Baccalauréat C Nice septembre
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1976
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Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C Nice septembre 1976 \ EXERCICE 1 Un joueur dispose de 3 dés qu'il lance simultanément. Leurs faces sont numérotées de 1 à 6 . Il ne les lance qu'une fois. Son gain est ainsi attribué : – si les trois chiffres sortis sont égaux, il gagne 5 F ; – si parmi les trois chiffres il y a deux « 1 » et deux seulement, il gagne 2 F ; – si les trois chiffres sont consécutifs, alors il gagne 1 F ; – dans tout autre cas, son gain est nul. On appelle X la variable aléatoire correspondant à son gain. 1. Établir la loi de probabilité, ou distribution, de X. 2. Etablir la fonction de répartition. En donner une représentation graphique. 3. Calculer E(X) (espérance mathématique de X). EXERCICE 2 Le plan affine P est rapporté à un repère ( O, ??ı , ??? ) . On considère l'application f de P dans P qui, à tout point M(x ; y), associe le point M ? (x? ; y ?) défini par : ? ? ? ? ? ? ? x? = 1 3 x? 1 3 y + 2 3 y ? = ? 2 3 x+ 2 3 y + 2 3 1.
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[ Baccalauréat C Nice septembre 1976 \ EXERCICE 1 Un joueur dispose de 3 dés qu'il lance simultanément. Leurs faces sont numérotées de 1 à 6 . Il ne les lance qu'une fois. Son gain est ainsi attribué : – si les trois chiffres sortis sont égaux, il gagne 5 F ; – si parmi les trois chiffres il y a deux « 1 » et deux seulement, il gagne 2 F ; – si les trois chiffres sont consécutifs, alors il gagne 1 F ; – dans tout autre cas, son gain est nul. On appelle X la variable aléatoire correspondant à son gain. 1. Établir la loi de probabilité, ou distribution, de X. 2. Etablir la fonction de répartition. En donner une représentation graphique. 3. Calculer E(X) (espérance mathématique de X). EXERCICE 2 Le plan affine P est rapporté à un repère ( O, ??ı , ??? ) . On considère l'application f de P dans P qui, à tout point M(x ; y), associe le point M ? (x? ; y ?) défini par : ? ? ? ? ? ? ? x? = 1 3 x? 1 3 y + 2 3 y ? = ? 2 3 x+ 2 3 y + 2 3 1.
- ·· ·
- inégalité
- axe des abscisses
- repère
- privé de zéro
- loi de probabilité
- représentation graphique
- point donné
[Baccalauréat C Nice septembre 1976\
EX E R C IC E1 Un joueur dispose de 3 dés qu’il lance simultanément. Leurs faces sont numérotées de 1 à 6 . Il ne les lance qu’une fois. Son gain est ainsi attribué : – siles trois chiffres sortis sont égaux, il gagne 5 F ; – siparmi les trois chiffres il y a deux « 1 » et deux seulement,il gagne 2 F ; – siles trois chiffres sont consécutifs, alors il gagne 1 F ; – danstout autre cas, son gain est nul. On appelle X la variable aléatoire correspondant à son gain.
1.Établir la loi de probabilité, ou distribution, de X. 2.Etablir la fonction de répartition. En donner une représentation graphique. 3.Calculer E(X) (espérance mathématique de X).
EX E R C IC E2 ³ ´ −→−→ Le plan affine P est rapporté à un repèreO,ı,. On considère l’applicationfde ¡ ¢ ′ ′′ P dans P qui, à tout pointM(x;y), associe le pointM x;ydéfini par : 1 1 2 ′ x=x−y+ 3 3 3 2 2 2 ′ y= −x+y+ 3 3 3
1.Montrer quefest une application affine non bijective. Déterminer l’ensemble Ddes points de P invariants parf. ′ ′′ 2.Étudier l’ensemble des antécédents parfd’un point donnéM(a;b) de P, ′ en distinguant deux cas, suivant queMappartient, ou n’appartient pas, àD. 3.Reconnaître l’applicationfet préciser ses éléments.
PR O B L È M E
Partie A ⋆ ⋆ Dans toute la suite, on noteRetNl’ensemble des réels positifs, et l’ensemble des + entiers naturels privés de zéro. ⋆ 1.Étudier la fonction numériquefdéfinie surRpar + µ ¶ 1 1 f(x)=Log 1+ −. x1+x En déduire que, pour tout réeltsupérieur à 1, on a l’inégalité Z µ¶ Z t t 1x (1)xLog 1+dx>dx. 1x11+x
Le baccalauréat de 1977
A. P. M. E. P.
⋆ 2.Soitgla fonction numérique définie surRpar + ¡ ¢ 1 xLog 1+ g(x)=e . x ′⋆ Calculerg(x) ; en déduire surRune primitive def. + Calculer l’aireGdu domaine limité par la courbe représentative defdans un plan rapporté à un repère orthonormé, l’axe des abscisses de ce repère, les droites d’équationx=α,x=βoùαetβsont deux réels donnés vérifiant 0<α<β, puis étudier la limite de cette aire lorsqueβtend vers+∞etαtend vers 0. 3.Vérifier que la fonction numériquehdéfinie parh(x)=Logg(x) est croissante ⋆ surR. + ⋆ Utiliser la fonction en escalierkdéfinie sur [1 ;n[ (n∈N) par µ ¶ 1 k(x)=pLog 1+lorsquex∈[p−1 ;p] p pprenant successivement toutes les valeurs entières de 2 àn, pour démontrer l’inégalité µ ¶Z µ¶ n n X 1 1 (2)pLog 1+>xLog 1+dx. p1x p=1 Partie B 1.Démontrer que :∀α>0, Logα6α−1. (On pourra étudier les variations de la fonctionx−7→Logx−x+1). 2.Soientx1,x2, , .. . ,xn−1,xn,nnombres réels strictement positifs. En appliquant l’inégalité précédente à chacun des réels xi αi=,i=1, 2, ...,n 1 (x1+x2+ ∙ ∙ ∙ +xn) n démontrer que : £ 1¤x+x2+ ∙ ∙ ∙ +xn 1 (3) Logx1+Logx2+...+Logxn6Log n n 3.Démontrer que l’inégalité (3) est équivalente à ³ ´n x1+x2+ ∙ ∙ ∙ +xn x1x2∙ ∙ ∙xn6 n Partie C On considère les suites (u) et (v) de terme général µ ¶ n 1 ⋆u1+u2+ ∙ ∙ ∙ +un n∈N un=1+,vn=. n n
1.Démontrer que les suites de terme généralunet Logunsont croissantes, conver gentes et que leurs limites respectives sont e et 1. ⋆ En déduire que∀n∈N,vn6e. 2.En utilisant les inégalités (1), (2) et (3), montrer que Z n 1x ⋆ ∀n∈N, Logvn>dx. n11+x
Nice
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septembre 1976
Le baccalauréat de 1977
A. P. M. E. P.
Z n x x 3.Calculerωn=dx(on remarquera que=1− 11+x1+x ωn d f r ac11+x), puislim . n→+∞ n 1 ⋆ 4.Démontrer que pour toutn∈N,ωn6Logvn61, et en déduire que (v) n est convergente. Quelle est sa limite ?
Nice
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