Baccalauréat C Métropole septembre 1990

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat C Métropole septembre 1990 \ EXERCICE 1 4 points Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct ( O ; ??e1 , ??e2 ) . On note C le cercle de centre O et de rayon R > 0 et A le point deC d'affixe R. Étant donné un entier n > 2, on note r la rotation de centre O d'angle 2pi n . On considère la suite de points (Mk )k>0 de C définie par la relation de récurrence Mk+1 = r (Mk ) et la condition initiale M0 = A. On note zk l'affixe de Mk . 1. a. Pour tout k > 0, exprimer zk+1 en fonction de zk . b. En déduire l'expression de zk en fonction de k et n. c. Comparer Mn et M0. d. Faire une figure lorsque n = 16 (on prendra R = 4 cm). 2. a. Prouver que, pour tout k > 0, MkMk+1 = 2R sin pin . b. On note Ln = M0M1 +M1M2 + ·· · +Mn?1Mn le périmètre du polygone régulier (M0, M1, · · · , Mn). Déterminer la limite de Ln lorsque n tend vers +∞. Interpréter géomé- triquement le résultat ainsi obtenu.

• plan orienté


• tx


• équation cartésienne de tx


• rotation d'angle pi2


• rotation


• angle


• repère ortho

Sujets

• Rotation

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 septembre 1990
• Nombre de lectures: 56
• Langue: Français

Extrait

Durée : 4 heures

[Baccalauréat C Métropole septembre 1990\

E X E R C IC E 1 4points ³ ´ −→−→ Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal directO ;e 1 , e 2 . On noteCle cercle de centre O et de rayonR>0 et A le point deCd’affixeR. 2π Étant donné un entiern > 2, on noter.la rotation de centre O d’angle n e la suite de pointseCdéfinie par la relation de récurrence On considèr ( M k ) k > 0 d M k+1 =r ( M k ) et la condition initialeM 0 =A. On notez k l’affixe deM k . 1. a.Pour toutk > 0, exprimerz k+1 en fonction dez k . b.En déduire l’expression dez k en fonction deketn. c.ComparerM n etM 0 . d.Faire une figure lorsquen=16 (on prendraR=4 cm). π 2. a.Prouver que, pour toutk > 0,M k M k+1 =2Rsin . n b.On noteL n =M 0 M 1 +M 1 M 2 + ∙ ∙ ∙ +M n−1 M n le périmètre du polygone régulier (M 0 ,M 1 ,∙ ∙ ∙,M n ). Déterminer la limite deL n lorsquentend vers+∞. Interpréter géomé triquement le résultat ainsi obtenu.

E X E R C IC E 2 5points ³ ´ −→−→ Dans le plan orienté, on considère un triangle équilatéral ACB tel queAC ,AB ait π pour mesure. 3 On noteΔla droite orthogonale à (AB) passant par C et I le point deΔtel que ³ ´ −→−→ π AC ,AI aitpour mesure. 4 ′ Enfin, on notesla similitude directe de centre A telle ques(C) = I etsla similitude ′ directe de centre B telle ques(I) = C.

1. a.Placer les points A, B, C et I sur la figure. π ′ b.Prouver quer=s◦sest une rotation d’angle. 2 c.Déterminer le centre de cette rotation. 2.À tout pointMdu plan, distinct des points A, B et C, on associe le pointN= ′ s(M) et le pointPtel ques(P)=M. ³ ´³ ´ −−→−−→−−→−→ a.ADéterminer les anglesM, ANet BP, BM. b.On noteσla similitude directe de centre A telle queσ(C) =M. Comparerσ◦sets◦σ. ³ ´ −−→−−→ En déduire l’image de I parσ, puis déterminer l’angleMA ,M N. En déduire une construction géométrique de N. Placer les pointsMetNsur la figure. ′ c.Construire de mêmeP(on pourra utiliser la similitude directeσde centre ′ B telle queσ(I) =P). ³ ´ −→−→ π 3.Prouver que IP= INet queIP, IN.a pour mesure 2

Baccalauréat C

P R O B L È M E

A. P. M. E. P.

4 points

A On se propose d’étudier la fonctionfdéfinie sur [0 ;+∞[ par : 1 − f(x)=(x+1)e six>0 etf(0)=0. x On noteCla courbe représentative defdans le plan rapporté à un repère ortho ³ ´ −→−→ normé O,ı,, (unité graphique : 4 cm.) 1. Variationsdef ′ a.Calculer la dérivéefdefsur [0 ;+∞[. −u b.Déterminer la limite de (1+u)e lorsqueutend vers+∞. En déduire ′ quefest dérivable en 0 et déterminerf(0). c.Étudier le sens de variation def. d.Déterminer la limite def(x) lorsquextend vers+∞. 2. Étuded’une fonction auxiliaire Soitϕla fonction définie sur [0 ;+∞[ par :

−u ϕ(u)=1−(1+u)e .

a.Calculer la dérivée deϕ. b.Prouver que, pour toutu > 0 :

′ 0 6 ϕ(u) 6 u. c.En déduire que, pour toutu > 0 2 u 0 6 ϕ(u) 6 (1) 2 3. Étudedefau voisinage de+∞ a.À l’aide de (1), établir que, pour toutx>0 : 1 0 6 x−f(x) 6 . 2x b.En déduire queCadmet une asymptoteΔen+∞; préciser la position deCpar rapport àΔ. 4. Étudede la tangente àCen un point Soientxun élément de [0 ;+∞[ etT x la tangente àCau point d’abscissex. a.Déterminer une équation cartésienne deT x . ³ ´ −→ b.Montrer queT x coupe l’axe des abscissesO ;ıau point d’abscisse x . 2 1+x+x 5. ConstructiondeC 1 ConstruireCetΔ. On précisera les tangentes àCaux points d’abscisses 1, 3 et 3.

Métropole

B

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Baccalauréat C

A. P. M. E. P.

Soitgla fonction définie sur [0 ;+∞[ par : x g(x)=. 2 1+x+x On se propose d’étudier la suite (upar la relation de récurrence) définie n n > 0 u n+1 =g ( u n ) et la condition initialeu 0 =1.

1. Convergencede (u n ) a.Établir que, pour toutx > 0,g(x) 6 x; résoudre l’équationg(x)=x. b.Prouver que la suite (u n ) est décroissante. c.Montrer que (u n ) converge, puis que sa limiteaest nulle. 2. Comportementasymptotique de ( u n ) µ ¶ 1 1 a.Prouver que, pour tout entiern > 1,g 6 . n n+1 b.Étudier les variations degsur [0 ; 1]. 1 c.En déduire que, pour toutn > 1,u n−1 6 . n 1 1 d.Pour tout entierp > 0, exprimer−en fonction deu p . u p+1 u p Établir que :

1 11 1 6 − 6 1+. u p+1 u p p+1 En déduire que, pour toutn > 1 :

1 11 1 n 6 6 n+1∙ ∙ ∙ ++ + +. u n 2 3n Z p 1 1 e.Pour tout entierp > et d2, comparert. p p−1 t En déduire que, pour toutn > 2 :

1 11 + +∙ ∙ ∙ + 6 lnn. 2 3n f.Déterminer la limite denu n lorsquentend vers+∞.

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