Baccalauréat S Antilles Guyane juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat S Antilles-Guyane juin 2000 \ Exercice 1 4 points Un groupe de vingt-deux personnes décide d'aller au cinéma deux samedis de suite pour voir deux films A et B. Le premier samedi, huit personnes vont voir le film A, et les autres vont voir le fimB. Le deuxième samedi, quatre personnes décident de revoir le fim A, deux vont revoir le film B, et les autres vont voir le film qu'elles n'ont pas vu la semaine précédente. Après la deuxième séance, on interroge au hasard une personne de ce groupe. On considère les évènements suivants : A1 « la personne interrogée a vu le film A le premier samedi » ; A2 « la personne interrogée a vu le film A le deuxième samedi » ; B1 « la personne interrogée a vu le film B le premier samedi » ; B2 « la personne interrogée a vu le film B le deuxième samedi ». 1. a. Calculer les probabilités suivantes : p(A1) et p(A2). b. Calculer les probabilités de chacun des évènements suivants : p(A2/A1), p(A2/B1) et p(A1? A2) c. Reproduire et compléter l'arbre pondéré suivant, en remplaçant chaque point d'interrogation par la probabilité correspondante. Aucune justifi- cation n'est demandée pour cette question. A1? A2 ?? B2 ?? B1 ? A2 ?? B2 ?? d.

• barycentre du système de points


• p2 sur la figure donnée en annexe


• position relative


• courbe représentative dans le plan rapporté


• aire tn du triangle opn


• axe des abscisses

Sujets

• Position relative

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 2000
• Nombre de lectures: 52
• Langue: Français

