Baccalauréat S France juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat S France juin 2002 \ EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats 1. Une urne contient quatre jetons numérotés de 1 à 4. On tire au hasard un jeton de l'urne, on lit le numéro, noté a, porté sur le jeton puis on remet le jeton tiré dans l'urne. On tire ensuite un deuxième jeton de l'urne et on note b le numéro du jeton tiré. Soit ( O, ?? ı , ?? ? , ?? k ) un repère orthonormal de l'espace. On considère les vec- teurs ?? U et ?? V de coordonnées respectives (a, ?5, 1?a) et (1+b, 1, b). Montrer que la probabilité que ces vecteurs soient orthogonaux est égale à 1 4 . 2. Deux personnes A et B jouent au jeu suivant, constitué d'un certain nombre de parties identiques décrites ci-après : au cours d'une partie, chaque joueur effectue le tirage de deux jetons décrit dans la première question. Si A obtient des vecteurs orthogonaux et B des vecteurs non orthogonaux, A est déclaré vainqueur, le jeu s'arrête. Si A obtient des vecteurs non orthogonaux et B des vecteurs orthogonaux, B est déclaré vainqueur et le jeu s'arrête. Dans les autres cas, les joueurs entreprennent unenouvelle partie ; le jeu conti- nue.

• solution particulière


• point g?2 sur la feuille annexe


• annexe problème


• a? sur la figure précédente


• feuille annexe


• entier relatif


• entier naturel


• coordonnées

Sujets

• France 3
• France 4
• France 2
• Entier relatif
• Entier naturel
• Coordonnées

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 2002
• Nombre de lectures: 21
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat S France juin 2002\

E X E R C IC E 1 4points Commun à tous les candidats 1.Une urne contient quatre jetons numérotés de 1 à 4. On tire au hasard un jeton de l’urne, on lit le numéro, notéa, porté sur le jeton puis on remet le jeton tiré dans l’urne. On tire ensuite un deuxième jeton de l’urne et on noteble numéro du jeton tiré. ³ ´ −→−→ −→ Soit O,ı,,kun repère orthonormal de l’espace. On considère les vec −→−→ teursUetVde coordonnées respectives (a,−5, 1−a) et (1+b, 1,b). 1 Montrer que la probabilité que ces vecteurs soient orthogonaux est égale à. 4 2.rtain nombreDeux personnes A et B jouent au jeu suivant, constitué d’un ce de parties identiques décrites ciaprès : au cours d’une partie, chaque joueur effectue le tirage de deux jetons décrit dans la première question. Si A obtient des vecteurs orthogonaux et B des vecteurs non orthogonaux, A est déclaré vainqueur, le jeu s’arrête. Si A obtient des vecteurs non orthogonaux et B des vecteurs orthogonaux, B est déclaré vainqueur et le jeu s’arrête. Dans les autres cas, les joueurs entreprennent une nouvelle partie ; le jeu conti nue. Pour tout entiern, on désigne par : A n l’évènement : « A gagne lanième partie », B n l’évènement : « B gagne lanième partie », C n l’évènement : « le jeu continue après lanième partie » a.Calculer les probabilitésp(A 1 ),p(B 1 ) etp(C 1 ). µ ¶ n 5 b.Exprimerp(C n+1 ) en fonction dep(C n ) et montrer quep(C n )=. 8 µ ¶ n−1 3 5 Exprimerp(A n+1 ) en fonction dep(C n et en déduire quep(A n )=. 16 8 3. a.Déterminer la limite dep(A n ) quandntend vers+∞. b.Déterminer le plus petit entierntel quep(A n ) soit inférieur ou égal à 0,01.

E X E R C IC E points2 5 Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spéécialité ³ ´ −→−→ Le plan complexe est rapporté àun repère orthonormal directO,u,v[unité gra phique : 2 cm]. 2 1.Résoudre dansCl’équation :z−2 3z+4=0. On posea=3+i etb=3−i. Écrireaetbsous forme exponentielle et placer les points A et B d’affixes respectivesaetb. π ′ ′ 2. a.Soitr. Calculer l’affixela rotation de centre O et d’angleadu pointA 3 ′ ′ image du point A parr. Écrireasous forme algébrique et placerAsur la figure précédente. 3 ′ b.Soithl’homothétie de centre O et de rapport−. Calculer l’affixebdu 2 ′ ′ pointBimage du point B parh. PlacerBsur la figure précédente.

