Baccalauréat S Antilles Guyane septembre

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat S Antilles-Guyane \ septembre 2009 EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats VRAI OU FAUX Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la ré- ponse donnée. PARTIE A Soit (un ) la suite définie pour tout n ?N? par un = (?1)n . 1. La suite (un ) est bornée. 2. La suite (un ) converge. 3. La suite de terme général un n converge. 4. Toute suite (vn) à termes strictement positifs et décroissante converge vers 0. PARTIE B 1. Si A et B sont deux évènements indépendants avec P (B) 6= 0 et P (B) 6= 1, alors P (A?B)=PB (A). 2. Si X est une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur [0 ; 1], alors P (X ? [0,1 ; 0,6])= 0,6. 3. Si X est une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres 100 et 13 , alors P (X > 1)= 1? (2 3 )100 . EXERCICE 2 5 points Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité L'espace est muni d'un repère orthonormal ( O, ??ı , ??? , ??k ) .

• vecteur ??n


• repère orthonormal


• equation cartésienne


• coordonnées des vecteurs ???ab


• e2 sur la feuille annexe


• surface s2 d'équation z


• droite parallèle


• points commun

Sujets

• Base orthonormale
• Équation cartésienne

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 septembre 2009
• Nombre de lectures: 19
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat S AntillesGuyane\ septembre 2009

E X E R C IC E points1 4 Commun à tous les candidats VRAI OU FAUX Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la ré ponse donnée. PARTIE A ∗n Soit (u n ) la suite définie pour toutn∈Nparu n =(−1) . 1.La suite (u n ) est bornée. 2.La suite (u n ) converge. u n 3.converge.La suite de terme général n 4.Toute suite (v n ) à termes strictement positifs et décroissante converge vers 0. PARTIE B 1.SiAetBsont deux évènements indépendants avecP(B)6=0 etP(B)6=1, alors P(A∩B)=P B (A). 2.SiXest une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur [0 ; 1], alors P ( X∈; 0,6])[0, 1=0, 6. 1 3.SiXest une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres 100 et, alors 3 µ ¶ 100 2 P(X > 1)=1−. 3

E X E R C IC E points2 5 Candidats n’ayant pas choisi l’enseignement de spécialité ³ ´ −→−→ −→ L’espace est muni d’un repère orthonormalO,ı,,k. On considère les points A(1 ;−4), B(7 ;1 ;−1 ;−2) et C(1 ; 5 ;−2). −→−→−→ 1. a.et BC .Calculer les coordonnées des vecteurs AB , AC b.Montrer que le triangle ABC est équilatéral. −→ c.Montrer que le vecteurn1 ; 1) est un vecteur normal au plan (ABC).(1 ; d.En déduire quex+y+z−4=0 est une équation cartésienne du plan (ABC). 2.SoitDla droite de représentation paramétrique  x= −2t  y= −2t−2 où t∈R.  z= −2t−3 a.Montrer que la droiteDest perpendiculaire au plan (ABC). b.Montrer que les coordonnées du point G, intersection de la droiteDet du plan (ABC) sont (3 ;1 ; 0). c.Montrer que G est l’isobarycentre des points A, B et C. 3.SoitSla sphère de centre G passant par A.

Baccalauréat S

A. P. M. E. P.

a.Donner une équation cartésienne de la sphèreS. b.Déterminer les coordonnées des points d’intersection E et F, de la droiteDet de la sphèreS.

