Baccalauréat S Liban mai
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Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat S Liban 31 mai 2011 \ EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats Dans l'espacemuni d'un repère orthonormal ( O, ??ı , ??? , ??k ) , ondonne les trois points : A(1 ; 2 ; ?1),B(?3 ; ?2 ; 3)et C(0 ; ?2 ; ?3) 1. a. Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés. b. Démontrer que le vecteur ??n (2 ; ?1 ; 1) est un vecteur normal au plan (ABC). 2. Soit (P ) le plan dont une équation cartésienne est x+ y ? z+2= 0. Démontrer que les plans (ABC) et (P ) sont perpendiculaires. 3. On appelle G le barycentre des points pondérés (A, 1), (B, ?1) et (C, 2). a. Démontrer que le point G a pour coordonnées (2 ; 0 ; ?5). b. Démontrer que la droite (CG) est orthogonale au plan (P ). c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (CG). d. Déterminer les coordonnées du point H, intersection du plan (P ) avec la droite (CG). 4. Démontrer que l'ensemble (S) des points M de l'espace tels que ? ? ? ???MA ????MB +2???MC ? ? ? = 12 est une sphère dont on déterminera les éléments caractéristiques.

  • barycentre des points

  • boule jaune

  • client choisi au hasard

  • nature de la transformation ?

  • ordinateur de couleur noire

  • affixe

  • points commun

  • venddeuxmodèles d'ordinateur aumême

  • repère orthonormal direct


Sujets

Informations

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Publié le 01 mai 2011
Nombre de lectures 35
Langue Français

