Baccalauréat S

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat S 2003\ L'intégrale de septembre 2002 à juin 2003 Pour un accès direct cliquez sur les liensbleus Antilles-Guyane septembre 2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Métropole septembre 2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Polynésie spécialité septembre 2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Nouvelle-Calédonie novembre 2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Amérique du Sud décembre 2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Nouvelle-Calédoniemars 2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Pondichéry avril 2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24 Liban juin 2003 . . . . . . . . . . . . . . . . .

• accès direct


• rn ?


• évènement


• nature du quadrilatère injm


• évènement contraire de rn


• cercles de diamètres respectifs

Sujets

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• Langue: Français

Extrait

[BaccalauréatS2003\
L’intégraledeseptembre2002à
juin2003
Pourunaccèsdirectcliquezsurlesliensbleus
Antilles-Guyaneseptembre2002 ........................3
Métropoleseptembre2002 ..............................7
Polynésiespécialitéseptembre2002 ...................11
Nouvelle-Calédonienovembre2002 ................... 14
AmériqueduSuddécembre2002 ......................17
Nouvelle-Calédoniemars2003 .........................20
Pondichéryavril2003 ...................................24
Libanjuin2003..........................................29
AmériqueduNordjuin2003 ........................... 32
Antilles-Guyanejuin2003 ..............................36
Asiejuin2003 ...........................................39
Centresétrangersjuin2003 .............................43
Métropolejuin2003.....................................47
LaRéunionjuin2003 ....................................52
Polynésiejuin2003 .....................................56BaccalauréatS année2003
2[BaccalauréatSAntilles-Guyane\
septembre2002
EXERCICE 1 enseignementobligatoire
11. Soitlasuite(u )définieparu = etparlarelationderécurrence:n 1 2
1 1
u = u + .n+1 n
6 3
2a. Soitlasuite(v )définiepourn>1parv =u − ;montrerque(v )estn n n n5
unesuitegéométriquedontonpréciseralaraison.
b. Endéduirel’expressiondev enfonctionden puiscelledeu .n n
2. On considère deux dés, notés A et B. Le dé A comporte trois faces rouges
et trois faces blanches. Le dé B comporte quatre faces rouges et deux faces
blanches.
On choisit un dé au hasard et on le lance : si on obtient rouge, on garde le
même dé,si on obtient blanc,on changededé. Puis onrelancele déet ainsi
desuite.
