Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie novembre 2008

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie novembre 2008 \ EXERCICE 1 3 points Commun à tous les candidats Dans l'espace rapporté à un repère orthonormal ( O, ?? ı , ?? ? , ?? k ) on considère les points : A(3 ; ?2 ; 1) B(5 ; 2 ; ?3) C(6 ; ?2 ; ?2) D(4 ; 3 ; 2) 1. Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés, puis que le triangle ABC est isocèle et rectangle. 2. a. Montrer que le vecteur ?? n (2 ; 1 ; 2) est un vecteur normal au plan (ABC). b. En déduire une équation du plan (ABC). c. Montrer que la distance du point D au plan (ABC) est égale à 3. 3. Calculer le volume du tétraèdre ABCD en unités de volume. EXERCICE 2 5 points Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal ( O, ?? u , ?? v ) . 1. On considère les points A, B et C d'affixes respectives zA = 2+ 2i, zB = 2i et zC = 2 ainsi que le cercle ? de centre A et de rayon 2.

• vecteur normal


• triangle rectangle


• branche ac


• ?? ?


• restitution organisée de connaissances


• ei π


• repère orthonormal direct


• plan complexe

Sujets

• Normale à une surface
• Triangle rectangle
• Plan d'Argand

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 novembre 2008
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Extrait

