Baccalauréat STI Antilles–Guyane juin 2009

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat STI Antilles–Guyane juin 2009\ Génie électronique, électrotechnique, optique EXERCICE 1 4 points 1. P (1)= 9?21+17?5 = 26+?26= 0. 2. Si P (z) = 9z3 ?21z2 +17z ?5 = (z ?1) ( az2+bz +c ) = az3+bz2 + cz ? az2 ? bz ? c = az3+ z2(b ? a)+ (c ?b)z ? c, alors en identifiant les termes de même degré : ? ? ? ? ? ? ? 9 = a ?21 = b ?a 17 = c ?b ?5 = ?c ?? ? ? ? ? ? ? ? 9 = a ?21 = b ?9 17 = 5?b ?5 = ?c ?? ? ? ? ? ? ? ? a = 9 b = ?12 c = 5 c = 5 Donc P (z)= 9z3?21z2+17z ?5= (z ?1) ( 9z2?12z +5 ) . 3. P (z)= 0 ?? { z ?1 = 0 9z2?12z +5 = 0 Résolution de l'équation du second degré : 9z2?12z+5= 0 ?? (3z?2)2?4+5= 0 ?? (3z?2)2+1= 0 ?? (3z?2)2?i2 = 0 ?? (3z ?2)2 = i2 Il y a donc trois

• problème de distance minimale


• réciproque du théorème de pythagore


• bz ?


• ??


• produit de limites

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 2009
• Nombre de lectures: 18

Extrait

Durée:4heures
[BaccalauréatSTIAntilles–Guyanejuin2009\
Génieélectronique,électrotechnique,optique
EXERCICE 1 4points
1. P(1)=9−21+17−5=26+−26=0.
? ?
3 2 2 3 2 22. Si P(z)= 9z −21z +17z−5= (z−1) az +bz+c = az +bz +cz−az −
3 2bz−c=az +z (b−a)+(c−b)z−c,alorsenidentifiantlestermesdemême
degré:
  
