Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie \ 10 novembre 2011 EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats 1. z2?2z+2= 0 ?? (x?1)2?1+2= 0 ?? (x?1)2+1= 0 ?? (x?1)2? i2 = 0 ?? (x?1+ i)(x?1? i)= 0. Il y a donc deux solutions complexes : 1? i ; 1+ i. 2. 1 ?1 ?2 ?3 ?4 ?5 1 2 3 4 5 6 7?1?2?3 b b b b b b A B C D C? C?? O 3. On a |zD? zA|2 = |3?1? i|2 = |2? i|2 = 4+1= 5. De même |zD? zB|2 = |3?1+ i|2 = |2+ i|2 = 4+1= 5. |zD? zC|2 = |3?2+2i|2 = |1+2i|2 = 1+4= 5. On a donc DA2 =DB2 =DC2 = 5 ?? DA=DB=DC= p 5. Conclusion : A, B et C appartiennent à unmême cercle de centre D et de rayonp 5.

• vecteur normal


• équation du cercle


• y2? z2


• unique solution


• ??

Sujets

• Normale à une surface

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 novembre 2011
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Extrait

Durée:4heures
[BaccalauréatSNouvelle-Calédonie\
10novembre2011
EXERCICE 1 5points
Communàtouslescandidats
2 2 2 2 21. z ?2z?2?0 () (x?1) ?1?2?0 () (x?1) ?1?0 () (x?1) ?i ?
0 () (x?1?i)(x?1?i)?0.
Ilyadoncdeuxsolutionscomplexes:
1?i ; 1?i.
1 A
O D
?3 ?2 ?1 1 2 3 4 5 6 7
?1 B
00?2 C C
?3
0?4 C
2. ?5
2 2 23. Onajz ?z j ?j3?1?ij ?j2?ij ?4?1?5.D A
2 2 2Demêmejz ?z j ?j3?1?ij ?j2?ij ?4?1?5.D B
2 2 2jz ?z j ?j3?2?2ij ?j1?2ij ?1?4?5.D C
p
2 2 2OnadoncDA ?DB ?DC ?5 () DA?DB?DC? 5.
Conclusion:A,BetCappartiennentàunmêmecercledecentreDetderayonp
5.
z ?3 2?2i?3 ?1?2i (?1?2i)(?2?i) 2?2?i?4i 5iC
4. ? ? ? ? ? ?i.
z ?3 1?i?3 ?2?i (?2?i)(?2?i) 4?1 5A
? Onadoncz ?3?i(z ?3)ouencorez ?z ?i(z ?z )égalitéquisignifieC A C D A D
?
queCestl’imagedupointAdanslarotationdecentreDetd’angle .
2
ParpropriétédelarotationDA=DC:conclusion:letriangleDACestrectangle
etisocèleenD.
05. Pardéfinitiondel’homothétieh lespointsC,DetC sontalignés.
00Par propriété de la rotation r le droite (DC ) est perpendiculaire à la droite
0 0(DC ),etcomme(DC )estd’aprèslaquestionprécédenteperpendiculaireàla
00droite(AD),lespointsA,DetC sontalignés.
0AffixedeC :pardéfinitiondel’homothétie ona:
z 0?z ?2(z ?z )soit z 0?3?2(2?2i?3)??2?4i () z 0?3?2?4i?C D C D C C
1?4i.
00AffixedeC :pardéfinitiondelarotation:
bbbbbbBaccalauréatS A.P.M.E.P.
? ?
z 00?z ?i z 0?z soitz 00?3?i(1?4i?3) () z 00?3??2i?4 () z 00?D DC C C C C
7?2i.
0 00ConsidéronsletriangleAC C :
? ?!?0 0– AetC ontlapartieréelle,doncladroite(AC )estparallèleàl’axe O, v ;
00 00– CetC ontlamême partieimaginaire,doncdoncladroite(CC )estparal-? ?!?
lèleàl’axe O, u ;
0 00– Conclusion:ladroite(AC )estperpendiculaireàladroite(CC )
0 0 00DansletriangleACC lesdroites(C D)et(CC )sontdeuxhauteurs;leurpoint
commun C est l’orthocentre de ce triangle. La troisième hauteur est donc la
0 00droite(AC)quiestperpendiculaireàladroite(C C ).
EXERCICE 2 5points
Communàtouslescandidats
? ?
1 1 1
1. a. ? Comme lim ??1, lim1? ??1,puis limln 1? ??1,donc
x!0 x!0 x!0x x x
finalement lim f(x)??1.
x!0 ? ?
1 1 1
? Comme lim ?0, lim 1? ??1, puis lim ln 1? ?0, donc
x!?1 x!?1 x!?1x x x