Durée:4heures
[BaccalauréatSNouvelle-Calédonienovembre2008\
EXERCICE 1 3points
Communàtouslescandidats ³ ´→− →− →−
Dansl’espacerapportéàunrepèreorthonormal O, ı ,  , k onconsidèrelespoints:
A(3;−2; 1) B(5; 2;−3)
C(6;−2;−2) D(4; 3; 2)
1. Montrerqueles points A,BetCnesont pas alignés, puis que letriangleABC
estisocèleetrectangle.
→−
2. a. Montrerquelevecteur n (2; 1; 2)estunvecteurnormalauplan(ABC).
b. Endéduireuneéquationduplan(ABC).
c. MontrerqueladistancedupointDauplan(ABC)estégaleà3.
3. CalculerlevolumedutétraèdreABCDenunitésdevolume.
EXERCICE 2 5points
Pourlescandidatsn’ayantpassuivil’enseignementdespécialité³ ´→− →−
Leplancomplexeestrapportéaurepèreorthonormal O, u , v .
1. On considère les points A, B et C d’affixes respectives z = 2+2i, z = 2i etA B
z =2ainsiquelecercleΓdecentreAetderayon2.C
La droite (OA)coupe le cercleΓen deux points Het K tels que OH< OK. On
note z et z lesaffixesrespectivesdespointsHetK,H K
a. Faireunefigureenprenant1cmcommeunitégraphique.
b. CalculerlalongueurOA.EndéduireleslongueursOKetOH.
c. Justifier,àl’aidedesnotionsdemoduleetd’argumentd’unnombrecom-
plexe,que
³ ´ ³ ´p pπ πi i
4 4z = 2 2+2 e z = 2 2−2 e .K H
Danstoutelasuite, on considère l’application f du plan qui à tout point M
′ ′d’affixe z6?0associelepoint M d’affixe z telleque:
−4′z = .
z
2. a. DétermineretplacerlespointsimagesdeBetCpar f.
b. Onditqu’unpointestinvariantpar f s’ilestconfonduavecsonimage.
Déterminerlespointsinvariantspar f.
3. a. Montrerquepourtoutpoint M distinctdeO,ona:
′OM×OM =4.
¡ ¢
′b. Déterminerarg z enfonctiondearg(z).
′ ′4. SoientK etH lesimagesrespectivesdeKetHpar f.
′ ′a. CalculerOK etOH .
¡ p ¢ ¡ p ¢3π 3πi i
′ 4 ′ 4b. Démontrerque z = 2 2−2 e et z = 2 2+2 e .K HBaccalauréatS
′ ′c. Expliquer comment construire les points K et H en utilisant unique-
mentlarègleetlecompasàpartirdespointsKetH.Réaliserlaconstruc-
tion.
EXERCICE 2 5points
Pourlescandidatsayantsuivil’enseignementdespécialité³ ´−→ −→
Leplancomplexeestmunid’unrepèreorthonormaldirect O; OI ; OJ .Onconsi-
3
dèrelespointsAetBd’affixesrespectives z =2et z = +i.A B
2
OnconsidèrelespointsM,NetPtelsquelestrianglesAMB,BNOetOPAsoientdes
trianglesrectanglesisocèlesdesensdirectcommelemontrelafigureci-dessous.
y
N
B
M
xO A
P
Onnote s lasimilitudedirectedecentreAquitransformeMenB.1
Onnote s lasimilitude directedecentreOquitransformeBenN.Onconsidèrela2
transformationr=s ◦s .2 1
Le but de l’exercice est de démontrer de deux façons différentes que les droites
(OM)et(PN)sontperpendiculaires.
1. Àl’aidedestransformations
a. Donnerl’angleetlerapportdes etdes .1 2
b. Déterminer l’image du point M puis celle du point I par la transforma-
tionr.
π
c. Justifierquer estunerotationd’angle dontonpréciseralecentre.
2
d. Quelleestl’imagedupointOparr ?
e. Endéduirequelesdroites(OM)et(PN)sontperpendiculaires.
2. Enutilisantlesnombrescomplexes
a. Donnerlesécriturescomplexesdes ets .Onutiliseralesrésultatsdela1 2
question1.a.
b. Endéduirelesaffixes z et z despointsMetN.M N
c. Donner, sans justification, l’affixe z du point P puis démontrer que lesP
droites(OM)et(PN)sontperpendiculaires.
Nouvelle-Calédonie 2 novembre2008
bbbbbbBaccalauréatS
EXERCICE 3 4points
Communàtouslescandidats
Un joueur lance une bille qui part de A puis emprunte obligatoirement une des
branches indiquées sur l’arbre ci-dessous pour arriver à l’un des points D, E, F et
G.
A
8 1
9 9
B(0pt) C(10pts)
8 1 8 1
9 9 9 9
D(0pt) E(10pts) F(0pt) G(10pts)
On a marqué sur chaque branche de l’arbre la probabilité pour que la bille l’em-
prunteaprèsêtrepasséparunnœud.
Les nombres entre parenthèses indiquent les points gagnés par le joueur lors du
passage de la bille. On note X la variable aléatoire qui correspond au nombre total
depointsgagnésàl’issued’unepartiec’est-à-direunefoislabillearrivéeenD,E,F
ouG.
1. Danscettequestion,lesrésultatssontattendussousformefractionnaire.
a. DéterminerlaloideprobabilitédeX.
b. Calculerl’espérancedeX.
c. CalculerlaprobabilitéquelabilleaitsuivilabrancheACsachantquele
joueuraobtenuexactement10points.
2. Le joueur effectue 8 partieset onsuppose queces huitparties sont indépen-
dantes.Onconsidèrequ’unepartieestgagnéesilejoueurobtient20pointsà
cettepartie.
a. Calculer la probabilité qu’il gagne exactement 2 parties. On donnera le
résultatarrondiaumillième
b. Calculer la probabilité qu’il gagne au moins une partie. On donnera le
résultatarrondiaumillième.
EXERCICE 4 5points
Communàtouslescandidats
PARTIEA
Onconsidèrelafonction f définiesurl’intervalle]0;+∞[par
f(x)=lnx−2+x.
1. Déterminerleslimitesdelafonction f en0eten+∞.
2. Étudierlesensdevariationdelafonction f puisdressersontableaudevaria-
tions.
3. Montrerquel’équation f(x)=0admetuneuniquesolutionαdansl’intervalle
]0;+∞[.
−2Donnerunencadrementdunombreαà10 près.
Nouvelle-Calédonie 3 novembre2008y=2−x
BaccalauréatS
PARTIEB ³ ´→− →−
Leplanestmunid’unrepèreorthonormal O, ı ,  .
Onconsidèresurlegraphiqueci-dessous,lacourbereprésentativeC delafonction
ln,ainsiqueladroiteD d’équation y=2−x.OnnoteElepointd’intersection dela
courbeC etdeladroiteD.
y
4
3
2
1
E
x
−3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
−1
−2
On considère l’aire en unités d’aire,notéeA, de la partie du plan située au dessus
del’axedesabscissesetaudessousdelacourbeC etdeladroiteD.
1. DéterminerlescoordonnéesdupointE.
Zα
2. Soit I= lnxdx.
1
a. DonneruneinterprétationgéométriquedeI.
b. Calculer I,enfonctiondeα,àl’aided’uneintégrationparparties.
2c. Montrerque I peutaussis’écrireI=−α +α+1sachantque f(α)=0.
3. Calculerl’aireA enfonctiondeα.
EXERCICE 5 3points
Communàtouslescandidats
PARTIEA
Onconsidèrelafonction f définiesurl’intervalle]0;+∞[par
x
f(x)= .
xe −1
1. Restitutionorganiséedeconnaissances:
Lafonctionexponentielle estl’uniquefonction g dérivablesurRvérifiant
½
′g (x) = g(x) pourtout x∈R.
g(0) = 1
he −1
Démontrerque lim =1.
h→0 h
2. Déterminerlalimitedelafonction f en0.
Nouvelle-Calédonie 4 novembre2008
x
n
l
=
yBaccalauréatS
3. Déterminerlalimitedelafonction f en+∞.
PARTIEB
Soit(u )lasuitedéfiniepourn entiersupérieurouégalà1par:n
h i1 1 2 n−1
n n nu = 1+e +e +???+en
n
1 2 n−1 1−e
n n n1. Démontrerque1+e +e +???+e = puisendéduireque
1
n1−eµ ¶
1
u =(e−1)f .n
n
2. Endéduire,enutilisantaussilaPARTIEA,quelasuite u convergeverse−1.( )n
Nouvelle-Calédonie 5 novembre2008