Baccalauréat S Centres étrangers 15 juin 2009

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures Baccalauréat S Centres étrangers 15 juin 2009 EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats 1. Restitution organisée de connaissances : Prérequis : On rappelle que deux évènements A et B sont indépendants pour la probabilité p si et seulement si : p(A?B)= p(A)?p(B). Soient A et B deux évènements associés à une expérience aléatoire a. Démontrer que p(B)= p(B ? A)+p ( B ? A ) . b. Démontrer que, si les évènements A et B sont indépendants pour la pro- babilité p, alors les évènements A et B le sont également. 2. Application : Chaquematin de classe, Stéphane peut être victime de deux évè- nements indépendants : • R : « il n'entend pas son réveil sonner » ; • S : « Son scooter, mal entretenu, tombe en panne ». II a observé que chaque jour de classe, la probabilité de R est égale 0,1 et que celle de S est égale à 0,05. Lorsque qu'au moins l'un des deux évènements se produit, Stéphane est en retard au lycée sinon il est à l'heure. a. Calculer la probabilité qu'un jour de classe donné, Stéphane entende son réveil sonner et que son scooter tombe en panne.

• entiers naturels vérifiant l'équation


• courbe c0


• équation cartésienne du plan abc


• triangle oac


• plan d'équation


• aire du triangle abc


• coordonnées


• calculs d'aire et de volume


• points commun


• plan complexe

Sujets

• Coordonnées
• Plan d'Argand
• lycée
• lycées

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 2009
• Nombre de lectures: 26
• Langue: Français