E X E R C IC E 2 Candidats ayant choisi l’enseignement de spécialité

5 points

L’annexe est à rendre avec la copie ³ ´ −→−→ −→ L’espace est muni d’un repère orthonorméO,ı,,k. 2 2 On considère la surfaceS 1 d’équationz=x+y, et la surfaceS 2 d’équationz=x y+2x. PARTIE A On notePle plan d’équationx=2,E 1 l’intersection de la surfaceS 1 et du planPetE 2 l’intersection de la surfaceS 2 et du planP. ³ ´ −→ −→ Enannexe, le planPA ;est représenté muni du repère,koù A est le point de coor données (2 ; 0 ; 0). 1. a.Déterminer la nature de l’ensembleE 1 . b.Déterminer la nature de l’ensembleE 2 . 2. a.Représenter les ensemblesE 1 etE 2 sur la feuilleannexe. ³ ´ −→−→ −→ b.Dans le repèreO,ı,,kdonner les coordonnées des points d’intersection B et C des ensemblesE 1 etE 2 . PARTIE B On pourra utiliser sans démonstration la propriété suivante : «soient a,b et c des entiers avec a premier. Si a divise bc alors a divise b ou a divise c.» L’objectif de cette partie est de déterminer les points d’intersectionM(x;y;z) des sur facesS 1 etS 2 oùyetzsont des entiers relatifs etxun nombre premier. On considère un tel pointM(x;y;z). 1. a.Montrer quey(y−x)=x(2−x). b.En déduire que le nombre premierxdivisey. 2.On posey=k xaveck∈Z. a.Montrer quexdivise 2, puis quex=2. b.En déduire les valeurs possibles dek. 3.Déterminer les coordonnées possibles deMet comparer les résultats avec ceux de la PARTIE A, question 2. b.

E X E R C IC E points3 5 Commun à tous les candidats ³ ´ −→−→ Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal directO,u,vd’unité gra phique 1 cm. Faire une figure que l’on complètera au fur et à mesure des questions. 1.Placer les points A, B et C d’affixes respectives

AntillesGuyane

z A = −11+4i,z B = −3−4i etz C =5+4i.

2

septembre 2009

Baccalauréat S

A. P. M. E. P.

z A −z B 2.et en déduire la nature duCalculer le module et un argument du quotient z C −z B triangle ABC. π 3.Soit E l’image du point C par la rotationR.de centre B et d’angle 4 ¡ p ¢ Montrer que l’affixe de E vérifiez E = −3+8 2−4 i. Placer le point E. 2 4.Soit D l’image du point E par l’homothétieHde centre B et de rapport. 2 Montrer que D est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC. Placer le point D . 5. Danscette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation. SoitDla droite parallèle à la droite (EC) passant par le point D. On note F le point d’intersection de la droiteDet de la droite (BC), I le milieu du segment [EC] et J le milieu du segment [DF]. Montrer que B, I et J sont alignés.

E X E R C IC E 4 Commun à tous les candidats Soitfla fonction définie pour tout nombre réelxde l’intervalle ]0; 1] par :

6 points

f(x)=1+xlnx. ′ On notefla fonction dérivée de la fonctionfsur l’intervalle ]0 ; 1]. ³ ´ −→−→ Cest la courbe représentative de la fonctionfdans un repère orthonormalO,ı,. Test la droite d’équationy=x. La courbeCet la droiteTsont représentées sur le schéma cidessous.

1

O

C

T

1

1. a.Justifier que limf(x)=1. x→0 b.En utilisant le signe dexlnxsur ]0montrer que, pour tout nombre réel; 1], x∈]0 ; 1] , on af(x) 6 1.

AntillesGuyane

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Baccalauréat S

A. P. M. E. P.

′ 2. a.Calculerf(x) pour tout nombre réelx∈]0 ; 1]. b.Vérifier que la droiteTest tangente à la courbeCau point d’abscisse 1. 3.On notegla fonction définie pour tout nombre réelx∈]0 ; 1] par

g(x)=1+xlnx−x.

a.Étudier les variations degsur l’intervalle ]0 ; 1] et dresser le tableau de variation deg. On ne cherchera pas la limite degen 0. b.En déduire les positions relatives de la courbeCet de la droiteT. 4.Soitαun nombre réel tel que 0<α<1. Z 1 £ ¤ On poseI(α)=1−f(x) dx. α 2 2 α1α a.À l’aide d’une intégration par parties, montrer queI(α)=lnα+ −. 2 44 b.Déterminer limI(α). α→0 c.Interpréter graphiquement le résultat précédent. d.aire, l’aire du doÀ l’aide des résultats précédents, déterminer, en unités d’ maine compris entre la courbeC, la droiteTet l’axe des ordonnées.

AntillesGuyane

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Baccalauréat S

−5

AntillesGuyane

ANNEXE Exercice 2 Candidats ayant choisi l’enseignement de spécialité À rendre avec la copie z

10

5

−→ k −→ A 

−5

5

5

A. P. M. E. P.

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y