Ondésignepar A l’évènement «onutiliseledéAaun-ièmelancer»,n
par A l’évènement contrairede A ,n n
parR l’évènement «onobtientrougeaun-ièmelancer»,n
parR l’évènement contrairedeR ,n n
para etr lesprobabilitésrespectivesde A etR .n n n n
a. Déterminera .1
b. Déterminerr .Pourcela,onpourras’aiderd’unarbre.1
? ?
c. Enremarquantque,pourtoutn>1,R =(R ∩A )∪ R ∩A ,montrernn n n n
1 2quer =− a + .n n6 3
? ?
d. Montrerque,pourtoutn>1, A =(A ∩R )∪ A ∩R .n+1 n n n n
e. Endéduireque,pourtoutn>1,
1 1a = a + ,puisdéterminerl’expressiondea enfonctionden.n+1 n n36
f. Endéduirel’expressionder enfonctiondenpuislalimiteder quandn n
n tendvers+∞.
EXERCICE 2 enseignementobligatoire
? ?→− →−
Dansleplancomplexerapportéaurepèreorthonormaldirect O, u , v (unitégra-
phique:5cm),onconsidèrelespointsAetBd’affixesrespectives
1 1
z =1+i et z =− + i.A B
2 2
Ondésignepar(C)lecercledecentreOetderayon1.
1. Donnerlaformetrigonométriquedez etcelledez .A B
iα2. Danslasuitedel’exercice,M désigneunpointde(C)d’affixee , α∈[0; 2π].
Onconsidèrel’application f qui toutpoint M de(C),associe
f(M)=MA×MB.BaccalauréatS année2003
a. Montrer,pourtoutα∈R,l’égalitésuivante:
i2α iαe −1=2ie sinα.
? ?? ?
? ?1 3i2α iα? ?b. Montrerl’égalitésuivante: f(M)= e −1− + i e .? ?2 2
s ? ?21 3
c. Endéduirel’égalitésuivante: f(M)= + − +2sinα .
4 2
3. a. Enutilisant2c,montrerqu’ilexistedeuxpoints M de(C),dontondon-
neralescoordonnées,pourlesquels f(M)estminimal.Donnercetteva-
leurminimale.
b. En utilisant 2 c, montrer qu’il existe un seul point M de (C), dont on
donnera les coordonnées, pour lequel f(M) est maximal. Donner cette
valeurmaximale.
EXERCICE 2 enseignementdespécialité
Dansleplan,onconsidèredeuxsegments[AC]et[BD]telsque
? ?−?→ −→ π
AC=BD et AC, BD =− .
2
OndésigneparMlemilieude[AC]etparNceluide[BD].Onappelle(C ),(C ),(C )1 2 3
et(C )lescerclesdediamètresrespectifs[AB],[BC],[CD]et[DA].4
Onpourras’aiderdelafigureci-jointe.
1. a. Soit r larotationqui transforme AenBetCen D.Quelest l’angle der ?
MontrerquelecentreIder appartientauxcercles(C )et(C ).1 3
′ ′b. Soitr larotationquitransformeAenDetCenB.Quelestl’angleder ?
′MontrerquelecentreJder appartientauxcercles(C )et(C ).2 4
c. Quelle est la nature du quadrilatère INJM? On désigne par P et R les
points diamètralement opposés à I sur, respectivement (C ) et (C ) et1 3
parQetSlespointsdiamètralementopposésàJsur,respectivement(C )2
et(C ).4
p π
2. Soits lasimilitudedirectedecentreI,derapport 2etd’angle .
4
a. Quellessontlesimagespars despointsD,N,B?
b. EndéduirequeJestlemilieude[PR].
Antilles-Guyane 4 septembre2002BaccalauréatS année2003
P
(C )1
(C )4
A
S
B
N
J I (C )2D
M
(C )3 Q
R C
PROBLÈME
Soit f lafonctiondfiniesur[0;1]par:

