Baccalauréat C Montréal–New–York juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C Montréal–New–York juin 1977 \ EXERCICE 1 On considère le nombre complexe u = 2?2ip3. 1. Mettre u sous forme trigonométrique et en déduire tous les nombres com- plexes z tels que z4 =u. 2. Déterminer par la méthode algébrique les nombres complexes X tels que X 2 =u, puis les nombres complexes z tels que z4 = u. 3. En déduire cos pi12 et sin pi 12 . EXERCICE 2 Le plan affine euclidien est rapporté au repère orthonormé direct ( O, ??ı , ??? ) . On donne les points A, B, C, D de coordonnées respectives : (1 ; 1) (?3 ; 3) (2 ; 2) (?4 ; 4) On appelle E et F les milieux respectifs de (A, C) et (B, D). 1. Démontrer qu'il existe une rotation affine unique R qui transforme A en B et C en D. Déterminer son angle et son centre I. 2. Démontrer qu'il existe une rotation affine unique R? qui transforme A en D et C en B. Déterminer son angle et son centre J. 3. Que peut-on dire du quadrilatère IEJF ? Etudier R? ?R et R ?R?. PROBLÈME Partie A Soit f la fonction numérique définie par ? ? ? ? ? ? ? ?x ?]?∞ ; 0[, f (x) = 1?ex ?x ?]0 ; ∞[, f (x)

• repère orthonormé direct


• limite de ?


• r? ?r


• unique r?


• e? x2


• repère orthonormé

Sujets

• Base orthonormale

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1977
• Nombre de lectures: 26

Extrait

[Baccalauréat C Montréal–New–York juin 1977\

E X E R C IC E 1 On considère le nombre complexeu=2−2i 3.

1.Mettreumsous forme trigonométrique et en déduire tous les nombres co 4 plexesztels quez=u. 2.Déterminer par la méthode algébrique les nombres complexesXtels que 2 4 X=u, puis les nombres complexesztels quez=u. π π 3..En déduire coset sin 12 12

E X E R C IC E 2 ³ ´ −→−→ Le plan affine euclidien est rapporté au repère orthonormé directO,ı,. On donne les points A, B, C, D de coordonnées respectives :

(1 ; 1)(−; 2)3) (2(3 ;−4 ; 4) On appelle E et F les milieux respectifs de (A, C) et (B, D).

1.Démontrer qu’il existe une rotation affine uniqueRqui transforme A en B et C en D. Déterminer son angle et son centre I. ′ 2.Démontrer qu’il existe une rotation affine uniqueRqui transforme A en D et C en B. Déterminer son angle et son centre J. 3.Que peuton dire du quadrilatère IEJF ? ′ ′ EtudierR◦RetR◦R.

P R O B L È M E

Partie A Soitfla fonction numérique définie par  x ∀x∈]− ∞; 0[,f(x)=1−e   x e−1 ∀x∈]0 ;∞[,f(x)= x  e+1  f(0)=0 1. a.Montrer quefest continue surRet quefest dérivable en tout point de ⋆ R. Étudier la dérivabilité en 0. ³ ´ −→−→ b.Tracer la courbe (C) représentative defO,dans un repère orthonorméı,. 2. a.Vérifier que : x x − 2 2 e−e > 0, x x ∀x f(x)=. − 2 2 e+e Déterminez une primitive de la restriction defà [0 ;+00[

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A. P. M. E. P.

b.On considère un réelλ(λ>0). Métant un point de coordonnées (x;y) déterminez l’aireA λ de l’en semble des pointsMvérifiant ½ 0 6 x 6 λ f(x) 6 y 6 1 c.A λ atelle une limite finie lorsqueλtend vers+∞? 3. a.Soity∈]0 ; 1[. Montrer queyadmet exactement deux antécédentsxetzparftels que x z<0. Calculerzen fonction dexlorsquex>0 Calculerzen fonction dexlorsquex<0 b.Étudiez le casy=0 c.Soit,ϕainsi définie ½ ⋆ ∀x∈R,ϕ(x)=z ϕ(0)=0 Exprimerϕ(x). Étudiez la continuité deϕ. Montrer queϕest dérivable sur [0 ;+∞[ et sur ]− ∞; 0].ϕestelle déri vable en 0 ? Etudiez la limite deϕ(x)+x−Log 2 lorsquextend vers+∞ou vers−∞. ³ ´ −→−→ Qu’en déduire pour la courbe (Γ) représentative deϕdans O,ı,? La tracer. Partie B Plus généralement, soit une fonction numériquefdéfinie surRpossédant les pro priétés suivantes : ⋆ α.fest continue surR, dérivable en tout point deR ′ β.∀x∈]− ∞; 0[,f(x)<0 ′ γ.∀x∈]0 ;+∞[f(x)>0 δ. limf(x)=ℓet limf(x)=ℓoùℓ∈R. x→+∞x→+∞ 1.On notef 1 la restriction defà [0 ;+∞[ etf 2 sa restriction à l’intervalle ]− ∞; 0]. −1−1 Justifier l’existence defet def. 1 2 ¤ £ Ceci permet de démontrer que toutyappartenant àf(0) ;ℓadmet exacte ment deux antécédentsxetzparftels quex z<0. 2.Soitϕdéfinie par ½ ⋆ ∀x∈R,ϕ(x)=z ϕ(0)=0 −1 Montrer que∀x<0ϕ(x)=f◦f(x) 2 −1 ∀x<0ϕ(x)=f◦f(x) 1 Étudier la continuité deϕsurR. ⋆ 3.Montrer queϕest dérivable en tout point deRet que ′ f(x) ⋆′ ∀x∈R,ϕ(x)=. ′ f(ϕ(x)) Étudiez les variations deϕsurR. Établir quelimϕ(x)= −∞limet queϕ(x)= +∞. x→+∞x→−∞

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4.Montrer queϕ◦ϕ=1 R (1 R : fonction identité deR→R). Qu’en déduire pour la courbe représentative deϕdans un repère orthonormé ? 5.Peuton déterminer simplement une famille de fonctionsftelle que l’appli cationϕassociée soit−1 R ?

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