Baccalauréat STI Antilles Guyane septembre Génie des matériaux mécanique B C D E

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat STI Antilles-Guyane septembre 2005 \ Génie des matériaux, mécanique B, C, D, E EXERCICE 1 4 points Dans tout cet exercice, on note g la fonction numérique définie pour tout nombre réel x, par : g (x)= sin ( x 2 ? π 3 ) . 1. Soit (E) l'équation différentielle : 4y ?? =?y, où y est une fonction de la variable réelle x. a. Donner la solution générale de l'équation différentielle (E). b. On note f la solution particulière de l'équation différentielle (E) qui vé- rifie : f (0)=? p 3 2 et f ?(0)= 1 4 . Démontrer que la fonction f est égale à la fonction g . 2. Soir µ la valeur moyenne de la fonction g sur l'intervalle [ 2π 3 ; 14π 3 ] . a. Calculer µ. b. Recopier et compléter le tableau ci-dessous en indiquant des valeurs exactes : x 2π 3 5π 3 8π 3 11π 3 14π 3 x 2 ? π 3 sin (x 2 ? π 3 ) c.

• droites d'équations respectives


• solution particulière de l'équation différentielle


• ticket donnant le droit


• axe des abscisses


• variable aléatoire


• ticket donnant le droit d'effec


• boule rouge


• courbe représentative dans le repère

Sujets

• Variable aléatoire

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 septembre 2005
• Nombre de lectures: 29
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat STI AntillesGuyane septembre 2005\ Génie des matériaux, mécanique B, C, D, E

E X E R C IC E 1 4points Dans tout cet exercice, on notegla fonction numérique définie pour tout nombre réelx, par : ³ ´ xπ g(x)=sin−. 2 3 1.Soit (E) l’équation différentielle : ′′ 4y= −y, oùyest une fonction de la variable réellex. a.Donner la solution générale de l’équation différentielle (E). b.On notefla solution particulière de l’équation différentielle (E) qui vé p 3 1 ′ rifie :f(0)= −etf(0)=. 2 4 Démontrer que la fonctionfest égale à la fonctiong. · ¸ 2π14π 2.Soirµla valeur moyenne de la fonctiongsur l’intervalle; . 3 3 a.Calculerµ. b.Recopier et compléter le tableau cidessous en indiquant des valeurs exactes :

x xπ − 2 3 ³ ´ xπ sin− 2 3

2π 3

5π 3

8π 3

11π 3

14π 3

c.Dans le plan muni d’un repère orthogonal, on noteCla courbe repré · ¸ 2π14π sentative de la fonctiongsur l’intervalle; . 3 3 Tracer la coucheC. d.La valeur deµtrouvée en a. estelle cohérente avec le graphique effectué en c. ? Pourquoi ?

E X E R C IC E points2 4 Un jeu consiste à tirer une boule dans une urne qui contient des boules rouges, des boules vertes et des boules noires. La règle du jeu indique que : •si la boule tirée est rouge, l’organisateur du jeu donne 1(au joueur •si la boule tirée est verte, l’organisateur du jeu donne 2(au joueur •50si la boule tirée est noire, l’organisateur du jeu donne 0,(au joueur. On admet que lors de chaque tirage. toutes les boules ont la même probabilité d’être tirées. On note : •p R la probabilité de tirer une boule rouge •p V la probabilité de tirer une boule verte

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A. P. M. E. P.

•p N la probabilité de tirer une boule noire. Partie A Dans cette partie, on suppose que le nombre de boules rouges, le nombre de boules vertes et le nombre de boules noires contenues dans l’urne sont tels que

p V =2p R etp R =2p N On rappelle que, les boules contenues dans l’urne étant soit rouges, soir vertes, soit noires, on a l’égalité

p R +p V +p N =1 1.Calculerp R ,p V etp N . (Donner les valeurs exactes.) 2.Sachant que l’urne contient 3 boules noires, calculer le nombre total de boules contenues dans l’urne, ainsi que le nombre de boules rouges et le nombre de boules vertes contenues dans l’urne. 3.ssocie la sommeSoit X la variable aléatoire qui à chaque tirage d’une boule a reçue par le joueur. a.Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire X, puis calculer l’es pérance mathématique E(X) de la variable aléatoire X. b.Si l’organisateur du jeu vendait 1, 50(un ticket donnant le droit d’effec tuer en tirage, quel bénéfice pourraitil espérer avoir réalisé à l’issue de 1 000 jeux.

