Baccalauréat C Polynésie juin 1992

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat C Polynésie juin 1992 \ EXERCICE 1 4 points Enseignement de spécialité Le plan est rapporté à un repère orthonormal ( O, ??u , ??v ) . Soit C la courbe plane définie par la représentation paramétrique : t 7?? ??????OM(t) = x(t)??u + y(t)??v avec t ?R+, x(t)= e?t cos t et y(t)= e?t sin t . On donne cos t ? sin t = p 2cos ( t + pi 4 ) . 1. Étudier les variations des fonctions t 7?? x(t) et t 7?? y(t) sur [0 ; pi]. Montrer que C admet une tangente en chacun de ses points. Tracer la partie de C pour t appartenant à [0 ; pi] (on prendra comme unité 10 cm sur chaque axe). Préciser en particulier les tangentes àC pour t = 0, t = pi2 et t =pi. 2. Montrer que M ( t + pi 2 ) est l'image de M(t) par une similitude plane directe de centre O que l'on précisera. (On pourra exprimer l'affixe z ? de M ( t + pi 2 ) en fonction de l'affixe z de M(t).

• e?t cos


• fonc- tion impaire


• considérations d'aires relatives


• tangente


• points enseignement de spécialité


• ex ?

Sujets

• Tangente

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1992
• Nombre de lectures: 39
• Langue: Français

Extrait

Durée : 4 heures

[Baccalauréat C Polynésie juin 1992\

E X E R C IC E 1 Enseignement de spécialité ³ ´ −→−→ Le plan est rapporté à un repère orthonormalO,u,v. SoitCla courbe plane définie par la représentation paramétrique : −→→−→−−−− t−7→OM(t)=x(t)u+y(t)vavect∈R + ,

4 points

−t−t x(t)=e costety(t)=e sint. On donne ³ ´ p π cost−sint=2 cost+. 4 1.Étudier les variations des fonctionst→7−x(t) ett→7−y(t) sur [0 ;π]. Montrer queCadmet une tangente en chacun de ses points. Tracer la partie deCpourtappartenant à [0 ;π] (on prendra comme unité 10 cm sur chaque axe). π Préciser en particulier les tangentes àCpourt=0,t=ett=π. 2 ³ ´ π 2.Montrer queM t+est l’image deM(t) par une similitude plane directe 2 ³ ´ π ′ de centre O que l’on précisera. (On pourra exprimer l’affixezdeM t+en 2 fonction de l’affixezdeM(t).) 3.a courbeOn admet que la longueur de l’arc exprimée en centimètres de lC entre les pointsM(0) etM(t) est : Z t £ ¤ 2 2 ′ ′ L(t)=10 [x ] +ydt. 0 −2 CalculerL(t). Donner une valeur approchée deL(πprès.) à 10 La longueurL(t) atelle une limite quandttend vers+∞?

E X E R C IC E points2 4 ³ ´ −→−→ Le plan rapporté à un repère orthonormalO,ı,. SoitEl’ensemble des points Mdu plan dont les coordonnées (x;y) vérifient l’équation : p 2 2 21x+31y−10 3x y−576=0. π1 1.Soitfla similitude de centre O, d’angle.et de rapport 3 2 ′ SoitMl’image deMparf. −1 Caractériserfet calculer les coordonnéesxetydeMen fonction des coor ′ ′′ donnéesxetydeM. ′ ′ 2.Donner une équation deEimage deEparfet montrer queEest une co nique dont on précisera la nature, les sommets, l’excentricité, les foyers et les directrices.

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A. P. M. E. P.

3.En déduire queEest une conique dont on précisera la nature, les sommets et l’excentricité. ′ ConstruireEetEsur un même dessin en prenant 1 cm pour unité sur chaque axe.

P R O B L È M E 12 points On désigne parfla fonction définie surRpar : 2 −x f(x)=e . On se propose d’étudier la fonctionFdéfinie surRpar : Z x 2 −t F(x)=e dt. 0 Partie A 1. a.Étudier la fonctionf b.Tracer la courbeCreprésentative defdans un repère orthonormal (unité 4 cm). 2. a.Justifier l’existence deF(x) pour toutxréel. b.Montrer par des considérations d’aires relatives àCqueFest une fonc tion impaire. c.Déterminer le sens de variation deF. d.Vérifier que pour tout réelton a :

2 t > 2t−1. En déduire que pour tout réelxdeR + on a : e F(x) 6 . 2 On admettra que toute fonction croissante et majorée sur [0 ;+∞[ admet une limite finie en+∞. On pose limF=ℓ. Quel encadrement peuton déjà donner deℓ? +∞ Partie B On se propose dans cette partie d’obtenir un encadrement deF(1). 1.kdésigne un réel strictement positif. Soit la fonctionϕ k définie sur [0 ; 1] par : ¡ ¢ −x2 ϕ k (x)=e−1−x+k x ′ ′′ Calculerϕetϕ. k k ′ 2. a.Montrer à l’aide des variations deϕ 1 etϕqueϕ 1 est négative sur [0 ; 1]. 1 2 2 2 ′ b.Étudier les variations deϕ;. 1 e ′ Montrer qu’il existe un réel uniqueαde [0 ; 1] tel queϕ 1 (α)=0. e Montrer alors à l’aide de ses variations queϕ 1 est positive sur [0 ; 1]. e c.En déduire que pour toutxde [0 ; 1] on a : 4 4 x x 2 2−x2 1−x+ 6 e 6 1−x+. e 2 et donner un encadrement deF(1).

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Partie C On se propose maintenant de donner une valeur approchée deℓ. 9 x 1.On pose :λ(x)=e−(2x+1). 10 Déterminer le sens de variation deλsur 10 [1 ;+∞[. En déduire le signe deλsur [1 ;+∞[. 2.Prouver que pour tout réelx > 1 on a : 9 2 2 −x−x−x (2x+1)e 6 e . 10 3. a.À l’aide de A 2. et C 2. déterminer un encadrement def(t) sur [1 ;+∞[ puis un encadrement deF(x−F(1) pour toutxde [1 ;+∞[. −2 b.En déduire une valeur approchée deℓà 5∙10 près. 4.Donner l’allure de la courbe représentative deFdans un repère orthonormal (unité 4 cm sur chaque axe). On placera la tangente au point d’abscisse 0, les asymptotes et les points d’abscisses 1 et−1.

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