finalement lim f(x)??1.
x!?1
b. Sur ]0 ; ?1[, f somme de composées de fonctions dérivables est déri-
vableetsurcetintervalle:
21 1 1 1 ?1?x ?x0f (x)?? ? ?1?? ?1?? ?1? .? ?2 1 1 2 22x x ?x x ?x1? x 1?
x x
2 0Comme x?0implique x?x ?0,lesignede f (x)estceluidunuméra-? ?
2 2teur?1?x ?x?? 1?x?x .
? ?
2 2 2Orx?0)x?x ?0)1?x?x ?1?0etfinalement? 1?x?x ?0.
La négativité stricte de la fonction dérivée sur ]0 ; ?1[ implique la dé-
croissancestrictedelafonction f surcetintervalle.
c. On a vu dans les deux questions précédentes que la fonction f décroit
strictement sur]0; ?1[de?1à?1.:ilexiste doncunevaleurunique
?dex appartenantà]0;?1[telleque f(?)?0.
Lacalculatricedonne f(0,806)?0,00079et f(0,807)??0,0009.
Conclusion:0,806???0,807.
2. a. Voirl’annexe1.
b. Legraphiquepermet-ild’émettrelesconjecturessuivantes?
o? Conjecturen 1:«lasuite(u ) estmonotone.» NONn n2N
o? Conjecturen 2:«lasuite(u ) estminoréepar0,5.» OUIn n2N
o? Conjecturen 3:«lasuite(u ) convergevers1.» NONn n2N
c. Si lim u ? lim u ?`,larelationu ?g(u )entraîneparconti-n n?1 n?1 n
n!?1 n!?1 ? ?
1
nuitédelafonctiong l’égalité`?g(`) () `?ln 1? .
`
? ?
1
d. L’égalitéprécédentes’écritln 1? ?`?0,cequimontreque`estune
`? ?
1
solutiondel’équation ln 1? ?x?0 () f(x)?0.
x
Onavuàlaquestion1.c.quecetteéquationauneuniquesolutiondans
]0;?1[:?.
Donc`???0,806
Nouvelle-Calédonie 2 10novembre2011BaccalauréatS A.P.M.E.P.
EXERCICE 3 5points
Communàtouslescandidats
Z h i7 7
??x ??x ?7?1. On a donc 0,6? ?e dx () 0,6? ?e () 0,6??e ?1 ()
00
?7?e ? 0,4 () (par croissance de la fonction logarithme népérien ?7??
ln(0,4) ?3ln(0,4) () ?? ?0,1308?0,131à10 près.
?7
Zt ? ?5?0,131x ?0,131x2. On a p(X?5?1?p(X65)?1? 0,131e dx?1? ?e ?1?
0
0
?0,131?5 ?2e ?1?0,519?0,52à10 près.
3. Puisqu’onauneloisansvieillissement :
p (X?9)?p (X?4?5)?p(X?5)?0,52.X?4 X?4
? ? ? ?
?0,131?10 ?0,131?64. On a p(66X610)?p(X610)?p(X66)? 1?e ? 1?e ?
?0,131?6 ?0,131?10e ?e ?0,19.
5. a. Les temps sont supposeés indépendants de durée supérieure ou égale
à 5 heures (avec une probabilitéé égale à 0,52) ou inférieure à 5 heures
(avecuneprobabilitééégaleà1?0,52?0,48).
LavariableYsuitdoncuneloibinomialedeparamètresp?0,52etn?8.
? ?
8 3 8?3 3 5b. Onap(Y?3)? ?0,52 ?0,48 ?56?0,52 ?0,48 ?0,20.
3
c. OnaE(Y)?n?p?8?0,52?4,16?4.
EXERCICE 4 5points
Candidatsn’ayantpaschoisil’enseignementdespécialité
? ?!?!? !?
L’espaceestrapportéàunrepèreorthonormal O, ı , | , k .
Onconsidèrelespoints:A(0;0;2),B(0;4;0)etC(2;0;0).
?! ?!
1. a. OnaAB(0; 4;?2)etAC(2; 0;?2).
Ces vecteurs ne sont pas colinéaires, doncles trois points A,BetC défi-
nissentbienunplanP .1
A(0;0;2)2P () 2?0?0?2?2?4:vrai;1
B(0;4;0)2P () 2?0?4?0?2?4:vrai;1
C(0;0;2)2P () 2?0?0?2?2?4:vrai;1
Uneéquationduplan(ABC)estdonc:2x?y?2z?4.
j2?0?0?2?0?4j 4 4
b. Onsaitqued(O, (ABC))? p ?p ? .
2 2 2 32 ?1 ?2 9
?!
2. a. La droite (BC) étant orthogonale au plan, le vecteur BC est un vecteur
??!
normal à ce plan. Comme BC(2 ; ?4 ; 0), on sait qu’une équation du
