Baccalauréat C Métropole septembre

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C Métropole septembre 1988 \ EXERCICE 1 4 POINTS On considère le plan complexe rapporté à un repère orthonormé ( O, ??u , ??v ) . ? désigne un nombre réel de l'intervalle ]?pi ; +pi[. Pour tout ? on définit le nombre complexe z(?)= 12 ( 1+ei? )2 . 1. Calculer (1+ei?)e?i ?2 , en déduire que le nombre complexe (1+ei?) a pour ar- gument ?2 . Calculer le module et l'argument de z(?). Représenter dans le plan complexe z(?). 2. Soit M le point d'affixe z(?) et A le point d'affixe 1. On projette orthogonale- ment A en P sur la droite (OM). Quel est l'ensemble des points P quand ? varie dans ]?pi ; +pi[ ? 3. Calculer la distance PM. On séparera les cas ? ? [ ? pi 2 ; pi 2 ] et ? ? ] ?pi ; ?pi2 [ ? ]pi 2 ; pi [ . 4. Donner une construction géométrique de l'ensemble des points M (construc- tion point par point). EXERCICE 2 4 POINTS On considère dans le plan (P) un cercle de diamètre [OB).

• nature du quadrilatère ambm?


• argument de z


• tangente


• tion point par point


• ar- gument ?2

Sujets

• Tangente

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 septembre 1988
• Nombre de lectures: 38
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat C Métropole septembre 1988\

E X E R C IC E 1 4 P O IN TS ³ ´ −→−→ On considère le plan complexe rapporté à un repère orthonorméO,u,v. θdésigne un nombre réel de l’intervalle ]−π;+π[. Pour toutθon définit le nombre complexe ³ ´ 1 2 iθ z(θ)=1+e . 2 ¡ ¢ θ ¡ ¢ iθ−i iθ 1.Calculer 1+e e1, en déduire que le nombre complexe+e apour ar 2 θ gument . 2 Calculer le module et l’argument dez(θ). Représenter dans le plan complexez(θ). 2.Soit M le point d’affixez(θ) et A le point d’affixe 1. On projette orthogonale ment A en P sur la droite (OM). Quel est l’ensemble des points P quandθvarie dans ]−π;+π[ ? 3.Calculer la distance PM. On séparera les cas h ii hi h π ππ π θ∈ −; etθ∈ −π;− ∪;π. 2 22 2 4.Donner une construction géométrique de l’ensemble des points M (construc tion point par point).

E X E R C IC E 2 4 P O IN TS On considère dans le plan (P) un cercle de diamètre [OB). Soit A un point du segment [OB], distinct de O et de B, I le milieu de [AB]. ′ La médiatrice du segment [AB] coupe le cercle en M et Mtels qu’une mesure de ³ ´ −−→−−→ π l’angle MO, MBsoit+Soit N la projection orthogonale de A sur (OM). 2

O

N

M +

B I A

′ M

′ ′ 1.Donner la nature du quadrilatère AMBM . En déduire que la droite (AM ) est ′ orthogonale à (OM) et que N, A et Msont alignés. 2.On appelleSla similitude directe de centre N, telle queS(M) = A. Préciser l’angle de cette similitude. Déterminer les images parSdes droites ′ (MI) et (NA). En déduire l’image parSdu point M .

Le baccalauréat de 1989

A. P. M. E. P.

′ 3.Montrer que l’image parSde I est le point I , milieu de [OA]. En déduire que la droite (NI) est tangente en N au cercle de diamètre [OA].

P R O B L È M E

Partie A 1.On considère la fonction polynômePdéfinie pour toutxréel par :

3 2 P(x)=2x−3x−1.

12 P O IN TS

a.Étudier les variations deP. b.Montrer que l’équationP(x)=0 admet une racine réelle et une seuleα, et queαappartient à l’intervalle ]1,6 ; 1,7[.

2.Soit D l’ensemble des réels strictement supérieurs à−1. On considère la fonction numériquefdéfinie sur D par :

1−x f(x)=. 3 1+x On désigne par (C) la courbe représentative defdans le plan rapporté à un repère orthonormé (on prendra comme unité 4 cm). a.Étudier les variations def(on utilisera pour cela les résultats du 1. b.Écrire une équation de la droite (Δ) tangente à la courbe (C) au point d’abscisse 0. Étudier la position de la courbe (C) par rapport à la droite (Δ) dans l’intervalle ]−1 ;+1[. c.Montrer que la courbe (C) est située audessus de sa tangente au point d’abscisse 1. Tracer la courbe (C), la droite (Δ) et la tangente à (C) au point d’abscisse 1. 3. a.Déterminer trois réelsa,b,c, tels que pour toutxdans l’ensemble de définition defon ait : a bx+c f(x)= +. 2 x+1x−x+1 b.xétant un nombre réel positif, justifier l’existence de l’intégrale : Z x F(x)=f(t) dt. 0 et la calculer. c.CalculerF(1) et interpréter ce nombre à l’aide d’une aire. Partie B On désigne parNl’ensemble des entiers naturels. ¡ ¢ On considère la suite numériqueu p définie, pour tout entier naturelpdeN, p∈N par : p (−1) u p =, (3p+1)(3p+2) définie, pour tou puis la suite (S n ) n∈N tn∈N, par S n =u 0 +u 1 + ∙ ∙ ∙ +u p + ∙ ∙ ∙ +u n .

Métropole

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septembre 1988

Le baccalauréat de 1989

A. P. M. E. P.

1.Montrer que pour tout entier naturelp, on a Z 1 1 3p t(1−t) dt=. 0 (3p+1)(3p+2) 2. a.Montrer que ¡ ¢ Z n+1 3 1 1− −t S n =(1−t) dt. 3 0 1+t b.On pose Z 1 1−t I=dt 0 1+t Montrer que Z 1 3 t £ ¤ n+1 3n I−S n =(−1)t(1−t) dt. 3 0 1+t 3 t Donner sur [0 ; 1] un majorant deet en déduire, en utilisant le B 1., 3 1+t que : 1 | I−S n | 6 . 2 9n 2 3.e nvergenteMontrer que la set que sa uite (S n ) n∈N ln 2.limite estst co 3

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