l’unité choisie est 2 cm; et il convient de placer l’axe des ordonnées suffisamment à gauche de la feuille afin de réserver 16cm pour le demiaxe des abscisses positives.

Partie A Soitfla fonction définie sur [0 ;+∞[ par :

f(x)=x(1−lnx) six>0, etf(0)=0. On appelle (C) la courbe représentative defdans le plan rapporté à un repère or ³ ´ −→−→ thonormé O,ı,. 1.Justifier quefest continue sur [0 ;+∞[. 2.Déterminer la limite def(x) quandxtend vers 0. En déduire quefn’est pas dérivable en 0. f(x) 3. a.Étudier la limite dequandxtend vers+∞. x b.Étudier les variations def. Faire un tableau de variations. 4. a.Écrire une équation de la tangente (T) à la courbe (C) au point d’abscisse e. b.Tracer (T) et (C). Préciser la tangente à (C) au point O. Partie B 1.On désigne parαetx; calculer l’intédes nombres réels strictement positifs Z x gralef(t) dt, à l’aide d’une intégration par parties. α 2 2.Soitαun nombre réel strictement positif etA(αde la partie du) l’aire en cm plan délimitée par l’axe des abscisses, la courbe (C) et les droites d’équations x=αetx=e. Z x a.Montrer queA(α)=4f(t) dt. α (On distinguera les deux casα 6 e etα > e. CalculerA(α) en fonction deα. b.Calculer la limite deA(α) quandαtend vers 0. 2 c.Déterminerαtel que :α > e etA(α)=e . 3.Soitxun réel de [0 ;+∞[. Z x Prouver l’existence de l’intégrale :f(t) dt. 0

Métropole groupe 4

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Baccalauréat C

A. P. M. E. P.

Z x 4.SoitFla fonction définie sur [0 ;+∞[ parF(x)=f(t) dt. 0 Montrer queFest dérivable sur [0 ;+∞[ et préciser sa fonction dérivée. Quelle est la limite deFen 0 ? 5. a.Déduire du B 1. que pourx>0 :

2 x3 F(x)−F(1)=(3−2 lnx)−. 4 4 2 x b.(3Calculer la limite de−2 lnx) quandxtend vers 0. 4 En déduire la valeur deF(1). En conclure que six>0 :

2 x F(x)=(3−2 lnx). 4 Partie C

À tout réelkon associe la fonctionf k , définie sur [0 ;+∞[ par :

f k (0)=0, etsix>0f k (x)=x(k−lnx). ³ ´ −→−→ On appelle (C k ) la courbe représentative def k O,, dans le repèreı,.

1.Soitaun réel strictement positif,A k le point d’abscisseade (C k ) et (T k ) la tangente à (C k ) au pointA k . Déterminer l’ordonnée du point d’intersection de (T k ) avec l’axe des ordon nées. En déduire que, lorsquekvarie dansR, les tangentes (T k ) sont concourantes ³ ´ −→ en un même point de l’axeO ;. k 2. a.Montrer que l’homothétie de centre O et de rapport etransforme la courbe (C 0 ) en la courbe (C k ). b.Remarquer que la courbe (C 1 ) est la courbe (C) tracée au A. 4. b. Par quelle transformation ponctuelle, la courbe (C 0 ) se déduitelle de ( C 1 ) ?Construire (C 0 ) sur la même figure que (C 1 ) ainsi que ses tan 1 gentes aux points d’abscisseset 1. e ³ ´ −→−→ 3.O,Déduire, dans le repèreı,le tracé de (C 2 ) de celui de (C 0 ) sur la même figure que (C 0 ) et (C 1 ). Construire les tangentes à (C 2 ) aux points d’abscisses e e, eet 1. Faire apparaître sur le graphique le point d’intersection des tangentes aux courbes (C k ) , ( C 1 ) et (C 2 ) aux points de ces courbes d’abscisse 1.

Métropole groupe 4

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