Extrait

[Baccalauréat S Liban 31 mai 2011\
EX E R C IC Epoints1 5 Commun à tous les candidats ³ ´ Dans l’espace muni d’un repère orthonormalO,ı,,k, on donne les trois points :
A(1 ;2 ;1), B(3 ;3) et C(0 ;2 ;2 ;3) 1. a.Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés. −→ b.Démontrer que le vecteurn(2 ;1) est un vecteur normal au plan1 ; (ABC). 2.Soit (P) le plan dont une équation cartésienne estx+yz+2=0. Démontrer que les plans (ABC) et (P) sont perpendiculaires. 3.On appelle G le barycentre des points pondérés (A,1), (B,1) et (C,2). a.Démontrer que le point G a pour coordonnées (2 ; 0 ;5). b.Démontrer que la droite (CG) est orthogonale au plan (P). c.Déterminer une représentation paramétrique de la droite (CG). d.Déterminer les coordonnées du point H, intersection du plan (P) avec la droite (CG). 4.Démontrer que l’ensemble (S) des pointsMde l’espace tels que −−→ −−→−−→ °MAMB+2MC°=12 est une sphère dont on déterminera les éléments caractéristiques. 5.Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de l’intersection du plan (P) et de la sphère (S).
EX E R C IC Epoints2 3 Commun à tous les candidats Pour chaque question, une seule des réponses est exacte. Le candidat portera sur sa copie, sans justification, le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Il sera attribué0, 5point si la réponse est exacte,0sinon.
1.Un magasin de matériel informatique vend deux modèles d’ordinateur au même prix et de marques M1et M2. Les deux ordinateurs ont les mêmes caractéris tiques et sont proposés en deux couleurs : noir et blanc. D’après une étude sur les ventes de ces deux modèles, 70 % des acheteurs ont choisi l’ordinateur M1% ont préféré la couleur noire. Paret, parmi eux, 60 ailleurs, 20% des clients ayant acheté un ordinateur M2l’ont choisi de cou leur blanche. On utilise la liste des clients ayant acheté l’un ou l’autre des ordinateurs pré cédemment cités et on choisit un client au hasard. a.La probabilité qu’un client choisi au hasard ait acheté un ordinateur M2 de couleur noire est : 3 43 6 Réponse A :Réponse B :Réponse C :Réponse D : 5 5 5025
Baccalauréat S
A. P. M. E. P.
b.La probabilité qu’un client choisi au hasard ait acheté un ordinateur de couleur noire est : 21 33 312 Réponse A :Réponse B :Réponse C :Réponse D : 50 50 525
c.Le client a choisi un ordinateur de couleur noire. La probabilité qu’il soit de marque M2est : 4 6 733 Réponse A :Réponse B :Réponse C :Réponse D : 11 25 11 50
2.Une urne contient 4 boules jaunes, 2 boules rouges et 3 boules bleues. Les boules sont indiscernables au toucher. L’expérience consiste à tirer au hasard et simultanément 3 boules de l’urne. a.La probabilité d’obtenir trois boules de même couleur est : 11 25 4 Réponse A :Réponse B :Réponse C :Réponse D : 81 784 63
b.La probabilité d’obtenir trois boules de trois couleurs différentes est : 2 11 79 Réponse A :Réponse B :Réponse C :Réponse D : 7 7 2184
c.On répète plusieurs fois l’expérience, de manière indépendante, en re mettant à chaque fois les trois boules dans l’urne. Le nombre minimal d’expériences à réaliser pour que la probabilité de l’évènement «obtenir au moins une fois trois boules jaunes » soit supé rieure ou égale à 0,99 est : Réponse A :76Réponse B :71Réponse C :95Réponse D :94
EX E R C IC E3 Candidats ayant suivi l’enseignement obligatoire
Partie A : Restitution organisée de connaissances
5 points
Prérequis :On suppose connu le résultat suivant : ¡ ¢¡ ¢ ′ ′Quels que soient les nombres complexes non nulszetz, argz×z=arg(z)+argz à 2πprès. Démontrer que, quels que soient les nombres complexes non nulszetz, on a : ³ ´ z¡ ¢ arg=arg(z)argzà 2πprès. z
Partie B ³ ´ Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal directO,u,v, on consi dère les points A et B d’affixes respectives : p zA=1i etzB=2+3+i. 1.Déterminer le module et un argument dezA. zB 2. a.Écrire sousforme algébrique. zA
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31 mai 2011
Baccalauréat S
A. P. M. E. P.
¡ ¢π zB i b.Montrer que=1+.3 e 3 zA c.En déduire la forme exponentielle dezB. π 3.On note B1l’image du point B par la rotationrde centre O et d’angle. 6 a.Déterminer l’affixe du point B1. b.En déduire que le point B1est le symétrique du point B par rapport à ³ ´ −→ l’axe O;u. 4.SoitMun point du plan. On noteM1l’image du pointMpar la rotationret ³ ´ −→ Mle symétrique du pointM1O ;par rapport à l’axeu. On désigne par (E) l’ensemble des pointsMdu plan tels queM=M. a.Montrer que les points O et B appartiennent à l’ensemble (E). b.SoitMun point distinct du point O. iθ Son affixezest égale àρe oùρest un réel strictement positif etθun nombre réel. ¡ ¢ π ′ ′iθ 6 Montrer que l’affixezdu pointMest égale àρe puisdéterminer l’ensemble des valeurs du réelθtelles queMappartienne à l’ensemble (E). c.Déterminer l’ensemble (E).
EX E R C IC E3 Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité
Partie A : Restitution organisée de connaissances
5 points
On se place dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal direct. Prérequis :L’écriture complexe d’une similitude directe est de la formez=a z+b aetbsont deux nombres complexes tels quea6=0. ′ ′′ ′ Démontrer que si A, B, Aet Bsont quatre points du plan tels que A6=B et A6=B , ′ ′ alors il existe une unique similitude directe transformant A en Aet B en B .
Partie B ³ ´ π On considère le triangle rectangle isocèle ABC tel queAB , AC=modulo 2π. 2 On note D le symétrique de A par rapport au point C. On désigne parsla similitude directe transformant D en C et C en B. 1.Déterminer le rapport et l’angle de la similitudes. 2.On appelleΩle centre de la similitudes. → −−→−−→ 2 2 a.En utilisant la relation DC=ΩCΩD , démontrer que DC=ΩD . b.En déduire la nature du triangleΩDC. 3.On poseσ=ss. a.Quelle est la nature de la transformationσ? Préciser ses éléments carac téristiques. b.Déterminer l’image du point D par la transformationσ. 4.Démontrer que le quadrilatère ADΩB est un rectangle. 5.Dans cette question, le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal ³ ´ direct A;u,v, choisi de manière à ce que les points A, B, C et D aient comme affixes respectives 0,1, i et 2i.
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Baccalauréat S
A. P. M. E. P.
a.Démontrer que l’écriture complexe de la similitudesest : ′ ′ z=(1+i)z+2i oùzetzdésignent respectivement les affixes d’un pointMet de son imageMpars. ′ ′ b.On notexetx,yetyles parties réelles et les parties imaginaires dezet z. ½ x=xy+2 Démontrer que y=x+y1 c.Soit J le point d’affixe 1+3i. Existetil des pointsMdu plan dont les coordonnées sont des entiers relatifs et tels que ′ ′ AMAJ=0,Mdésignant l’image du pointMpars?
EX E R C IC Epoints4 7 Commun à tous les candidats Soitfla fonction définie sur [0 ;+∞[ par x f(x)=x+e . ³ ´ On note (C) la courbe représentative defdans un repère orthonormalO,ı,. Partie A 1.Étudier les variations de la fonctionfsur [0 ;+∞[. 2.Déterminer la limite defen+∞. 3.Montrer que (C) admet une asymptote oblique dont on précisera une équa tion. Partie B On considère la suite (untermes positifs définie par :) à n>1 un u1=0 et, pourtout entier naturelnnon nul,un+1=f(un)=un+e . 1.Démontrer que, pour tout réelxpositif, ln(1+x)6x. On pourra étudier la fonctiongdéfinie sur [0 ;+∞[ parg(x)=xln(1+x). 1 2.En déduire que, pour tout entier naturelnnon nul, ln(n+1)6ln(n)+. n 1 3.Démontrer que, pour tout entier naturelnnon nul,f[ln(n)]=ln(n)+. n 4.Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturelnnon nul, ln(n)6un. 5.En déduire la limite de la suite (un)n>1 Dans la suite de l’exercice, on admet que, pour tout entiernsupérieur ou égal 1 1 à 2,un61∙ ∙ ∙ ++ +. 2n1 6. a.Démontrer que, pour tout entierksupérieur ou égal à 2, on a : Z k 1 1 6dx. kk1x b.En déduire que, pour tout entiernsupérieur ou égal à 2, on a : un61+ln(n1). 7.Pour tout entiernsupérieur ou égal à 2, on a montré que ln(n)6un61+ln(n1). µ ¶ un Démontrer que la suiteconverge vers 1. ln(n) n>2
Liban
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31 mai 2011
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