Baccalauréat C Pondichéry juin 1991

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat C Pondichéry juin 1991 \ EXERCICE 1 4 points Soit O un point du plan orienté. À chaque point M du plan on associéé le point G défini de la façon suivante : – Si M est en O,G est en O ; – Si M est distinct de O, on considère le triangle OMM ? rectangle en M tel que : á(????OM , ????OM ? ) = pi 4 . Le point G est alors le centre de gravité du triangle OMM ?. 1. Montrer que si M est distinct de O, a. cos á (????OM , ???OG ) = 2p5 5 , b. sin á (????OM , ???OG ) = p5 5 c. OGOM = p5 3 . 2. En déduire la nature et les éléments caractéristiques de la transformation S du plan qui à chaque point M associeG. 3. Soit D une droite ne passant pas par O. On suppose que M décrit D. a. Quel est le ieu L du pointG quand M décrit D ? b. Indiquer une construction géométrique de L. EXERCICE 2 4 points + A B CD E F GH I K Soit le cube ABCDEFGH représenté par la figure ci-dessus. L'espace est orienté par le sepère orthonormal direct ( A ; ???AB , ???AD , ??AE ) .

• centre de gravité du triangle omm ?


• limite de ?


• sepère orthonormal


• cos á


• volume du tétraèdre abig

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1991
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Extrait

Durée : 4 heures

[Baccalauréat C Pondichéry juin 1991\

E X E R C IC E 1 4points Soit O un point du plan orienté. À chaque pointMdu plan on associéé le pointG défini de la façon suivante : – SiMest en O,Gest en O ; ′ – SiMest distinct de O, on considère le triangle OM Mrectangle enMtel que : ³ ´ −−−→ −−→ á π ′ OM, OM=. 4 ′ Le pointGest alors le centre de gravité du triangle OM M. 1.Montrer que siMest distinct de O, p ³ ´ −−→ á −−→ 2 5 a.cos OM, OG=, 5 p ³ ´ −−→ á −−→ 5 b.sin OM, OG= 5 OG5 c.=. OM3 2.En déduire la nature et les éléments caractéristiques de la transformationSdu plan qui à chaque pointMassocieG. 3.Soit D une droite ne passant pas par O. On suppose queMdécrit D. a.Quel est le ieuLdu pointGquandMdécrit D ? b.Indiquer une construction géométrique deL.

E X E R C IC E 2

E

H

K

D

I

F

G

C

A B Soit le cube ABCDEFGH représenté par la figure cidessus. ³ ´ −→−→−→ L’espace est orienté par le sepère orthonormal directA ; AB ,AD ,AE . On désigne par I le milieu de [eF] et par K le centre du carré ADHE.

4 points

Baccalauréat C

A. P. M. E. P.

−−→→−→ 1. a.Vérifier que BK=IG∧IA . b.En déduire l’aire du triangle IGA. 2.e du point B auCalculer le volume du tétraèdre ABIG et en déduire la distanc plan AIG

P R O B L È M E 4 points ³ ´ −→−→ Le plan est rapporté au repère orthonormalR= O,ı,(unité graphique 2 cm). Soitfla fonction définie surRpar :

x−1 f(x)=e−1. Le but du problème est de trouver une approximation de l’une des solutions de l’équationf(x)=x. Les parties B et C sont indépendantes. A. On se propose d’étudier la fonctionfet les solutions de l’équationf(x)=x 1.Établir le tableau de variation defet tracer sa courbe représentative C dans le repèreR. 2.On poseϕ(x)=f(x)−x. a.Déterminer la limite deϕ(x) lorsquextend vers+∞. b.Dresser le tableau de variation deϕet démontrer que l’équationϕ(x)=0 admet deux solutions qu’on noteraaetb(a<b). c.En déduire que l’équationf(x)=xadmet comme seules solutionsaetb 5 et établir que : 2<b<. 2 B. On se propose d’étudier une méthode d’approximation du nombreb. Pour ce faire on introduit les det (vdéfinies comme suit : ux suites (u n ) e n ) n > 0 n > 0 5 u 0 =2 ;v 0 =et pour tout entiern > 1 : 2 ³ ´ u n−1 +v n−1 u n−1 +v n−1 Siϕ > 0, alorsu n =u n−1 etv n =, 2 2 ³ ´ u n−1 +v n−1 u n−1 +v n−1 Siϕ > 0, alorsu n =etv n =v n−1 . 2 2 1.Calculeru 1 ,v 1 ,u 2 ,v 2 . · ¸ 5 2.Soit I =. Montrer en raisonnant par récurrence que pour tout entier2 ; 2 natureln,u n etv n sont éléments de I. 3.En utilisant le tableau de variation de la fonctionϕsur l’intervalle I et en rai sonnant par récurrence, montrer que (u n ) est majorée parbet que (v n ) est minorée parb. 4.Établir que la suite (u n ) est croissante et que la suite (v n ) est décroissante. Que peuton en conclure ? 5.Démontrer par récurrence que : µ ¶ n+1 1 v n −u n =. 2 tes convergentver ( u n ) n et n > 0 6.Montrer que les deux sui > 0 ( v n ) sb.

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Baccalauréat C

A. P. M. E. P.

−1 7.Déterminer un entier positifp, tel quev p soit une valeur approchée à 10 près par excès deb. Calculerv p . C. On se propose d’étudier une autre méthode d’approximation du nombreb. · ¸ 5 Soit la fonctiongdéfinie sur I =par :2 ; 2 g(x)=ln(x+1)+1. 1.Montrer que, sur I, l’équationf(x)=xéquivaut à l’équationg(x)=x. 2. a.Démontrer que, pour tout élémentxde I,g(x) appartient à I. 1 ′ b.Montrer que pour tout élémentxde I : 0 6 g(x) 6 . 3 c.En déduire que, pour tout élémentxde I :

1 |g(x)−b| 6 |x−b|. 3 3.Soit ( w n ) n la suite d’éléments de I définie par : > 0

w 0 =2 etpour tout entiern > 1,w n =g ( w n−1 ) . a.Établir que pour toutn > 0 : µ ¶ n 1 1 | w n −b | 6 . 2 3 En déduire la limite de (w n ). −2 b.Déterminer un entierqtel quew q soit une valeur approchée debà 10 près par défaut. Calculerw q . 4.Comparer le nombre de pas respectifs à effectuer pour obtenir une valeur ap −8 prochée deb, pour la méthode du B et pour la méthode duà la précision 10 C.

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