A. P. M. E. P.

Baccalauréat S

′ ′ 3.SoitCle centre du cercle circonscrit au triangle OA BetRle rayon de ce cercle. On désigne parcl’affixe du pointC.

a.Justifier les égalités suivantes : Ã !Ã ! p p ¡ ¢ 3 33 33 3 2 22 cc=R(c−2i)c+2i=R c+ −ic+ +i=R. 2 22 2 p 4 3 b.En déduire quec−c=2i puis, quec+c= −. 3 c.En déduire l’affixe du pointCet la valeur deR.

E X E R C IC E points2 5 Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité 1.On considère l’équation (E) : 6x+7y=57 oùxetysont des entiers relatifs. a.Déterminer un couple d’entiers relatifs (u,v) tel que 6u+7v=1 ; en dé duire une solution particulière (x 0 ,y 0 ) de l’équation (E). b.Déterminer les couples d’entiers relatifs solutions de l’équation (E). ³ ´ −→−→ −→ 2.Soit O,ı,,kun repère orthonormal de l’espace. On considère le plan (P) d’équation : 6x+7y+8z=57. ³ ´ −→−→ On considère les points du plan P qui appartiennent aussi au planO,ı,. Montrer qu’un seul de ces points a pour coordonnées des entiers naturels; déterminer les coordonnées de ce point. 3.On considère un pointMdu plan P dont les coordonnéesx,yetzsont des entiers naturels. a.Montrer que l’entieryest impair. b.On posey=2p+1 oùpest un entier naturel. Montrer que le reste dans la division euclidienne dep+zpar 3 est égal à 1. c.On posep+z=3q+1 oùqest un entier naturel. Montrer que les entiers naturelsx,petqvérifient la relation :x+p+4q=7. En déduire queq prend les valeurs 0 ou 1. d.oordonEn déduire les coordonnées de tous les points de (P) dont les c nées sont des entiers naturels.

P R O B L È M E Commun à tous les candidats

11 points

Partie A On considère la fonctionfdéfinie surRpar : 1 £ ¤ 2x f(x)=(x+(1−x)e . 2 ³ ´ −→−→ On noteCla courbe représentative defO,dans un repère orthonormalı,, (unité graphique 2 cm) 1. a.Déterminer les limites defen−∞et en+∞.

France

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juin 2002

A. P. M. E. P.

Baccalauréat S

x b.Montrer que la droiteΔd’équationy=est asymptote àC. 2 Étudier la position deCpar rapport àΔ. ′ 2.Montrer quefest dérivable surRet calculerf(x). 2x 3.Soitula fonction définie surRparu(x)=1+(1−2x)e .

a.Étudier le sens de variation deu. Montrer que l’équationu(x)=0 possède une solution uniqueαdans l’intervalle [0 , 1]. −2 Déterminer une valeur décimale approchée par excès deαprès.à 10 b.Déterminer le signe deu(x) suivant les valeurs dex.

4.Étudier le sens de variation defpuis dresser son tableau de variations.

Partie B ³ ´ −→−→ Dans le plan muni d’un repère orthonormalO,ı,, on considère la courbeΓ x d’équationy=e etla droite D d’équationy=x. Les courbesΓet D sont tracées sur la feuille annexe. 1.Soittun réel ; on désigne parM, le point deΓd’abscisset. La tangente àΓau pointM t coupe l’axe des ordonnées au pointN t . Déterminer les coordonnées du pointN t . 2.On désigne parP t le point de D d’abscissetet parG t l’isobarycentre des points 0,M t ,P t etN t . Le pointG t est donc le barycentre des points pondérés (0 ; 1) , (M t ; 1), (P t ; 1) et (N t ; 1). a.Placer les pointsM −2 ,P −2 , etN −2 puis construire, en justifiant, le point G −2 sur la feuille annexe. b.Déterminer en fonction detles coordonnées du pointG t . 3.Quel est l’ensemble des pointsG t quandtdécritR?

Partie C 1.Construire la courbeCde lapartie Asur la feuille annexe. 2 2.Calculer l’aireA, du domaine plan délimité par la courbe, en cmC, la droite Δet les droites d’équationx=0 etx=1 (on pourra utiliser une intégration par parties).

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juin 2002

A. P. M. E. P.

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Annexe problème

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