Baccalauréat C Polynésie juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C Polynésie juin 1990 \ EXERCICE 1 4 POINTS Soit f la fonction définie sur [0, 1] par f (x)= sinpix. 1. a. Tracer la courbe représentative C de f (unité graphique : 8 cm). b. Calculer : I = ∫1 0 sinpix dx. c. Interpréter graphiquement cette intégrale. 2. Pour tout entier naturel n > 2, on pose : Sn = 1 n [ f (0)+ f ( 1 n ) + f ( 2 n ) +·· ·+ f ( n?1 n )] . a. Interpréter graphiquement Sn , en introduisant les rectangles Rk de base [ k n ; k+1 n ] et de hauteur f ( k n ) , où 06 k 6 n?1. Faire la figure lorsque n = 8. b. Prouver que : 1+ei pin +ei 2pin +·· ·+ei (n?1)pin = 2 1?ei pin . c. En déduire que : sin pi n + sin 2pi n +·· ·+ sin (n?1)pi n = cos pi2n sin pi2n . d. Prouver finalement que : lim n?+∞ Sn = 2 pi .

• triangles ogh


• ?? ln


• courbe représentative


• sin


• rectangles rk de base


• pin


• ?1 lnx


• cos pi2n

Sujets

• Graphe d'une fonction

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1990
• Nombre de lectures: 75
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat C Polynésie juin 1990\

E X E R C IC E 1 Soitfla fonction définie sur [0, 1] par

4 P O IN TS

f(x)=sinπx. 1. a.Tracer la courbe représentativeCdef(unité graphique : 8 cm). Z 1 b.Calculer :I=sinπxdx. 0 c.Interpréter graphiquement cette intégrale.

2.Pour tout entier natureln > 2, on pose : · µ¶ µ¶ µ¶¸ 1 12n−1 S n =f(0)+f+f+ ∙ ∙ ∙ +f. n nn n a.Interpréter graphiquementS n , en introduisant les rectanglesR k de base · ¸µ ¶ k k+1k ; etde hauteurf, où 0 6 k 6 n−1. Faire la figure lorsque n nn n=8. b.Prouver que :

2 π2π (n−1)π i ii n nn 1+e+e+ ∙ ∙ ∙ +e= π . i 1−e n c.En déduire que :

π cos π2π(n−1)π 2n si n+sin+ ∙ ∙ ∙ +sin=. π n nnsin 2n d.Prouver finalement que :

2 limS n =. n→+∞ π 3.Comparer les résultats des questions 1. et 2. et interpréter graphiquement.

E X E R C IC E 2 5 P O IN TS Dans le plan orienté, on considère un triangle équilatéral ABC, de centre O, tel qu’une ³ ´ −→−→ π mesure de l’angleAB , ACsoit .On appelleCle cercle circonscrit à ABC, I le mi 3 lieu de (A, B) et J le milieu de (O, I). Les droites (OA) et (OC) recoupentCrespective ment en D et E. 1.Placer ces points sur une figure (unité graphique : OA = 4 cm). 2.On note G l’isobarycentre des points A, B, C, D, E. −−→−→ a.Exprimer OGen fonction de OB . −−→ −→−−→ b.en fonction de OJExprimer OGet OD . c.En déduire que les droites (OB) et (DJ) se coupent en G. Placer G sur la figure. ′ 3.À tout point M du plan, on fait correspondre le point M=f(M) défini par : −−−→ −−→−−→−−→−−→−−→ 4MM’=MA+MB+MC+MD+ME .

Le baccalauréat de 1990

A. P. M. E. P.

a.Montrer quefest une homothétie, dont on précisera le centre et le rap port. b.Quelles sont les images parfdes points B et D ? 2π 4.Soientrla rotation de centre O et d’angle de mesure, ets=r◦f. 3 a.Démontrer quesest une similitude directe ; préciser son rapport et son angle. b.Construire le point H, image de G pars. Démontrer que le centreΩdes appartient aux cercles circonscrits respectivement aux triangles OGH et BOD. ConstruireΩ.

P R O B L È M E 11 P O IN TS On considère la fonctionfdéfinie sur [0 ; 1] par : t  1 t−1 f(0)=0,f(1)=1 etf(t)=tsit∈]0 ; 1[. ln ³ ´ −→−→ On appelleCla courbe représentative defO,dans un repère orthonorméı,. Le but du problème est d’étudierfet de calculer l’intégrale : Z 1 I=f(t) dt. 0 A. Étude def 1. a.Montrer quefest continue en 0 et en 1. ′ ′ b.Montrer quefest dérivable sur ]0 ; 1[. Calculerf(t) et montrer quef(t) a le même signe queϕ(t), oùϕest la fonction définie sur ]0 ; 1[ par : 1 ϕ(t)=lnt−1+. t ′ c.Étudier les variations puis le signe deϕ; en déduire le signe def. 2.Étudier la dérivabilité defen 0 ; que peuton en déduire pour la tangente àC au point O ? · ¸ 1 3. a.Prouver que, pour tout élémentu; ,de 0 2 1 2 0 6 −(1+u) 6 2u. 1−u En déduire que : µ ¶ 2 3 u2u 0 6 −ln(1−u)−u+ 6 . 2 3 1 b.Soitg; 1] parla fonction définie sur ]0g(x)=. Prouver que, pour f(x) · ¸ 1 tout élémenthde−,; 0 2 2 h2h 0 6 g(1+h)−g(1)+ 6 . 2 3 ′ En déduire quegest dérivable en 1 et préciserg(1). 1 ′ c.En déduire quefest dérivable en 1 et prouver quef(1)=. 2 4.Tracer la courbeC(unité graphique : 10 cm).

Polynésie

2

juin 1990

Le baccalauréat de 1990

A. P. M. E. P.

B. Calcul de l’intégraleI Pour tout élémentxde ]0 ; 1], on pose : Z Z f(t) I(x)=f(t) dtetJ(x)=dt. 1 1 x x t (On ne cherchera pas à calculer ces intégrales.) 1.SoitKla fonction définie sur ]0 ; 1] par : ¡ ¢ 2 K(x)=J x−J(x). a.Montrer queKest dérivable sur ]0 ; 1] et que : 1 ¢¤£ ¡ ′2 K(x)=f(x)−2f x. x b.Prouver que, pour tout élémentxde ]0 ; 1], ¡ ¢ 2 f(x)−2f x= −x f(x). c.En déduire que, pour tout élémentxde ]0 ; 1], Z x t−1 I(x)=dt. (1) x tlnt 2 2.Calculer la dérivée de la fonctiont→−7ln(−lnt; 1]. déduire que pour) sur ]0 tout élémentxde ]0 ; 1], Z x −1 dt=(2).ln 2 2 x tlnt 3.Prouver que, pour tout élémentxde ]0 ; 1] et tout élémenttde ]0,x[, 1−1 0 6 − 6 . lntlnx En déduire que, pour tout élémentxde ]0 ; 1], Z x 1−x 0 6 dt 6 . (3) ¯¯ x lntlnx 2 4.À partir de (1), (2) et (3), déterminer la limite deI(x) lorsquextend vers 0. 5.Établir que, pour tout élémentxde ]0 ; 1], Z x I−I(x)=f(t) dt. 0 En déduire que :

0 6 I−I(x) 6 x. 6.Prouver finalement queI=ln 2.

Polynésie

3

juin 1990