Baccalauréat C Paris

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C Paris 1 1989 \ EXERCICE 1 5 POINTS Dans le plan complexe P rapporté au repère orthonormal ( O, ??u , ??v ) , l'unité gra- phique étant 4 cm, on définit l'application f qui à tout point M d'affixe z associe le point M ? d'affixe z ? définie par z ? =?jz+ i, où j= ei 2pi3 . 1. Montrer que f admet exactement un point invariant?, dont on donnera l'af- fixe. Caractériser géométriquement f . 2. On définit dans P la suite (Mn)n?N par { M0 = O Mn+1 = f (Mn ) , pour tout n. a. Construire?, M0, M1, M2. b. Pour tout entier n, on note zn l'affixe de Mn et on pose Zn = zn ?ei pi 6 . Déterminer un nombre complexe a tel que, pour tout entier n, Zn+1 = aZn . Mettre a sous forme trigonométrique et déterminer un entier p stricte- ment positif tel que ap = 1. c. Calculer Zn puis zn en fonction de n. Calculer z1989 et placer M1989 sur le dessin. EXERCICE 2 5 POINTS On considère un cube ABCDEFGH d'arête a. On note I l'isobarycentre du triangle CFH. A B C D E F G H I b 1.

• ?e ?t


• isobarycentre du triangle cfh


• nature de s? ?


• s? ?


• cube abcdefgh d'arête

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 janvier 1989
• Nombre de lectures: 18
• Langue: Français

Extrait

1[ BaccalauréatCParis 1989\
EXERCICE 1 5 POINTS
³ ´!? !?
Dans le plan complexeP rapporté au repère orthonormal O, u , v , l’unité gra-
phiqueétant4cm,ondéfinitl’application f quiàtoutpoint M d’affixe z associele
0 0pointM d’affixez définiepar
2?0 i 3z ??jz?i, où j?e .
1. Montrerque f admetexactementunpointinvariantΩ,dontondonneral’af-
fixe.Caractérisergéométriquement f .
2. OndéfinitdansP lasuite(M ) parn n2N
½
M ? O0
M ? f (M ), pourtout n.n?1 n
a. ConstruireΩ, M , M , M .0 1 2
b. Pourtoutentiern,onnotez l’affixedeM etonposen n
?i
6Z ?z ?e .n n
Déterminerunnombrecomplexe a telque,pourtoutentiern,
Z ?aZ .n?1 n
Mettre a sous forme trigonométrique et déterminer un entier p stricte-
pmentpositiftelquea ?1.
c. Calculer Z puis z en fonction den. Calculer z et placer M surn n 1989 1989
ledessin.
EXERCICE 2 5 POINTS
OnconsidèreuncubeABCDEFGHd’arêtea.
OnnoteIl’isobarycentredutriangleCFH.
B C
A D
I
F G
E H
1. a. ProuverqueletriangleCFHestéquilatéral.
1. Paris,Créteil,Versailles
bLebaccalauréatde1989 A.P.M.E.P.
b. ProuverquelespointsA,GetIappartiennentauplanmédiateurde[CH]
etauplanmédiateurde[CF].
c. En déduire que la droite (AG) est orthogonale au plan (CFH) et qu’elle
passeparI.
02. OnnotePleplancontenantlesdroites(AB)et(HG)etP leplancontenantles
droites(AD)et(FG).Ondésignepars ets(lesréflexionsparrapportauxplans
0PetP .
0a. Déterminerl’intersectiondesplansPetP .
0 0b. DéterminerlesimagesdespointsC,FetHpars puiss ,puispars ?s.
0c. Indiquerlanaturedes ?s etdéterminersesélémentscaractéristiques.
PROBLÈME 10 POINTS
PartieA:
L?objetdecettepartieestd’étudierlafonction g définiesur[0;?1[par:
?t1?e
g(t)? sit?0, etg(0)?1.
t
1. a. Établirqueg estcontinueen0.
b. Déterminerlalimitedeg en?1.
02. a. Pourtoutt?0,calculerg (t).
tb. Prouverquepourtout t?0, 1?t6e .
0c. Endéduirelesignedeg etlesensdevariationdeg (onnedemandepas
deconstruirelacourbereprésentativedeg).
3. Onseproposed?étudierladérivabilitédeg en0.
Àceteffetonintroduitlafonctionh définiesur[0;?1[par:
2t ?t
h(t)?1?t? ?e .
2
0 00 0a. Calculerh (x)eth (x),ainsiquelesvaleursdeh(0)eth (0).
b. Prouverquepourtout t?0:
3t
06h(t)6 (1)
6
00pour cela, on établira d’abord que 06 h (t)6 t, et on en déduira un
0encadrementdeh puisdeh.
?t1?e ?t
c. Déduiredelarelation(1)unencadrementde .2t
10Prouverfinalementqueg estdérivableen0etqueg (0)?? .
2
PartieB:
Onseproposed’étudierlafonction f définiesur[0;?1[par:
¡ ¢1 ?x ?2xf(x)? e ?e six?0, et f(0)?1
x
1. a. Déterminerlalimitede f en?1.
Paris,Créteil,Versailles 2 juin1989Lebaccalauréatde1989 A.P.M.E.P.
b. Prouverquepourtout x?0,
¡ ¢10 ?2x xf (x)? e 2x?1?e (x?1) .
2x
xc. Àpartirdel’inégalité1?x6e ,établieauA.2.b.,montrerque,pourtout
0x?0, f (x)60.
2. Vérifierquepourtoutx?0,
f(x)?2g(2x)?g(x) (2)
oùg estlafonctionétudiéedanslapartieA.
0Endéduireque f estdérivableen0etcalculer f (0).
3. Construire la courbe représentative (C) de f, le plan étant rapporté à un re-³ ´!? !?
pèreorthonormal O, ı , | .Unitégraphique:4cm.
PartieC:
OnétudiemaintenantlafonctionF définiesur[0;?1[par:
Zt
F(t)? f(x)dx.
0
Onnechercherapasàcalculercetteintégrale.
1. a. ÉtudierlesensdevariationdeF.
?xb. Établirquepourtoutx?0, 06 f(x)6e .
Endéduirequepourtoutt?0, 06F(t)61.
2. SoitG lafonctiondéfiniesur[0;?1[par:
Zt
G(t)? g(x)dx.
0
a. Enutilisantlarelation(2),prouverquepourtoutt?0:
F(t)?G(2t)?G(t).
b. Endéduirequepourtoutt?0:
Z2t
F(t)? g(x)dx. (3)
0
c. Établirquepourtoutx?1:
1 ?x06 ?g(x)6e .
x
Endéduirequepourtoutt?1:
?t06ln2?F(t)6e .
d. ProuverfinalementqueF(t)admetunelimitelorsquet tendvers?1et
déterminercettelimite.
Paris,Créteil,Versailles 3 juin1989