Partie B [Dans cette partie, on suppose que l’organisateur du jeu a rajouté des boules noires dans l’urne : l’urne contient 12 boules vertes, 6 boules rouges,nboules noires. 1.Exprimer, en fonction den, la probabilité de tirer une boule verte, la probabi lité de tirer une boule rouge et la probabilité de tirer une boule noire. 2.mme reçue par leSoir Y la variable aléatoire qui à chaque tirage associe la so joueur. a.Exprimer, en fonction den, l’espérance mathématique E(Y) de la va riable aléatoire Y. b.L’organisateur du jeu vend 1,50(le ticket donnant le droit d’effectuer un tirage. Comment peutil choisir le nombrende boules noires pour pouvoir es pérer réaliser un bénéfice de 500(à l’issue de 1 000 jeux ?

P R O B L È M E 12 points ¡ ¢ −→−→ Le plan est rapporte à un repère orthogonalO,ı,(unités graphiques : 2 cm sur l’axe des abscisses et 1 cm sur l’axe des ordonnées).

Partie A  étude d’une fonction auxiliaire

Soiegla fonction numérique définie pour tout réelxstrictement positif, par :

2 g(x)=2x+1−lnx.

′ 1.On nommegla fonction dérivée de la fonctiong. ′ Calculerg(x) pour tout réelxstrictement positif. ′ 2. a.étudier le signe deg(x) sur l’intervalle ]0 ;+∞[ et donner le tableau des variations de la fonctiong(les limites en 0 et en+∞ne sont pas deman dées).

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A. P. M. E. P.

µ ¶µ ¶ 1 1 b.Préciser la valeur exacte deget en déduire le signe deg. 2 2 c.Donner le signe deg(x) sur l’intervalle ]0 ;+∞[.

Partie B  étude d’une fonction et tracé de sa courbe représentative Soitfla fonction numérique définie pour tout réelxstrictement positif, par lnx f(x)=2x+1+. x ¡ ¢ −→−→ On note sa courbe représentative dans le repèreO,ı,. 1. a.Déterminer la limite de la fonctionfen 0. Donner une interprétation graphique de ce résultat. b.Déterminer la limite de la fonctionfen+∞. ′ 2. a.On notefla fonction dérivée de la fonctionf. Montrer que, pour tout réelxde l’intervalle ]0 ;+∞[. g(x) ′ f(x)=, 2 x oùgest la fonction définie dans la partie A. b.Donner le tableau des variations de la fonctionf. 3.On nommeαl’unique solution de l’équationf(x)=0 sur l’intervalle ]0 ;+∞[. a.à l’aide d’une calculatrice, donner la valeur approchée décimale deαar −2 rondie à 10. b.Préciser, dans un tableau, le signe def(x) pourxréel strictement positif. ¡ ¢ −→−→ 4. a.On nommeDla droite d’équationy=2x+O,1 dans le repèreı,. Montrer que la droiteDest asymptote à la courbeCen+∞. b.La droiteDet la courbeCse coupent au point I. Déterminer les coordonnées du point I. c.étudier la position relative de la courbeCet de la droiteD. 5.Déterminer une équation de la droiteTqui est tangente à la courbeCen son point d’abscisse 1. 6.Sur un même graphique, placer le point I, puis tracerT,DetC. Partie C  Calcul d’aire SoitFla fonction numérique définie pour tout réelxstrictement positif, par : 1 2 2 F(x)=x+x+(lnx) . 2 1.Montrer que la fonctionFest une primitive de la fonctionfsur l’intervalle ]0 ;+∞[. 2.SoitSla surface plane limitée par la courbeC, l’axe des abscisses, les droites d’équations respectivesx=1 etx=e. a.On noteAl’aire de la surfaceSexprimée en unités d’aires. Calculer la valeur exacte deA. −2 b.près de l’aire de la surfaceDonner une valeur décimale approchée à 10 2 S.exprimée en cm

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