9 = a 9 = a a = 9      −21 = b−a −21 = b−9 b = −12
⇐⇒ ⇐⇒
 17 = c−b  17 = 5−b  c = 5  
−5 = −c −5 = −c c = 5
? ?
3 2 2DoncP(z)=9z −21z +17z−5=(z−1) 9z −12z+5 .
?
z−1 = 0
3. P(z)=0 ⇐⇒ 29z −12z+5 = 0
Résolutiondel’équationduseconddegré:
2 2 2 2 29z −12z+5=0 ⇐⇒ (3z−2) −4+5=0 ⇐⇒ (3z−2) +1=0 ⇐⇒ (3z−2) −i =
2 20 ⇐⇒ (3z−2) =i
IlyadonctroissolutionsdansC:
2 1 2 1
z = + i, z = − ietz =1.1 2 3
3 3 3 3
4. a. Voirfigure.
? ? ? ?2? ? ? ?1 1 1 1 1 22 ? ? ? ?b. |z −z | = (2+i)−1 = − + i = + = .B A ? ? ? ?3 3 3 9 9 9
? ? ? ?2 2? ? ? ?2 1 1 1 1 1 2
2 ? ? ? ?|z −z | = 1− + i = + i = + = .A C ? ? ? ?3 3 3 3 9 9 9
2 2OnadoncAB =CA ⇐⇒ AB=CA,doncABCestisocèleenA.
? ? ? ?2 2? ? ? ?1 1 2 42 ? ? ? ?Enfin|z −z | = (2+i)− (2−i) = i = .B C ? ? ? ?3 3 3 9
4 2 2 2 2 2On a = + ⇐⇒ CB = AB +CA , donc d’après la réciproque du
9 9 9
théorèmedePythagoreletriangleABCestrectangleenA.
5. a. ABCétantrectangleenCilestinscritdanslecercleC dediamètre[BC];
2
donclecentredeC,Ωestlemilieude[BC].Sonaffixeestdoncz = .Ω
3
b.BaccalauréatSTIGénieélectronique,électrotechnique,optique A.P.M.E.P.
B
Ω A
O
1
C
EXERCICE 2 5points
PartieA-Effetderéponsesauhasardàunexercicedetypevrai/faux.
Nombredebonnesréponses 4 3 2 1 0
1.
Nombredepoints 4 2,5 1 0 0
2. Voirl’arbreplusbas.
3. a. X peutprendrelesquatrevaleurs:4;2,5;1;0.
x 4 2,5 1 0i
b. 1 4 7 4
p(X=x )i
16 16 16 16
1 4 7 4 4+10+7 21
c. E(X)=4× +2,5× +1× +0× = = =2,625(points)
16 16 16 16 16 16
PartieB-Unexercicedetypevrai-faux.
? ?π
f(x)=cos 2x− .
4
Affirmation1:Vrai:uneseuletangentehorizontaledanscetintervalle.
p
1 2
Affirmation2:Faux:l’intégralevaut + .
2 4
Affirmation3:Vrai
6
Affirmation4:Faux:lavaleurmoyenneestégaleà .
π
Antilles–Guyane 2 juin2009
bbbbBaccalauréatSTIGénieélectronique,électrotechnique,optique A.P.M.E.P.
PROBLÈME 11points
PartieI
2x1. Ona lim e =0,donc lim g(x)=−∞.
x→−∞ x→−∞
? ?2x1 e
En écrivant g(x)= x 1− + , la limite de la parenthèse est égale à plus
x x
l’infini,celledex àplusl’infini,doncparproduitdelimites: lim g(x)=+∞.
x→+∞
2x2. a. Oncalculed(x)=g(x)−(x−1)=e .
2xComme lim e = 0, on en déduit que lim d(x)= 0, ce qui montre
x→+∞ x→+∞
quela droiteD d’équation y=x−1est asymptote àC auvoisinagedeg
moinsl’infini.
2xb. Commee quelquesoitx∈R,d(x)>0 ⇐⇒ g(x)>x−1,cequisignifie
queC estaudessusdeD quelquesoitx∈R.g
3. a. Quelquesoitx∈R,g estdérivableet
′ 2x 2x ′g (x)=1+2e .Commee >0, g (x)>1>0.
LafonctiondérivéeestpositivesurR;lafonctiong estcroissantesurR.
b. Lafonction g estcroissantede−∞à+∞.
2×04. Onag(0)=0−1+e =−1+1=0.
La fonction g étant croissante on en déduit que si x< 0, alors g(x)< 0 et si
x>0,alorsg(x)>0
5. Voirlafigure
PartieII
1. La fonction f est la somme de deux fonctions dérivables surR; elle est déri-
vablesurRet
? ?
′ 2x 2xf (x)=2(x−1)+2e =2 x−1+e =2g(x).
′2. Onavuquesix<0, g(x)<0,donc2g(x)= f (x)<0.
Doncpour x<0, f estdécroissanteetinversementsix>0, f estcroissante.
3. La fonction étant décroissante puis croissante elle admet un minimum pour
x=0,quivaut f(0)=1+1=2.
PartieIII-Applicationàunproblèmededistanceminimale
1. a. Voirlafigure
? ?22 2 −1 −2b. PA =(−2) + e =4+e ;
2 2 2 2PB =(0) +(e) =e ;
2 2 x 2 2 2x2. a. PM =(x−1) +(e ) =(x−1) +e = f(x).
b. Lecarrédeladistanceminimaleestleminimumdelafonction f,quion
2l’avuaudessusestégalà2pour x=0;onaPM =2etlepointdeChmini
leplusprochedePapourcoordonnées(0;1).
Antilles–Guyane 3 juin2009BaccalauréatSTIGénieélectronique,électrotechnique,optique A.P.M.E.P.
Feuilleannexeàrendreagraféeàlacopie
Question1 Question2 Question3 Question4 Nombredepoints
correct
4points
correct
2,5points
incorrect
correct correct
2,5points
incorrect
1point
incorrect
correct
2,5pointscorrect
correct
1point
incorrect
incorrect correct
1point
incorrect
0point
incorrect
correct
2,5points
correct
1point
incorrect
correct correct
1point
incorrect
0point
incorrect incorrect
correct
1points
correct
0point
incorrect
incorrect correct
1point
incorrect
0point
incorrect
Antilles–Guyane 4 juin2009BaccalauréatSTIGénieélectronique,électrotechnique,optique A.P.M.E.P.
Problème:partieII
Cg
Ch
Mmini
P
Ω
Antilles–Guyane 5 juin2009