plancherchéest:
2x?4y?a,aveca2R.
LescoordonnéesdeAvérifientcetteéquation,soit:
0?a.
Uneéquationduplanestdonc2x?4y?0 () x?2y?0.
!?
b. Le plan (ABC) a un vecteur normal u (2 ; 1 ; 2) qui n’est pas colinéaire
??!
auvecteurBC(2; ?4; 0),vecteurnormalàP,donclesplans (ABC)etP
sontsécantsenΔ.Ona:
8
? x ? 2y<
x?2y ? 0
M(x ; y ; z)2Δ () () y ? y
2x?y?2z ? 4 :
2x?2z ? 4?y
Nouvelle-Calédonie 3 10novembre2011BaccalauréatS A.P.M.E.P.
8 8
x ? 2y x ? 2y< <
() y ? y () y ? y
: :
2z ? ?2(2y)?y?4 2z ? ?5y?4
8
8> x ? 2y x ? 4t< <
y ? y() () y ? 2t
> 5 :: z ? ?5t?2z ? ? y?2
2
La droite (BC) orthogonale à (P) est orthogonale à toute droite de (P),
donc en particulier à Δ. Or cette droite appartient au plan ABC : elle
contient un sommet Aetest perpendiculaire aucôté opposé [BC] :c’est
donclahauteurissuedeAdutriangleABC.
03. a. Δ contientlemilieuIde[AC];I(1;0;1).
Un point M(x ; y ;z) appartient à la médiane (BI) si et seulement s’il
??! ?!
existet2RtelqueBM ?tBI quisetraduitparlesystème:
8 8
x?0 ? t x ? t< <
y?4 ? ?4t () y ? 4?4t
: :
z?0 ? 1?t z ? t
?! 2 2 2b. DeAC(2; 0;?2)ondéduitAC ?2 ?(?2) ?4?4?8.
?! 2 2 2DeAB(0; 4;?2)ondéduitAB ?4 ?(?2) ?16?4?20.
?! 2 2 2DemêmedeBC(2;?4; 0)ondéduitBC ?2 ?(?4) ?4?16?20.
p
2 2AB ?BC )AB?BC?2 5.LetriangleABCestisocèleenB.
?! ?!
Rem.Onpeut également montrer que les vecteurs BI et AC sont ortho-
0gonauxetparconséquent queΔ estàlafoishauteur etmédiane dutri-
angleABCquiestdoncisocèle.
04. Lescoordonnées(x; y ; z)dupointHcommunàΔetàΔ vérifientlesystème:
8 8 8
0 0 04t ? t 4t ? t 4t ? t< < <
02t ? 4?4t () 2t ? 4?4(4t) () 2 ? 9t
: : :0?5t?2 ? t ?5t?2 ? 4t 2 ? 9t
8 804t ? t> 8 > 0>< < ? t2
9t ?() ()9 t ? 2> >2> :: t ? t ? 2
9 ? ?
8 4 8
Enutilisantl’uneoul’autredeséquationsonobtientH ; ; .
9 9 9
0On a vu que le triangle ABC est isocèle en B. La droite (Δ ) médiane issue du
sommetprincipalBestaussihauteurdutriangleABC.
Onaaussimontréque(Δ)estaussihauteurdecetriangleABC.
Conclusion:lepointHcommunàdeuxhauteursestl’orthocentredutriangle
ABC.
??! ??! 8 4 8 16 16
5. CalculonsOH ?AB ? ?0? ?4? ?(?2)? ? ?0.
9 9 9 9 9
??! ?! 8 4 8 16 16
DemêmeOH ?AC ? ?2? ?0? ?(?2)? ? ?0.
9 9 9 9 9
La droite (OH) orthogonale à deux droites sécantes du plan (ABC) est ortho-
gonaleàceplan.
MaisHpoint de(OH)appartient aussi auplan (ABC);conclusion :lepoint H
estleprojetéorthogonaldupointOsurleplan(ABC).
? ? ? ? ? ?2 2 28 4 8 64?16?64 144 12 42OncalculeOH ? ? ? ? ? )OH? ? .
9 9 9 81 81 9 3
EXERCICE 4 5points
Candidatsayantchoisil’enseignementdespécialité
Nouvelle-Calédonie 4 10novembre2011BaccalauréatS A.P.M.E.P.
2 2 2 2 2 21. a. Onax ?y ?z ?4 () (?x) ?(?y) ?(?z) ?4.Cetteégalitémontre
0quesilepointM(x ; y ; z)appartientàS alorslepointM (?x ;?y ; ?z)
appartientaussiàS.
Cettesurfaceadmetdoncl’originecommecentredesymétrie
2 2 2 2 2 2b. x ?y ?z ? 4 () x ?y ?(?z) ? 4. Cette égalité montre que si le
0point M(x ; y ; z)appartient àS alors le point M (x ; y ; ?z)appartient
aussiàS.Lasurfaceadmetdoncleplan(xOy)commeplandesymé