Baccalauréat C Métropole groupe 4 1 juin 1992
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Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat C Métropole groupe 4 1 juin 1992 \ EXERCICE 1 4 points Dans le plan orienté, on considère un triangle ABC tel que : (???AB , ???AC ) = pi 3 [2pi] et AB< AC. On note (C ) le cercle circonscrit au triangle ABC et O son centre. Soit E le milieu du segment [BC] et P le point du segment [AC] tel que AB = CP. La droite (OE) coupe (C ) en I et J, tels que J et A soient sur le même arc BC du cercle (C ). 1. a. Faire une figure. b. Quel est l'ensemble des points M du plan tels que (???MB ,???MC ) = pi 3 [2pi]? c. Quel est l'ensemble des points M du plan tels que (???MB , ???MC ) = pi 3 [2pi] etMB

  • tan- gentes aux points d'abscisses

  • axe des ordonnées

  • axe des abscisses

  • repère

  • coordonnées dem1 en fonctionde ? dans le repère

  • cm pour le demi-axe des abscisses positives


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Langue Français

Exrait

Durée : 4 heures
1 [juin 1992Baccalauréat C Métropole groupe 4\
EX E R C IC E1 4points Dans le plan orienté, on considère un triangle ABC tel que : ³ ´ π AB ,AC=[2πAB] et<AC. 3 On note (C) le cercle circonscrit au triangle ABC et O son centre. Soit E le milieu du segment [BC] et P le point du segment [AC] tel que AB = CP. La droite (OE) coupe (C) en I et J, tels que J et A soient sur le même arc BC du cercle (C).
1. a.Faire une figure. b.Quel est l’ensemble des pointsMdu plan tels que ³ ´ π MB ,MC=[2π]? 3 c.Quel est l’ensemble des pointsMdu plan tels que ³ ´ π MB ,MC=[2π] etMB<MC? 3 2. a.Justifier qu’il existe une unique rotation R telle que R(A) = P et R(B) = C. Déterminer son angle. b.Démontrer que son centre est un point de (C) que l’on précisera. c.Quelle est la nature du triangle JAP ? 3.Déterminer l’image de B par la composée RSBoù SBdésigne la symétrie de centre B. Donner la nature et les éléments caractéristiques de cette composée.
EX E R C IC E2 ³ ´ Le plan est rapporté à un repère orthonormal directO,u,v.
4 points
1.On considère les points A de coordonnées (0) et I de coordonnées (4 ; 0).1 ; Soit (E) l’ellipse de centre I, dont un sommet est A et un foyer est O.
a.Déterminer les trois autres sommets de (E). b.Calculer l’excentricité de (E), et donner une équation de sa directrice as ³ ´ sociée au foyer O dans le repèreO,u,v. ³ ´ c.Former une équation de (E) dans le repèreI ;u,vd’origine le centre I de l’ellipse. d.Tracer (E). 2.Dans cette question, à tout réelθde l’intervalle [0 ;π] on associe l’équation :
2 2 z2(4+5 cosθ)z+(4 cosθ+5)=0.
1. AixMarseille,Corse, Montpellier, Nice, Toulouse
Baccalauréat C
A. P. M. E. P.
a.Résoudre l’équation dansC. b.Lorsqueθappartient à l’intervalle ]0 ;π[, on notez1la solution de l’équa tion dont la partie imaginaire est strictement positive, etz2l’autre solu tion. SoitM1le point d’affixez1etM2le point d’affixez2. ³ ´ Déterminer les coordonnées deM1en fonction deθdans le repèreO,u,v ³ ´ puis dans le repèreI ;u,v. En déduire l’ensemble des pointsM1puis celui des pointsM2lorsqueθ varie dans l’intervalle ]0 ;π[.
PR O B L È M E4 points Les parties B et C sont indépendantes. Pour les représentations graphiques de ce problème l’unité choisie est 2 cm; et il convient de placer l’axe des ordonnées suffisamment à gauche de la feuille afin de réserver 16cm pour le demiaxe des abscisses positives.
Partie A Soitfla fonction définie sur [0 ;+∞[ par :
f(x)=x(1lnx) six>0, etf(0)=0. On appelle (C) la courbe représentative defdans le plan rapporté à un repère or ³ ´ thonormé O,ı,. 1.Justifier quefest continue sur [0 ;+∞[. 2.Déterminer la limite def(x) quandxtend vers 0. En déduire quefn’est pas dérivable en 0. f(x) 3. a.Étudier la limite dequandxtend vers+∞. x b.Étudier les variations def. Faire un tableau de variations. 4. a.Écrire une équation de la tangente (T) à la courbe (C) au point d’abscisse e. b.Tracer (T) et (C). Préciser la tangente à (C) au point O. Partie B 1.On désigne parαetx; calculer l’intédes nombres réels strictement positifs Z x gralef(t) dt, à l’aide d’une intégration par parties. α 2 2.Soitαun nombre réel strictement positif etA(αde la partie du) l’aire en cm plan délimitée par l’axe des abscisses, la courbe (C) et les droites d’équations x=αetx=e. Z x a.Montrer queA(α)=4f(t) dt. α (On distinguera les deux casα6e etα>e. CalculerA(α) en fonction deα. b.Calculer la limite deA(α) quandαtend vers 0. 2 c.Déterminerαtel que :α>e etA(α)=e . 3.Soitxun réel de [0 ;+∞[. Z x Prouver l’existence de l’intégrale :f(t) dt. 0
Métropole groupe 4
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juin 1992
Baccalauréat C
A. P. M. E. P.
Z x 4.SoitFla fonction définie sur [0 ;+∞[ parF(x)=f(t) dt. 0 Montrer queFest dérivable sur [0 ;+∞[ et préciser sa fonction dérivée. Quelle est la limite deFen 0 ? 5. a.Déduire du B 1. que pourx>0 :
2 x3 F(x)F(1)=(32 lnx). 4 4 2 x b.(3Calculer la limite de2 lnx) quandxtend vers 0. 4 En déduire la valeur deF(1). En conclure que six>0 :
2 x F(x)=(32 lnx). 4 Partie C
À tout réelkon associe la fonctionfk, définie sur [0 ;+∞[ par :
fk(0)=0, etsix>0fk(x)=x(klnx). ³ ´ On appelle (Ck) la courbe représentative defkO,, dans le repèreı,.
1.Soitaun réel strictement positif,Akle point d’abscisseade (Ck) et (Tk) la tangente à (Ck) au pointAk. Déterminer l’ordonnée du point d’intersection de (Tk) avec l’axe des ordon nées. En déduire que, lorsquekvarie dansR, les tangentes (Tk) sont concourantes ³ ´ −→ en un même point de l’axeO ;. k 2. a.Montrer que l’homothétie de centre O et de rapport etransforme la courbe (C0) en la courbe (Ck). b.Remarquer que la courbe (C1) est la courbe (C) tracée au A. 4. b. Par quelle transformation ponctuelle, la courbe (C0) se déduitelle de (C1) ?Construire (C0) sur la même figure que (C1) ainsi que ses tan 1 gentes aux points d’abscisseset 1. e ³ ´ 3.O,Déduire, dans le repèreı,le tracé de (C2) de celui de (C0) sur la même figure que (C0) et (C1). Construire les tangentes à (C2) aux points d’abscisses e e, eet 1. Faire apparaître sur le graphique le point d’intersection des tangentes aux courbes (Ck) ,(C1) et (C2) aux points de ces courbes d’abscisse 1.
Métropole groupe 4
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