Extrait

[ BaccalauréatSAntilles-Guyanejuin2000\
Exercice1 4points
Ungroupedevingt-deuxpersonnesdécided’alleraucinémadeuxsamedisdesuite
pourvoirdeuxfilmsAetB.
Lepremiersamedi,huitpersonnesvontvoirlefilmA,etlesautresvontvoirlefimB.
Ledeuxièmesamedi,quatrepersonnesdécidentderevoirlefimA,deuxvontrevoir
lefilmB,etlesautresvontvoirlefilmqu’ellesn’ontpasvulasemaineprécédente.
Après la deuxième séance, on interroge au hasard une personne de ce groupe. On
considèrelesévènements suivants:
A «lapersonneinterrogéeavulefilmAlepremiersamedi»;1
A «lapersonneinterrogéeavulefilmAledeuxièmesamedi»;2
B «lapersonneinterrogéeavulefilmBlepremiersamedi»;1
B «lapersonneinterrogéeavulefilmBledeuxièmesamedi».2
1. a. Calculerlesprobabilitéssuivantes:p(A )etp(A ).1 2
b. Calculerlesprobabilitésdechacundesévènements suivants:
p(A /A ), p(A /B )et p(A \A )2 1 2 1 1 2
c. Reproduireetcompléterl’arbrepondérésuivant,enremplaçantchaque
point d’interrogation par la probabilité correspondante. Aucune justifi-
cationn’estdemandéepourcettequestion.
? A ?2
A1?
B ?2?
?
? A ?2
B1
B ?2?
8
d. Retrouveràpartirdel’arbrepondéréquep(A )? .2
11
2. LeprixdubilletpourlefilmAestde30Fetde20FpourlefilmB.
On appelle X lavariablealéatoire égaleau coût total, pour lapersonne inter-
rogée,desdeuxséancesdecinéma.
a. DéterminerlaloideprobabilitédelavariablealéatoireX.
b. Déterminerl’espérancemathématique delavariablealéatoireX.
Exercice2 5points
Enseignementobligatoire
3 21. Pourtoutnombrecomplexez,onposeP(z)?z ?3z ?3z?7.
a. CalculerP(?1).
b. Déterminerlesréelsaetbtelsquepourtoutnombrecomplexez,onait:
2
P(z)?(z?1)(z ?az?b).
c. RésoudredansCl’équationP(z)?0.
2. Leplancomplexeestrapportéàunrepèreorthonormaldirect(O ; u~,~v).(Unité
graphique:2 cm.)OndésigneparA, B, C etG lespointsdupland’affixesres-
pectives p p
z ??1, z ?2?i 3, z ?2?i 3 et z ?3.A B C GBaccalauréatS A.P.M.E.P.
a. RéaliserunefigureetplacerlespointsA,B,CetG.
b. CalculerlesdistancesAB, BCetAC.EndéduirelanaturedutriangleABC.
z ?zA C
c. Calculer un argument du nombre complexe . En déduire la na-
z ?zG C
turedutriangleGAC.
3. Soit(D)l’ensembledespointsM duplantelsque:
? ???! ??! ??! ??!
?MA ?2MB ?2MC ?CG ??12 (1)
a. MontrerqueG estlebarycentredusystèmedepointspondérés
{(A,?1); (B, 2); (C, 2)}.
??!?!
b. Montrerquelarelation(1)estéquivalenteàlarelationGM .CG ??4 (2).
c. VérifierquelepointAappartientàl’ensemble (D).
??!?!
d. Montrerquelarelation(2)estéquivalenteàlarelationAM .GC ?0.
e. Endéduirel’ensemble (D)etletracer.
Exercice2 5points
Enseignementdespécialité
Lespoints A ?O; A ; ... ; A sont lessommets d’unpolygonerégulierdecentre0 1 20
A,à21côtés,desensdirect.
Les points B ?O ; B ; B sont les sommets d’un polygone régulier decentre B, à0 1 14
15côtés,desensdirect.
2?
Soit r la rotation de centre A et d’angle et r la rotation de centre B et d’angleA B
21
2?
.
15
Ondéfinitlasuite(M )depointspar:n
– M estl’undespoints A , A , A , ..., A ;0 0 1 2 20
– pourtoutentiernatureln, M ?r (M ).n?1 A n
Ondéfinitlasuite(P )depointspar:n
– P estl’undespointsB , B , B , ..., B0 0 1 2 14
– pourtoutentiernatureln, P ?r (P ).n?1 B n
Le but de l’exercice est de déterminer, pour deux cas particuliers, l’ensemble S des
entiersnaturelsn vérifiant:
M ?P ?O.n n
1. Danscettequestion,M ?P ?O.0 0
a. IndiquerlapositiondupointM etcelledupointP .2000 2000
b. Déterminerlepluspetitentiernatureln nonnultelqueM ?P ?O.n n
Endéduirel’ensembleS.
2. Danscettequestion,M ?A etP ?B .0 19 0 10
Onconsidèrel’équation(E):7x?5y?1avecx2Zet y2Z.
a. Déterminerunesolutionparticulière(a ; b)de(E).
b. Déterminerl’ensemble dessolutionsde(E).
c. Endéduirel’ensembleS desentiersnaturelsn vérifiantM ?P ?O.n n
Problème 11points
Soit f lafonctiondéfiniesurl’intervalle ]0;?1[par:
2f(x)?xln(x )?2x.
Antilles-Guyane 2 juin2000BaccalauréatS A.P.M.E.P.
On désigne par (C) sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère or-? ?!? !?
thonormal O, ı , | ;unitégraphique:1cm.
PartieA-Étudede f
x
1. Montrerque,pourx?0, f(x)?2xlnx?2x puisque f(x)?2xln .
e
2. a. Étudierlalimitede f en?1.
0b. Montrerque f estdérivableentoutx?0;calculer f (x)pourx?0.
c. Étudierlesensdevariationde f sur]0;?1[.
d. Donnerletableaudevariationde f sur]0;?1[.
3. Déterminer par le calcul l’abscisse du point d’intersection de la courbe (C)
avecl’axedesabscisses.
4. Montrerquel’équation f(x)?2admetsurl’intervalle[1;5]uneuniquesolu-
? 2tionetendonnerlavaleurdécimalearrondieà10 .
PartieB-Calculd’aires
1. SoitF lafonctiondéfiniesurl’intervalle [0;?1[par
8
F(0) ? 0<
23x2: F(x) ? x lnx?2? si x?0
2
a. Onadmetque limxlnx?0;montrerqueF estdérivableen0etpréciser
x!0
0F (0).
0b. Montrerque,pourtoutx appartenantà]0;?1[, F (x)? f(x).
2. Onconsidèrepourchaqueentiern positifounul,ladroiteD d’équation y?n
nx.
Ontrouveraci-dessousuntracédelacourbe(C)etdesdroitesD , D , D .0 1 2
Antilles-Guyane 3 juin2000BaccalauréatS A.P.M.E.P.
20
D2
D1
15
10
(C)
5
D0
?5 5 10 15
?5
a. DéterminerlescoordonnéesdupointI ,d’abscissestrictementpositive,n
intersectionde(C)etdeD .n
On appelle P le point de l’axe des abscisses de même abscisse que I .n n
PlacerlespointsI , I , I , P ,P ,P surlafiguredonnéeenannexe.0 1 2 0 1 2
b. Déterminerlapositionrelativede(C)etdeD pourlesabscissesappar-n
tenantà]0;?1[.
3. Pourtoutn>1,onconsidèreledomaineA situédanslequartdeplandéfinin
parx>0ety>0,délimitépar(C), D etD .n?1 n
Onnotea sonaire,expriméeenunitésd’aire.n
a. Faireapparaîtrelesdomaines A et A surlafigure.1 2
b. Calculerl’airet dutriangleOP I ,enunitésd’aire.n n n
c. Calculer l’aire u , en unités d’aire, du domaine situé dans le quart den
plandéfiniparx>0et y>0,délimitépar(C),l’axedesabscisses, etles
parallèlesàl’axedesordonnéespassantparP etP .0 n
d. Vérifierquel’aire v en unités d’aire,dudomainesitué danslequartden
plan défini par x> 0 et y> 0 , délimité par (C) , l’axe des abscisses et
2 nD ,estv ?t ?u ?e (e ?1).n n n n
e. Calculeralorsa .n
4. Montrerquelasuite(a )estunesuitegéométrique.n
Enpréciserlaraisonetlepremierterme.
Antilles-Guyane 4 juin2000