Extrait

Durée:4heures
BaccalauréatSCentresétrangers15juin2009
EXERCICE 1 5points
Communàtouslescandidats
1. Restitutionorganiséedeconnaissances:
Prérequis:Onrappellequedeuxévènements A etB sontindépendantspour
laprobabilitép sietseulementsi:p(A∩B)=p(A)×p(B).
Soient A etB deuxévènements associésàuneexpériencealéatoire
³ ´
a. Démontrerquep(B)=p(B∩A)+p B∩A .
b. Démontrerque,silesévènements AetB sontindépendantspourlapro-
babilitép,alorslesévènements A etB lesontégalement.
2. Application:Chaquematindeclasse,Stéphanepeutêtrevictimededeuxévè-
nementsindépendants:
• R :«iln’entendpassonréveilsonner»;
• S :«Sonscooter,malentretenu,tombeenpanne».
IIaobservéquechaquejourdeclasse,laprobabilitédeR estégale0,1etque
celle deS estégaleà0,05. Lorsquequ’aumoins l’undesdeuxévènements se
produit,Stéphaneestenretardaulycéesinonilestàl’heure.
a. Calculerlaprobabilitéqu’unjourdeclassedonné,Stéphaneentendeson
réveilsonneretquesonscootertombeenpanne.
b. Calculer la probabilité que Stéphane soit à l’heure au lycée un jour de
classedonné.
c. Aucoursd’une semaine, Stéphane serend cinqfois au lycée.Onadmet
que le fait qu’il entende son réveil sonner un jour de classe donné n’in-
fluepassurlefaitqu’ill’entendeounonlesjourssuivants.
QuelleestlaprobabilitéqueStéphaneentendeleréveilaumoinsquatre
fois au cours d’une semaine? Arrondir le résultat à la quatrième déci-
male.
EXERCICE 2 5points
Réservéauxcandidatsn’ayantpassuivil’enseignementdespécialité
Onseproposedanscetexercice,d’étudierdespropriétésd’unsolidedel’espace.³ ´→−→− →−
L’espaceestrapportéàunrepèreorthonormal O, ı ,  , k .
On considère les points A(3; 4; 0); B(0; 5; 0) et C(0; 0; 5). On note I le milieu du
segment[AB].
³ ´→− →− →−
1. Faireunefigureoùl’onplaceralespointsA,B,C,Idanslerepère O, ı ,  , k .
2. DémontrerquelestrianglesOACetOBCsontrectanglesetisocèles.
QuelleestlanaturedutriangleABC?
µ ¶
15 45 45
3. SoitHlepointdecoordonnées ; ; .
19 19 19
a. DémontrerquelespointsH,C,Isontalignés.A.P.M.E.P. BaccalauréatS
b. DémontrerqueHestleprojetéorthogonaldeOsurleplan(ABC).
c. EndéduireuneéquationcartésienneduplanABC.
4. Calculsd’aireetdevolume.
a. Calculerl’airedutriangleOAB.EndéduirelevolumedutétraèdreOABC.
b. DéterminerladistancedupointOauplan(ABC).
c. Calculerl’airedutriangleABC.
EXERCICE 2 5points
Réservéauxcandidatsayantsuivil’enseignementdespécialité
1. Onnote(E)l’équation3x+2y=29oùxety sontdeuxnombresentiersrelatifs.
a. Détermineruncoupled’entierssolutiondel’équation(E).
b. Déterminertouslescouplesd’entiersrelatifssolutionsdel’équation(E).
c. Préciserlessolutionsdel’équation(E)pourlesquellesonaàlafoisx>0
et y>0;
2. Intersectionsd’unplanaveclesplansdecoordonnées
³ ´→−→− →−
L’espace est muni du repèreorthonormal O, ı ,  , k et on désigne parP
lepland’équation3x+2y=29.
→−
a. DémontrerqueP estparallèleàl’axe(Oz)devecteurdirecteur k .
b. Déterminer les coordonnées des points d’intersection du planP avec
→− →−
lesaxes(Ox)et(Oy)devecteursdirecteursrespectifs ı et  .
c. Faire une figure et tracer les droites d’intersection du planP avec les
troisplansdecoordonnées.
d. Surlafigureprécédente,placersurladroited’intersectiondesplansP et
(xOy),lespointsdontlescoordonnéessontàlafoisentièresetpositives.
3. Étuded’unesurface ³ ´→− →− →−
S estlasurfaced’équation4z=xy danslerepère O, ı ,  , k .
Les figures suivantes représentent les intersections deS avec certains plans
del’espace.
o o o ofiguren 1 figuren 2 figuren 3 figuren 4
a. S désignelasectiondelasurfaceS parleplan(xOy).1
UnedesfiguresdonnéesreprésenteS laquelle?1
b. S désignelasectiondeS parleplanR d’équation z=1.2
UnedesfiguresdonnéesreprésenteS ,laquelle?2
c. S désignelasectiondeS parlepland’équation y=8.3
UnedesfiguresdonnéesreprésenteS ,laquelle?3
Centresétrangers 2 15juin2009A.P.M.E.P. BaccalauréatS
d. S désigne la section deS par le planP d’équation 3x+2y =29 de la4
question2.
Déterminer les coordonnéesdespoints communs à S etP dontl’abs-4
cissex etl’ordonnée y sontdesentiersnaturelsvérifiantl’équation
3x+2y=29.
EXERCICE 3 4points
Communàtouslescandidats
Pourchacunedespropositionssuivantes,indiquersielleestvraieoufausseetjustifier
laréponsechoisie.Danslecasd’unepropositionfausse,onpourradonneruncontre-
exemple.
¡ ¢
2 21. Pourtoutcomplexe z, Re z =(Re(z)) .
³ ´→− →−
2. Leplancomplexeestrapportéaurepèreorthonormal O, u , v .
Pourtoutnombrecomplexe z nonnul,lespoints M d’affixe z, N d’affixe z et
2z
P d’affixe appartiennentàunmêmecercledecentreO.
z
3. Pourtoutnombrecomplexe z,si|1+iz|=|1−iz|,alorslapartieimaginairede
z estnulle. ³ ´→− →−
4. Leplancomplexeestrapportéaurepèreorthonormal O, u , v .
′Quelsquesoientlesnombrescomplexeszetz nonnuls,d’imagesrespectives
′ ′ ′ ′M etM dansleplaneomplexe,sizetz vérifientl’égalité|z+z |=|z−z |,alors
′lesdroites(OM)et(OM )sontperpendiculaires.
EXERCICE 4 6points
Communàtouslescandidats
Soitn unentiernaturel.
Onnote f ,lafonctiondéfiniesurl’ensembleRdesnombresréelspar:n
−nxe
f (x)= .n −x1+e
³ ´→− →−
On noteC la courbe représentative de f dans un repère orthogonal O, ı ,  .n n
LescourbesC ,C ,C etC sontreprésentéesci-dessous:0 1 2 3
y 1
C3
C2
C1
C0
x
1
Centresétrangers 3 15juin2009A.P.M.E.P. BaccalauréatS
PartieA:Quelquespropriétésdesfonctions f etdescourbesCn n
1. Démontrer que pour tout entier naturel n les courbesC ont un point A enn
commun.Onprécisersescoordonnées.
2. Étudedelafonction f0
a. Étudierlesensdevariationde f .0
b. Préciser les limites de la fonction f en−∞ et+∞. Interpréter graphi-0
quementceslimites.
c. Dresserletableaudevariationdefonction f surR.0
3. Étudedelafonction f1
a. Démontrerque f (x)= f (−x)pourtoutnombreréelx.0 1
b. Endéduireleslimitesdelafonction f en−∞et+∞,ainsiquesonsens1
devariation.
c. Donner une interprétation géométrique de 3. a. pour les courbesC et0
C .1
4. Étudedelafonction f pourn>2n
a. Vérifierquepourtoutentiernatureln>2etpourtoutnombreréelx,on
a:
1
f (x)= .n nx (n−1)xe +e
b. Étudierleslimitesdelafonction f en−∞eten+∞.n
′c. Calculerladérivée f (x)etdresserletableaudevariationsdelafonctionn
f surR.n
PartieB:Étuded’unesuiteliéeauxfonctions fn
Z1
Onpose,pourtoutentiernatureln : u = f (x)dx.n n
0
1. Calculeru puismontrerqueu +u =1.Endéduireu .1 0 1 0
Z1
−nx2. Démontrerque,pourtoutentiern :06u 6 e dx.n
0
Z1
−nx3. Calculer l’intégrale : e dx.Endéduireque lasuite (u )est convergenten
0
etprécisersalimite.
Centresétrangers 4 15juin2009