f(0) = 0
f(1) = 0

f(x) = (lnx)×ln(1−x), pour x∈]0; 1[
oùlndésignelafonctionlogarithmenépérien. OnnoteC sacourbereprésentative
dansunrepèreorthonormal(unitégraphique:10cm).
Onadmetque lim f(x)=0et lim f(x)=0,ainsiquelerésultatsuivant:
x→0 x→1
αpour α>0, limx lnx=0.
x→0
PartieA-Étudedelafonctionf
ln(1−x)
1. a. Déterminerlalimitequandx tendvers0del’expression .
x
f(x)
b. Endéduirelalimitequandx tendvers0del’expression ;quepeut-
x
onendéduirepourlacourbeC ?
? ? ? ? ? ?
1 1 1 1
2. Montrerquepourtoutx∈ − ; , f −x = f +x .
2 2 2 2
Quepeut-onenconclurepourC ?
3. Soitϕlafonctiondéfiniesur]0;1[par:
ϕ(x)=(1−x)ln(1−x)−xlnx.
2x−1
′ ′′a. Déterminerϕ (x),puismontrerl’égalitéϕ (x)= ;endéduireles
x(1−x)
′variationsdeϕ sur]0;1[.
Antilles-Guyane 5 septembre2002BaccalauréatS année2003
′b. Montrerqueϕ s’annuleendeuxvaleursα etα sur]0;1[(onnecher-1 2
′cherapasàcalculercesvaleurs).Donnerlesignedeϕ sur]0;1[.
c. Déterminerlalimitequandx tendvers0del’expressionϕ(x)etlalimite? ?
1
quand x tendvers1deϕ(x).Calculerϕ .Endéduirelesignedeϕ(x)
2
sur]0;1[.
′4. a. Montrerque f (x)amêmesignequeϕ(x)sur]0;1[.
b. Donnerletableaudevariationsde f.
c. Montrerque,pourtoutx∈]0; 1[,lesinégalitéssuivantessontvraies:
2
0<(lnx)×ln(1−x)6(ln2) .
d. TracerC.
PartieB-Encadrementd’uneintégrale
? ?
1
Pourt∈ 0; ,onpose:
2
Z1 Z1 Z1
2 2 2
2I (t)= xlnxdx, I (t)= x lnxdx, I(t)= f(x)dx.1 2
t t t
1. a. Àl’aided’intégrationsparparties,montrerque:
2ln2 1 1 t2
I (t)=− − − t lnt+ ;1
8 16 2 4
3 3ln2 1 t lnt t
I (t)=− − − + .2
24 72 3 9
b. DéterminerleslimitesdeI (t)etdeI (t)quandt tendvers0.1 2
? ?
1
2. Soitg eth lesfonctionsdéfiniessur 0; par:
2
? ?2 2x x
g(x)=− x+ et h(x)=g(x)− .
2 2
? ?
1
a. Étudiersur 0; lesvariationsdelafonction
2
x7!ln(1−x)−g(x).
? ?
1
b. Endéduireque,pourtoutx∈ 0; :
2
ln(1−x)6g(x).
? ?
1
c. Parunprocédéanalogue,montrerquepourtout x∈ 0; :
2
ln(1−x)>h(x).
? ?
1
d. Endéduireunencadrementde f(x)sur 0; .
2
1
3. a. Montrerque−I (t)− I (t)6I(t)6−I (t)−I (t).1 2 1 2
2
b. EnsupposantqueI(t)admetunelimitenoteℓquandt tendvers0,don-
nerunencadrementdeℓ.
Antilles-Guyane 6 septembre2002[BaccalauréatSMétropoleseptembre2002\
EXERCICE 1 4points
Commun touslescandidats
Un carré de côté 20 cm est partagé selon
les10zonessuivantes:
– undisqueDderayon1cm,
S S3 2– 8 secteurs S , S , ..., S de même1 2 8
aire délimités par les frontières du
S S′ 4 1disque D et du disque D de même
centreetderayon9cm,
′– une zone R entre le disque D et le S S5 8
bordducarré.
On place un point aléatoirement dans le S S6 7
carré. La probabilité de placer le point
dans une zone quelconque du carré est R
proportionnelleàl’airedecettezone.
1. a. Déterminerlaprobabilitép(D)pourquelepointsoitplacédansledisque
D.
b. Déterminerlaprobabilité p(S )pourquelepointsoitplacédanslesec-1
teurS .1
2. Pour cette question 2., on utilisera les valeurs approchées suivantes : p(D) =
0,008etpourtoutk appartenantà{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}, p(S )=0,0785.k
Àcettesituationaléatoireestassociélejeusuivant:
– unpointplacédansledisqueDfaitgagner10euros;
– unpointplacédanslesecteurS faitgagnerk eurospourtoutk appar-k
tenantà{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8};
– unpointplacédanslazoneRfaitperdre4euros.
Onnote X lavariablealatoireégaleaugainalgébriqueobtenu.
a. Calculerlaprobabilitép(R)pourquelepointsoitplacédanslazoneR.
Calculerl’espérancedeX.
b. On joue deux fois desuite. On a doncplacé deux points de manière in-
dépendantedanslecarré.Calculer laprobabilitéd’obtenirungaintotal
positifounul.
c. Soitnunentiernaturelsupérieurouégalàdeux.Onjouen foisdesuite.
Onadoncplacén pointsdemanièreindépendantedanslecarré.
Calculerlaprobabilitép d’obteniraumoi